1、21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网第 3 课时 平面向量的数量积1两个向量的夹角：已知两个非零向量 a和 b，过 O 点作 A a， OB b，则AOB (0180) 叫做向量 a与 b的 当 0时， 与 b ；当 180时，a与 b ；如果 与 的夹角是 90，我们说 a与 垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 b，它们的夹角为 ，则数量 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作 ab，即 规定零向量与任一向量的数量积为 0若 a(x 1, y1)， (x 2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|b|cos
2、叫做向量 b在 方向上的投影 ( 是向量 a与 b的夹角 )a 的几何意义是，数量 ab等于 4向量数量积的性质：设 、 都是非零向量， e是单位向量， 是 a与 b的夹角 e a e b 当 a与 同向时， ab ；当 a与 b反向时， ab cos | b| 5向量数量积的运算律： a ；21 世纪教育网 21 世纪教育网 ( )b a(b) ( a ) c 例 1. 已知| | 4，| b|5，且 a与 b的夹角为 60，求：(2 a3 b)(3 a2 b)解:(2 a3 )(3 2 )4变式训练 1.已知| a|3，| b| 4，| a b|5，求|2 a3 b|的值典型例题基础过关2
3、1 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网解: 56例 2. 已知向量 a(sin ，1)， b(1 ，cos )， 2(1) 若 ab，求 ；(2) 求| |的最大值解：(1)若 ，则 0cosin即 1tan 而 )2,(，所以 4(2) )sin(23)cos(in3b当 4时， a的最大值为 1变式训练 2：已知 (cs,i)， (cos,i)b，其中 0(1)求证： ab 与 互相垂直；(2)若 k与 的长度相等，求 的值( k为非零的常数 )证明： 22222()cosin)(cosin0abab 与 互相垂直（2） k(cos,si
4、n)k,21 世纪教育网,21cos()kabk, 21cos()akbk,而 2 21cos()cos()0， 例 3. 已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足( OB C)( O2 A)0，判断ABC 是哪类三角形解:设 BC 的中点为 D，则( OCB)( A2)0 2 AD0 BCAD ABC是等腰三角形.变式训练 3：若 1,2),3(,5)A，则ABC 的形状是 . 解: 直角三角形.提示： ,3,0,BC 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网例 4. 已知向量 m(cos, sin) 和 n( 2sin, cos) (,
5、 2)且| nm| 528，求 cos(82)的值. 来源:21 世纪教育网解: n(cos sin 2, cossin)由已知(cos sin 2)2(cossin) 2 518化简：cos 57)4(又 cos2 2516)4cos(1)8( (, 2) cos 2516)4cos()8(0cos 25164cos1)82( 5变式训练 4.平面向量 3(3,)(,)ab，若存在不同时为 0的实数 k和 t，使2(3)xatb, ,ykt且 xy，试求函数关系式 ()kft.解：由 13,(,)2得 0,|2,|1abb2 22(3)(0,(3)(3)0atbkatktktatb 33114,)(44kf1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法21 世纪教育网2注意 ab与 ab 的区别 ab0 a 0，或 b 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合小结归纳
