1、揭阳三中 20152016 学年度第一学期高三级第 4 次月考数学(理科)试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 等差数列 na的前 项和为 nS，若 2341,aS则 ( )A. 12 B. 10 C. 8 D. 62. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( ) A. 3yx B. |1|yx C. 2yx D. |1yx 3已知向量 (1,)(2,)akbab且 与共线，那么 k的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 设函数 1,log)(21xxfx，则 (4)=f ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2、5. 函数 sin()y是( ) A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数C. 周期为 2的奇函数 D. 周期为 2的偶函数6. 已知 ,1tan则 cos的值为( ) A. 5 B. 35 C. 45 D. 537. 设向量 ,b均为单位向量，且 |1ab，则 a与 b 夹角为( ) A. 3 B. 2 C. 23 D. 48. 函数 cosinyx的一条对称轴为（ ）A. x B. x C. x- D. x- 4 8 8 49. 若函数 2()fbc的图象的顶点在第四象限，则函数 ()f的图象是（ ）10. 已知函数 1)(23xaxf 在 ),(上是单调函数,则实数 a 的取值范围
3、是（ ）A ), B 3 C 3()( D ),(11. 函数 xf的定义域为开区间 ),(ba，导函数)(在 ,ba内的图象如图所示，则函数 )(xf在开区间 )内有极小值点（ ） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4 个12. 设函数 ()yfx的图像与 2xay的图像关于直线 yx对称，且(2)1f，则 ( )（A） （B） （C） （D） 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ）若 （ bakba2),3(),12( ） ，（ 则 k 的值是_.14函数 cosyx在区间 0上的最大值是 。15已知1tan(+)=,tan,53则 tan(+)4
4、的值为_.16. 下列四种说法：命题“ xR，使得 21x ”的否定是“ xR，都有 213x”；设 p、 q是简单命题，若“ pq”为假命题，则“ pq” 为真命题；若 是 的充分不必要条件，则 是 的必要不充分条件；把函数 sin2yxR的图像上所有的点向右平移 8个单位即可得到函数 sin24yxRx的图像其中所有正确说法的序号是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、 （本题满分 10 分）已知 na为等差数列，且 138a， 241a。abxy)(fO （1）求数列 na的通项公式；（2）记 的前 项和为 nS，若 1a， k，
5、2S成等比数列，求正整数 k的值。18、 （本题满分 12 分）已知： ABC 中角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c 且cos()csins()sin(2)22AC.(1)求角 C 的大小； (2)若 sin,siAB成等差数列，且 18B，求 c 边的长.19、 （本题满分 12 分）有编号为 1210,DL的 10 个零件，测量其直径（单位：mm） ，得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号 1234D567D8910D直径 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述 10 个零件中，随机抽取 2 个，
6、求这 2 个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取 2 个. 用 表示这 2 个零件直径之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望乙DCBAF E乙DCBAx=-1oyxQ PF20、 （本题满分 12 分）如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知 45,90,AC105ADC, BD,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱AC、AD 的中点.（1）求证：DC 平面 ABC；（2）求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦；（3）求二面角 BEFA 的余弦.21、 （本题满分 12 分）如图在直角坐标系 xOy中，过动点
7、 P的直线与直线 :1lx垂直，垂足为 Q，点 (1,0)F满足 QFurru（1）求动点 P的轨迹 C 的方程；（2）证明：以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切 22、 （本题满分 12 分）设 0a，函数 xaxfln2)(2.（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 ()yfx在区间 ),0(上有唯一零点，试求 a的值揭阳三中 20152016 学年度第一学期高三级第 4 次月考数学（理科） 答案一、选择题1 （C） 2 （D） 3 （A） 4 （B） 5 （B）6 （D） 7 （C） 8 （C） 9(A) 10 （B）11(A) 12 （C）9 A 对称轴 0,()22bfxb
8、，直线过第一、三、四象限10 B ()31fxa在 ),恒成立， 24103aa11 A 极小值点应有先减后增的特点，即 (0()()fxfxfx二、填空题13、6 ； 14、 36； 15、 98； 16、 。三、解答题17、 （本题满分 10 分）（1）设数列 na的公差为 d，由题意知 1284ad，解得 12a， d所以 1n（2）由（1）可得 121naSn，因 1a， k， 2S成等比数列，所以212ka，从而 23kk，即 2560解得 6或 （舍去） ，因此 6。18、 （本题满分 12 分）解：(1) 由 cos()csins()sin(2)22ABAC得 sincosinc
9、osin2ABAC-2 分 sin()siC，-3 分 ,n()si ii2ico，-4 分 0 s0 1cosC .3 -6 分(2)由 in,siAB成等差数列，得 2sinisnCAB，由正弦定理得 .2bac-8 分 18CAB， 即 .36,osab -10 分由余弦弦定理 abCabc 3)(cos222 ，,42， .6 -12 分19、 （本题满分 12 分）解：（1）由所给数据可知，10 个零件中一等品零件共有 5 个. -1 分设“从上述 10 个零件中，随机抽取 2 个，2 个零件均为一等品”为事件 A，则2510()9PAC.-4 分（2） 的可能取值为：0,1,2,3
10、-5 分且 25(), 251()PC , 25()4PC, 251(3)PC-9 分 的分布列为0 1 2 3()P155515 数学期望 10283E.-12 分20、(本题满分 12 分)（1）证明：在图甲中 ABD且 45 45ADB , 90C即 AB 在图乙中，平面 ABD 平面 BDC ， 且平面 ABD平面 BDCBDAB底面 BDC，ABCD. 又 90DC， DCBC,且 ABC DC 平面 ABC. -4 分（2）解法 1：E、F 分别为 AC、AD 的中点 EF/CD，又由（1）知，DC 平面 ABC，EF平面 ABC，垂足为点 E FBE 是 BF 与平面 ABC 所
11、成的角在图甲中， 105A, 60D, 30设 CDa则 23BCa, 2BFa, 12EFCDa 在 RtFEB 中， sin4EEFZyX DCBA即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为 24.-8 分解法 2：如图，以 B 为坐标原点，BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设 CDa，则 ,Aa3BC， 2ADa 可得 (0,)(2,0), (,2), (,0)， (,)F， 13,a, ,Fa 设 BF 与平面 ABC 所成的角为 , 由（1）知 DC平面 ABC2cos()24|CDBFa in4-8 分（3）由（2）知 FE平面 ABC，又BE 平面 ABC，A
12、E 平面 ABC，FEBE，FEAE，AEB 为二面角 BEFA 的平面角在AEB 中， 2172ECBa cos 7A即所求二面角 BEFA 的余弦为 1.-12分21、(本题满分 12 分) （1）解：设 (,Pxy，则 (1,)Qy 由 FFurru得 2,(1,0)(2xy 2()()，整理，得 4，即点 的轨迹 C 的方程为 2yx；-5 分（2）证法 1：由（1）知点 P 在抛物线 2yx上，设2(,)4pP， 设 (,)Mxy是以 PF 为直径的圆上任一点，则由 MF得 0ur，则2,(1,)04py以 PF 为直径的圆的方程为：2()(1)04pypxy 轴的方程为 0x，将
13、代入并整理得： 2()y 显然方程有两个相等的实数根，即以 PF 为直径的圆与 y 轴有唯一交点， 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切-12 分【证法 2：由（1）知点 P 在抛物线 24x上，设2(,)4pP， 则以 PF 为直径的圆的圆心坐标为 (,)8p，半径221)(8pr，以 PF 为直径的圆的方程为：22244(pxy-y 轴的方程为 0x，将 代入并整理得： 2)0-显然方程有两个相等的实数根，即以 PF 为直径的圆与 y 轴有唯一交点， 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切-12 分22、(本题满分 12 分)解：（1）当 1a时，函数 xxfln2)(2 则 xf2)(
14、= 1 由 0f得 ()0 x解得 152函数 )xf的单调增区间为 15(,)2 由 (0f得 2()0x，又 x解得 15x，函数 )(f的单调减区间为 15(0,)2-5 分（2）由 xaxln2得 2()()f a令 0x得 20x解得214,ax224ax则 212()()f x 0x ， 1， 0，由 ()f，得 2x，由 ()f得 2， 当 0a时，函数 ()f在 20,)上单调递减，函数 ()fx在 2,)上单调递增，（其中224ax）函数 ()f在 2时，取得最小值 2()fx函数 y在区间 ),0(上有唯一零点，即方程 )(xf=0 在区间 上有唯一解 2()0f即22ln
15、,0.a于是， 2lx a， 2n1 令 ()lg，显然，函数 ()gx在 ),0单调递增，且 (1)0g即 21x，由此可得 -12 分【解法二：函数 ()yfx在区间 ),(上有唯一零点，即方程 )(xf=0 在区间 ),(上有唯一解由2()0,lnfxa又 0a，得 ln0x lny在 (,)单调递增，设 , 令2(),lxg则 0x 21n)(l，令 ()hxx，显然函数 ()hx在 ),0单调递增，且 (1)0h， 当 1时，有 ()0，当 1时，有 ，当 0时， ,g当 时， (),g即函数 ()x在 0,单调递减，在 (,单调递增， 函数 在 )上，当 1x时，取最小值 min()(1)xg 方程 )(xf=0 在区间 ),0(上有唯一解等价于 min2()1,agx 2a-12 分
