1、试卷第 1 页，总 14 页2016 届浙江省绍兴市一中高三上学期期中考试数学（文）试题及解析一、选择题1若全集 ，集合 ，则 =（ ）UR2|40AxUCAA (2,)B C ,D 1,2【答案】A【解析】试题分析：由题意得， ，故选 A2|40(2,)UCAx【考点】集合的运算2函数 的最小正周期为（ ）23sinyxA B C D 24【答案】B【解析】试题分析： ，最小正周期 ，故选 B23sincosyxxT【考点】三角函数的性质3若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ 10x2()aya）A B C D,3,1,3(,31,)【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆心 到直
2、线 的距离小于或等于半径(,0)a0xy，即 ，故选 B2r|1|231a【考点】1直线与圆的位置关系；2点到直线距离公式4对两条不相交的空间直线 和 ，则（ ）abA必定存在平面 ，使得 ，B必定存在平面 ，使得 ， /C必定存在直线 ，使得 ，c/cD必定存在直线 ，使得 ， 【答案】B【解析】试题分析：A：若 ， 为异面直线，则不存在这样的平面 ，故 A 错误；abB：根据线面平行的定义及其判定，可知 B 正确；C：若存在这样的直线 ，则有 ；c/ab故 C 错误；D：若若存在这样的直线 ，则有 ；故 D 错误，故选 Bcab【考点】空间中直线平面的位置关系5若 ，则向量 与 的夹角为（
3、 ）|2|abaA B CD632356【答案】B【解析】试题分析：，222| 40abababab ，即1()|cos, cos,2与 的夹角为 ，故选 B3【考点】平面向量数量积6已知 为偶函数，当 时， ，满足 的实数()fx0x2()1)fx1()2fa的个数为（ ）aA B C D2468【答案】D【解析】试题分析：当 时， ，0x，令22()(1)(1)fxx1()2ft或 或 ，即20(1)t2()ttt或 ，如下图所示，画出 的函数图象，从而可知满()fa()1fa()fx足条件的 共有 8 个，故选 D【考点】1复合函数；2函数与方程；3数形结合的数学思想【思路点睛】函数的零
4、点问题中常见的策略有：通过零点存在定理判定零点的存在试卷第 3 页，总 14 页性；常常结合单调性判定零点的唯一性；求方程 的解的数目，必须数()fxt形结合，设 ，先画出函数 的图象，根据 的变化和范围，分析出自变量()fxt()fxt的对应范围，再考虑 的解(iixft i7以 为底边的等腰三角形 中， 边上的中线长为 ，当 面积最大BCABC6ABC时，腰 长为（ ）AA B C D63654345【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，设 D 为 AC 中点，由余弦定理，在 中，222cosbcabAB，222 2() 14aBDb21()Sahb2222229191914(4)(4)
5、(3)042 4aaa，当 时， 有最大值，此时 ，即腰长23aS22805bb，故选 D45AB【考点】1余弦定理；2函数最值【思路点睛】正余弦定理在边角转化与三角变换在解三角形的化简和计算中具有突出的作用，主要用到了两角和与差的正余弦公式，倍角公式和辅助角公式等，还要注意公式变形及其逆用，求参数范围，则通过三角变换，解三角形，向量运算等将参变分离，用求函数最值的方法求参数的取值范围，在三角变换过程中，要紧紧围绕目标展开，且体现“统一角，统一函数，统一形式”三个统一为指导8到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（ ）A相交直线 B双曲线
6、C抛物线 D椭圆弧 【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，建立空间直角坐标系，不妨设两条异面直线为直线和直线 ，设 ，点 为到异面直线 ， 距离相等的点，OABCa(,)PxyzOABC，222()10xzy若被平面 所截，则 ， ，若被平面 所截，则 ，o0zxxoz0y，故所得曲线为抛物线，故选 C21zax【考点】立体几何综合题【思路点睛】在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题，也可利用空
7、间直角坐标系求出轨迹方程，即可知其对应的轨迹类型，对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性二、填空题9已知 ，则方程 的解是 ，不等式 的()lg24)fx()1fx()0fx解集是 【答案】 ， 75(,)【解析】试题分析： ，1lg(24)12407fxxxx5()0lg(24)0(,)fx【考点】对数函数的性质10设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ，则 = nannS141027a5a， = 9S【答案】 ， 81【解析】试题分析：等差数列 ， ，na1410553279aa试卷第 5 页，总 14 页9581Sa【考点】等差数列的性质11某几何体三视图如图所示，则该几何
8、体的体积等于 【答案】 4【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，其体积1324VSh【考点】1三视图；2空间几何体的体积12已知实数 且 ，函数 在 上是减函数，则 的取0a1()log|afx(,0)a值范围为 ，此时函数 ，则 ， ， 的大小关系为 ()xg(3)g(24)【答案】 ， 1a24【解析】试题分析：显然 为偶函数，又 在 上是减函数，()lo|afx()fx,0) 在 上是增函数， ，易得 为偶函数，函数()fx0,)11()xga在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递1ht(,(),)增， ，即 2)3)4gg2)(34【考点】1偶函数的性质；2对数函
9、数的单调性；3复合函数的单调性13设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 0,zabxy的最xy10,yx大值为 35， 则 ab的最小值为 【答案】 8【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，从而可知，当 ，2x时，3y， ，当且仅当 时，等号max2516zbab28ba4ab成立，即 的最小值是 8【考点】1线性规划；2基本不等式14设 ， 分别为双曲线 ， 的左、右焦点，若在右支上1F221xyab(0)b存在点 ，使得点 到直线 的距离为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A21AFa【答案】 (,)【解析】试题分析：如下图所示，设 ，则 ，2x12AFxa， ，214
10、FHcabAHab在 中，2RtA222()4 0axabxbcbca2 2 22()00cac baca (2,)ea试卷第 7 页，总 14 页【考点】双曲线的标准方程及其性质【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1根据题意，解出 ， ， ，计算离心率abc；2根据题意，建立一个含有 ， ， 的齐次方程，计算 或 的值；ceaabca3如果求离心率的范围，可以找 ， ， 的齐次不等式15边长为 2 的正三角形 内（包括三边）有点 ， ，求 的ABCP1BCAPB取值范围 【答案】 35,【解析】试题分析：如下图所示，建立平
11、面直角坐标系， ， ，(0,3)A(1,0)B， ，(1,0)C(1,)PBxy， ，即点 P 的轨迹为,)2211Cxyxy圆 夹在三角形 ABC 内及其边界的一段圆弧，在 中，有2xy ADO，2335cos62AD又 ，|cos,|cos,2PBPABPABDA即 的取值范围是 A35,2【考点】平面向量数量积【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解
12、决其他数学问题是今后考试命题的趋势三、解答题16在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且ABCabcABC2cos()4sin1（1）求 ；（2）若 ， ，求 3ai2b【答案】 （1） ；（2） A869【解析】试题分析：（1）利用两角和与差的余弦公式，将条件中的式子进行三角恒等变形，可转化为 ；（2）首先根据条件求得 的值，再由正弦定cos()3BCsinB理以及（1）中求得的即可得到 的值b试题解析：（1）由 ，得2()4sin1BC，2(cossin即 ，从而 ，得 ，)1BC2cos()1cos()2BC ，故 ；（2）由 ，得 ，23Asin23B2s3， 4sinicos
13、9B试卷第 9 页，总 14 页 ， ，解得 sinibaBA3429b869b【考点】1三角恒等变形；2正余弦定理解三角形17数列 满足 ， （ ） na112naN（1）证明：数列 是等差数列；2n（2）求数列 的通项公式 ；nana（3）设 ，求数列 的前 项和 (1)bbnS【答案】 （1）详见解析；（2） ；（3） 21na1()2nn【解析】试题分析：（1）将条件中的式子通过变形，将其转化为数列 的一个递na推公式，即可得证；（2）根据（1）中所证可求得 从而即可求得数列 的通项2nan公式；（3）根据（2）中可求得数列 的通项公式，分析其特点，考虑采用错位相nb减法求其前 项和n
14、试题解析：（1）由已知可得 ，即 ，即 ， 12nna12na12na数列 是公差为 的等差数列 ；（2）由（1）知 ， 2na 1()n；（3）由（2）知 ，1nnb，32nnS，24 1()2n-相减得： 2311()2nn nnS 112n， n1()2nnS【考点】1数列的通项公式；2错位相减法求数列的和18在三棱柱 中，侧面 是边长为 2 的正方形，点 在平面1ABC1ABC上的射影 恰好为 的中点，且 ，设 为 中点，1H3CHD1（1）求证： 平面 ；1C1ABD（2）求 与平面 所成角的正弦值DH【答案】 （1）详见解析；（2） 34【解析】试题分析：（1）取 中点 ，根据条件
15、可证明平行四边形 ，从而1ABEHEDC进一步证明 平面 ，得 ， ，故 ，即可CHCHD1得证；（2）根据（1）中所得考虑建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，可求得平面 的一个法向量 ，即可求解1A6(1,)3n试题解析：（1） 且正方形中 ， ，取 中点1/CA1AB1CAB1，则 ，E/HB，又 为 的中点， / ，得平行四边形 ，112D1HEDHEDC因此 ，又 平面 ，得 ， ，/CABC， 平面 ；（2）如图，以 为原点，建立空间直角坐标1DE11系，则 ， ， ， ，设平面(0,3)(,3)1(,0)1(,20)的法向量 ，由于 ， ，1ACnxyA,3)AC得 ， ，又021n36,16(1,)3n， (,3)HD 2sin463HD
