1、广东省清远市清城区三中高三第一学期第二次周考数学（理）试题（本卷满分 150 分，时间 120 分钟）1、选择题（60 分，每题 5 分）1、用 表示 三个数中的最小值，设 （ ）,则 的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D. 42、 “ ”是“ 函数 的减区间是 ”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件3、若 a、b 为实数, 且 a+b=2, 则 3a+3b 的最小值为（ ）A18 B 2 C6 D 24、如右图所示,程序执行后的输出结果为( )A. B.1 C.2 D.35、若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的
2、体积为 （ ） A B C D 6、设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C第三象限 D.第四象限7、已知直线 x+ay1=0 是圆 C：x 2+y24x2y+1=0 的对称轴，过点 A（4，a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|=（ ） A2 B6 C4 D28、一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ） A抽签抽样 B分层抽样 C系统抽样 D随机抽样 9、若动直线 与函数 和 的图象分别交于 、 两点，则 的最大值为（
3、）A. B. 2 C. D10、将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则 的表达式可以是 （ ）A. B. C. D. 11、已知 ，记数列 的前 项之积为 ，则 的值为( )A B1 C. D212、已知椭圆 ，过右焦点 作不垂直于 轴的弦交椭圆于 两点， 的垂直平分线交轴于 ，则 等于（ ）A B C D2、填空题（20 分，每题 5 分）13.已知 1()2axx的展开式中的各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为 14.曲线 lnf在点 (,0)P处的切线 l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 15.已知 ,AB两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A不排两端，3 个大人有且
4、只有两个相邻，则不同的排法种数有 16.在正方体 1CD中， E是棱 1C的中点， F是侧面 1BC内的动点，且 1/AF平面 1AE， 则 1F与平面 B所成角的正切值的取值范围是 3、解答题（70 分）17 设 na是递增的等差数列， nS为其前 项和，且满足 634S， 2a是 13, 的等比中项 （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设数列 nb满足 nnab11, ，求数列 nb的通项公式18雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了 50 人，将凋查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）15
5、， 25）25， 35）35， 45）45， 55）55， 65）65， 75频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 12 7 3 3（1 ）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访 3 人，求至少有 1 人持赞同态度的概率；（2）若从年龄在15， 25） ，25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中不赞同“ 适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望。19如图所示，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，BCD=90，BC=CD=2，AF=BF，EC FD，FD 底面ABCD，M 是 AB 的中点 （1）求证：平面 CFM平面 B
6、DF；（2）若 EC=2，FD=3，求平面 ADF 与平面 BEF所成角的正弦值20已知椭圆 C：)0(12bayx的右焦点为 F，上顶点为 A，短轴长为 2，O 为原点，直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B，且AOF 的面积是BOF 的面积的 3 倍（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）如图，直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，若在椭圆 C 上存在点 R，使 OPRQ 为平行四边形，求 m 的取值范围21已知函数 )(ln2)3() Raxxaf （1 ）若函数 y在区间（1，3）上单调，求 的取值范围；（2 ）若函数 xfxg)(在)21,0(上无零点，求 a的
7、最小值22如图，已知 PA 是O 的切线， A 是切点，直线 PO 交O 于 B、C 两点，D 是 OC 的中点，连接 AD 并延长交O 于点 E，若 PA= 32，APB=30（）求AEC 的大小；（）求 AE 的长数学（理）答案：1-12：BBCAD ABCDA BA13.4014. 21)()21(yx15.4816. ,17.解：（1 ） 12na；（ 2） nbn218.解：（1）随机采访的 50 人中，赞成人数有：4 +6+12+7+3+3=35 人，以赞同人数的频率为概率，赞同人数的概率 p1= = ，至少有 1 人持赞同态度的概率 p=1（1 ） 3=0.973（2 ）从年龄在
8、15 ，25） ，25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中不赞同“ 适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为 X，依题意得 X=0，1，2，3 ，P（X=0）= = ， P（X=1 ）= + = ，P（X=2）=2105446C= ， P（X=3 ）= = ， X 的分布列是：X 0 1 2 3PX 的数学期望 EX= +3 = 19.证明：（1 ）FD 底面 ABCD，FD AD ，FD BD ，AF=BF，ADFBDF，AD=BD，连接 DM，则 DMAB，AB CD，BCD=90， 四边形 BCDM 是正方形，BDCM，DFCM，CM 平面 BDF CM平面 CFM
9、 平面 CFM平面 BDF；（2 ）建立以 C 为坐标原点， CB，CD ，CE 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：EC=2，FD=3，BC=CD=2 ，B（2，0，0） ，D（0，2，0 ） ，E（0，0 ，2） ，F（0 ，2，3） ，则 =（ 2，2 ，0 ） ， =（2，0 ，2） ， =（0，2 ，1） ， 设平面 BEF 的一个法向量为 =（x，y ，z ） ，则 得 ，令 x=1，则 y= ，z=1，则 =（1 ， ，1 ） ，由（1）知 AD=BD，ABD=45，则，ADB=90 ，即 ADBD ，DFBD，BD平面 ADF，则 =（ 2，2 ，0 ）是平面 ADF
10、的一个法向量，则 cos ， = = ，则 sin ， = ，即平面 ADF 与平面 BEF 所成角的正弦值是 20 、解：（ 1）短轴长为 2，可得 b=1，即有 A（0，1 ） ，设 F（c，0） ，B （x 0，y 0） ，AOF 的面积是BOF 的面积的 3 倍，即为 c1=3 c|y0|，可得 y0= ，由直线 AF：y= +1 经过 B，可得 x0= c，即 B（ c， ） ，代入椭圆方程可得，+ =1，即为 a2=2c2，即有 a2=2b2=2，则椭圆方程为 +y2=1；（2 ）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，由 OPRQ 为平行四边形，可得 x1+x2=xR
11、，y 1+y2=yR，R 在椭圆 C 上，可得 +（y 1+y2） 2=1，即为 +（k（x 1+x2）+2m） 2=1，化为（1+2k 2） （x 1+x2） 2+8km（x 1+x2）+8m 2=2，由 可得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m22=0，由=16k 2m24（1+2k 2） （2m 22）0，即为 1+2k2m 2，x1+x2= ，代入可得 +8m2=2，化为 1+2k2=4m2，代入可得 m0，又 4m2=1+2k21 ，解得 m 或 m 则 m 的取值范围是（， ，+ ） 21、解：（1）f （x ）=3 a = ，当 a3 时，有 f（x）0 ，即函数 f（x）在区
12、间（1 ，3）上单调递减；当 a3 时，令 f（x）=0，得 x= ，若函数 y=f（x）在区间（1 ，3）单调，则 1 或 3，解得： a1 或 a3 ，综上，a 的范围是（ ，1 ，+） ；（2 ） x0时，g（x） +，g （ x） =（2a） （x 1） 2lnx0 在区间（0 ， ）上恒成立不可能，故要使函数 g（x）在（0， ）无零点，只需对任意的 x（0 ， ） ，g （x）0 恒成立，即对 x（0， ） ，a 2 恒成立，令 l（x）=2 ，x （0， ） ，则 l（x ）= ，令 m（x）=2lnx+ 2，x（0， ） ，则 m（x ）= 0，故 m（x）在（ 0， ）上递减，于是 m（x ）m（ ）=22ln20，从而，l（x）0，于是 l（x ）在（0， ）递增，l（x）l（ ）=24ln2，故要使 a2 恒成立，只需 a24ln2，+） ，综上，若函数 g（x）=f （x）x 在（0， ）上无零点，则 a 的最小值是 24ln222、解：（）连接 AB，因为：APO=30，且 PA 是 O 的切线，所以：AOB=60；OA=OB ， AB0=60；ABC= AEC AEC=60（）由条件知 AO=2，过 A 作 AHBC 于 H，则 AH= ，在 RTAHD 中， HD=2，AD= = BDDC=ADDE， DE= AE=DE +AD=
