1、第 9 课时：2.4 向量的数量积（一）【三维目标】：一、知识与技能1通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件3掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置
2、了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质； 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1
3、课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？二、研探新知1.平面向量数量积的物理背景及其含义 物理学中，物体所做的功的计算方法：（其中 是 与 的夹角）|SFWFS2.向量夹角已知两个向量 和 ，作 = ， = ，则 （ ）叫做向abOAa BbAO018量 与 的夹角。ab SF当 时， 与 同向；0ab当 时， 与 反向；18当 时， 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作 990abab3.向量数量积的定义：已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与 的数量ab|cos积（或内积） ，记作 ，即
4、|cos【说明】：实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由 cos的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而abab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“ ”在向量运算中不是乘号，既ab不能省略，也不能用“”代替；规定，零向量与任一向量的数量积是 ；0在实数中，若 0，且 ，则 ；但是在数量积中，若 ，且ab0= ，不能推出 = .因为其中 cos有可能为 0；0b已知实数 、 、 ( )，则 .但是 = = ；ccaabca在实数中，有
5、，但是( ) ( )cba b显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线.ac4.数量积的性质：设 、设 、 都是非零向量， 是 与 的夹角，则bab ；（| | |0）cos|a当 与 同向时， ；当 与 反向时， ；|ab特别地： 或 ；2|a ；|b ；a0若 是与 方向相同的单位向量，则 e |cosea5数量积的几何意义（1）投影的概念：如图， = ，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，则 OAaB1OA1B1|cosObCaAb1BAba1A1()B我们把 （ cos ）叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，|cosbabab当 为锐角时射影
6、为正值；当 为钝角时射影为负值；当 为直角时射影为 0；当 = 0时射影为 ；|b当 = 180时射影为 |（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影 | | 的乘ababbcos积。三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1判断正误，并简要说明理由 = ； = ； - = ； =| |a00a0 AB ab|；b若 ，则对任一非零 ，有 ； =0，则 与 至少有一个为 ；bab0对任意向量 、 、 都有( ) = ( )；acac 与 是两个单位向量，则 =b2例 2（教材 例 1）已知向量 与向量 的夹角为 ，| |2，| |3，分
7、别在下7Pbab列条件下求 ：（1） ；（2） ；（3） a035a例 3 已知正 的边长为 ，设 = ， = ， = ，求ABC2 BCa Ab Bcbc解：如图， 与 、 与 、 与 夹角为 ，abca10原式 |os120|os2|cos120a()36变式 1： 已知 ， ， ，且 ，|3|b|3c0abc求 abca BC解：作 = ， = ， ， = ， ABc Ca0bc CAb 且 ，|ab22| 中， ， ， ， ，903tanA06B所以， 2cos1523cos19312abc 四、巩固深化，反馈矫正 1.当 与 同向时, =_,当 与 反向时, =_，特别地， ，| |
8、abaa_a_2. ， ；ab_cos3.已知| |=10,| |=12，且(3 )( ) ，则 与 的夹角是_a51b36ab4.已知| |=2,| |= ， 与 的夹角为 ，要使 - 与 垂直，则204_5.已知| |=4,| |=5， + ,求（1） ；（2）(2 - )( +3 )abaabab6.已知| |=4,| |=3,（1）若 与 夹角为 ，求( +2 )( -3 )；06（2）若(2 -3 )(2 + )=61，求 与 的夹角7.已知| |= ,| |=3， 和 的夹角为 ，求当向量 + 与 + 的夹角为锐角a2ba045ab时 的取值范围8.已知 + , 2 + ，且| |=| |=1, , xyb（1）求 , ；（2）若 与 的夹角为，求 值。| xycos五、归纳整理，整体认识1.有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.2.向量数量积的几何意义和物理意义.3.向量数量积的六条性质.六、承上启下，留下悬念 1填空已知 ， ， 与 的夹角 ，则 ；|5a|4ba120ab10CB已知 ， 在 上的投影是 ，则 8 ；|4ba1|2ba已知 ， ， ，则 与 的夹角 |5| 3135若非零向量 与 满足 ，则 0 |2预习向量数量积的运算规律七、板书设计（略）八、课后记：概念辨析：正确理解向量夹角定义
