1、2015-2016 学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 U=1，2，3，4，A=1，4，B=2，则 B（ UA）=（ ）A2 B2，3 C1，2，4 D2 ，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合【分析】由全集 U 及 A，求出 A 的补集，找出 B 与 A 补集的并集即可【解答】解：U=1 ，2，3，4，A=1，4，B=2，UA=2，3，则 B（ UA）=2，3，故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各
2、自的定义是解本题的关键2若 a，b 都是实数，则“ ”是“a 2b20”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用【分析】由“ ”可推出“ a2b20”成立，而由“a 2b20”成立不能推出“”成立，从而得出结论【解答】解：由“ ”可得 ab0，故有“a 2b20” 成立，故充分性成立由“a 2b20”可得|a|b|，不能推出 ，故必要性不成立故“ ”是“a 2b20”的充分而不必要条件，故选 A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，不等式的基本性质的应用，属于基础题
3、3已知 ， 为不同的平面，l，m 为不同的直线若 =l，m，l，m则（ ）Am Bm Clm Dlm【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】由已知推导出 m 与 相交、平行或 m，l m【解答】解：， 为不同的平面，l，m 为不同的直线，=l，m，l，m ，m 与 相交、平行或 m，l m由此能排除选选项 A、B、C，得到 D 正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4已知函数 y=f（x）的图象是由函数 的图象向左平移 个单位得到的，则 =（ ）A B C0 D【考点】函数 y=A
4、sin（x+）的图象变换【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】直接利用三角函数图象的平移得 f（x）的函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：函数 的图象向左平移 个单位得到 f（x）=sin2（x+ ）+ =sin（2x+ ）=cos2x， =cos =cos =故选：B【点评】本题考查了函数 y=Asin（x+）的图象变换，特殊角的三角函数值的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减属于基础题5函数 的图象大致为（ ）A B CD【考点】函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调区间进行判断【解答】解：f（
5、x）= = =f（x） f（x）是奇函数，即 f（x）图象关于原点对称排除 C，D当 x（0，）时，sinx0，f （x）0，排除 B故选：A【点评】本题考查了函数图象的判断，需要从奇偶性，特殊值，函数符号等处进行判断6在区间 D 上，若函数 y=f（x）为增函数，而函数 为减函数，则称函数y=f（x）为区间 D 上的“弱增 ”函数则下列函数中，在区间1，2上不是“ 弱增”函数的为（ ）A B Cg（x）=x 2+1 Dg（x）=x 2+4【考点】函数单调性的判断与证明【专题】新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据“弱增” 函数的定义，判断 g（x）在1 ，2上的单调性，再判断
6、 在1，2上的单调性，而判断单调性可通过单调性的定义，以及 的单调性，和根据导数符号的方法判断即可【解答】解：Ag（x）= 在1，2上为增函数； 在1，2上为减函数；g（ x）在 1，2上为“弱增” 函数；B. 在1，2上为增函数；，x 增大时， 增大， 减小，增大； 减小； 在1，2上为减函数；g（ x）在 1，2上为“弱增” 函数；Cg（x）=x 2+1 在1，2 上为增函数；在1，2 上为增函数；g（ x）在区间1，2上不是“弱增”函数，即该选项正确；Dg（x）=x 2+4 在1，2 上为增函数；， ；x1，2 ；y0； 在1，2上单调递减；g（ x）在 1，2上为“弱增” 函数故选 C
7、【点评】考查对“弱增” 函数定义的理解，函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，要熟悉函数 的单调性7如图，椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过椭圆上的点 P 作y 轴的垂线，垂足为 Q，若四边形 F1F2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得 P（2c， ） ，Q （0，b ） ，由此利用F1Q2=OF12+OQ2，推导出 4e48e2+1=0，由此能求出结果【解答】解：椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过椭圆上的
8、点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，四边形 F1F2PQ 为菱形，P（ 2c， ） ，Q（ 0，b ） ，F1Q2=OF12+OQ2，4c2=c2+b2（1 ） ，整理，得：3a 2c2=（a 2c2） （a 24c2） ，4e48e2+1=0，由 0e1，解得 e= 故选：B【点评】本题考查椭圆离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用8如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1平面 ABCD，ABCD，DCB=90，AB=AD=AA1=2DC，Q 为棱 CC1 上一动点，过直线 AQ 的平面分别与棱 BB1，DD 1 交于点P，R，则下列结论错误的是（
9、）A对于任意的点 Q，都有 APQRB对于任意的点 Q，四边形 APQR 不可能为平行四边形C存在点 Q，使得ARP 为等腰直角三角形D存在点 Q，使得直线 BC平面 APQR【考点】直线与平面垂直的性质【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离【分析】根据面面平行的性质判断 A，B，使用假设法判断 C，D【解答】解：（1）AB CD，AA 1DD1，平面 ABB1A1平面 CDD1C1，平面 APQR平面 ABB1A1=AP，平面 APQR平面CDD1C1=RQ，APQR，故 A 正确（2）四边形 ABCD 是直角梯形， ABCD， 平面 BCC1B1 与平面 ADD1A1 不平行，平面
10、APQR平面 BCC1B1=PQ，平面 APQR平面 ADD1A1=AR，PQ 与 AR 不平行，故四边形 APQR 不可能为平行四边形，故 B 正确（3）延长 CD 至 M，使得 DM=CM，则四边形 ABCM 是矩形， BCAM当 R，Q，M 三点共线时，AM平面 APQR，BC平面 APQR，故 D 正确故选 C【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9已知数列a n的首项 a1=1，若 an+1=an+1，n N*，则 a3= 3 ，a 1+a2+a9= 45 【考
11、点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：数列a n的首项 a1=1，a n+1=an+1，n N*，数列 an是首项 a1=1，公差为 1 的等差数列an=1+（n1）=na3=3，a1+a2+a9=S9= =45故答案分别为：3；45【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 8 ，最长棱的棱长为 2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合
12、法；立体几何【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积与最长的棱长即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面 PAB底面 ABC 的三棱锥，如图所示；过点 P 作 POAB，垂足为 O，则 PO=4，三棱锥 PABC 的体积为624=8；三棱锥 PABC 的各条棱长为 AB=6，BC=2 ，AC= =2 ，PA= =2 ，PB= =4 ，PC= =6；所以最长的棱是 AC=2 故答案为：8，【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目11已知函数 ，g（x）=2 x1，则
13、f（g（2） ）= 2 ，fg（x）的值域为 1，+ ） 【考点】函数的值域；函数的值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意先求出 g（2） ，代入 f（x）的解析式求得 f（g（2） ） ；求出 g（x）的值域，再结合分段函数求得 f（g（x ） ）在不同区间上的值域，取并集得答案【解答】解： ，g（x）=2 x1，g（ 2） =3，则 f（g（2） ）=f（3）=2；g（ x） =2x11，当 g（ x）（ 1，0 时，f（g（x） ） 1，0） ；当 g（x）（0，+）时，f（g（x） ） （ 1，+） 取并集得 f（g（x） ）1，+） 故答案为：2，1，+
14、） 【点评】本题考查分段函数值域的求法，考查运算能力，是中档题12已知实数 x，y 满足不等式组 则该不等式组所表示的平面区域的面积为 4 ，当 z=ax+y（a 0）取到最大值 4 时实数 a 的值为 1 【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积公式进行求解，结合目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 A（1，3） ，B（1， 1） ，C （1，1） ，则ABC 的面积 S=3（1）2= =4，由 z=ax+y（a 0） ，得 y=ax+z，a0，斜率a 0，作出得 y=ax+z 由图象知当
15、直线经过点 A 时，直线的截距最大，此时最大值为 4，即 a+3=4，得 a=1，故答案为：4，1【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，结合三角形的面积公式以及目标函数的几何意义是解决本题的关键13已知 x0，y0，x+2y=1，则 的最小值为 4 【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式【分析】x0，y0，x+2y=1，则 =+ =+2，再根据基本不等式即可求出【解答】解：x0，y0，x+2y=1，则 =+ =+22 +2=4，当且仅当 x=y=时取等号，故则 的最小值为 4，故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是灵活进行“1” 的
16、变形，属于基础题14已知向量， ，|=2，| |=1，则|+| 的最大值为 5 【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由向量的共线的性质可得|的最大值为 2+1=3，由| |=1，|+|=t，两边平方可得8+22=1+t2，可得最大值【解答】解：向量， ，|=2，|=1，可得|的最大值为 2+1=3，由|=1，|+|=t，平方可得，| |2+|+|2=t2+1，即有 22+22=1+t2，即 8+22=1+t2，可得 t2 的最大值为 8+291=25，即有|+|的最大值为 5故答案为：5【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量共线和三角形三边的
17、关系，考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，属于中档题15已知圆 C：（x 2） 2+y2=1，若直线 y=k（x+1）上存在点 P，使得过 P 向圆 C 所作两条切线所成角为 ，则实数 k 的取值范围为 【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由题意可得圆心为 C（2，0） ，半径 R=1；设两个切点分别为 A、B ，则由题意可得可得 PC=2，圆心到直线 y=k（x+1）的距离小于或等于 PC=2，即 2，由此求得k 的范围【解答】解：圆 C：（x 2） 2+y2=1 的圆心为 C（2，0） ，半径 R=1设两个切点分别为 A、B，则由题意可得
18、 PC=2，圆心到直线 y=k（x+1 ）的距离小于或等于 PC=2，即 2，解得 k2，可得 k 故答案为： 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （）求角 A 的大小；（）若 ， ，求 BC 边上的高【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】 （）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得 cosA，可得 A 值；（）由余弦定理和已知数据可得 bc=6，由等
19、面积可得 ，代入数据解方程可得【解答】解：（）在ABC 中，由 及正弦定理可得，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ，在三角形中 sinB0， ，0 A ， ；（）在ABC 中，由余弦定理可知 ，12=b2+c2bc=（bc ） 2+bc=6+bc，解得 bc=6，由等面积可得 ，代入数据 ，解得 【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和等面积的方法，属中档题17设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n= ，nN *（）求数列a n的通项公式 an；（）若数列b n满足：对任意的正整数 n，都有 a1b1+a2b2+anbn=（n 1）2 n+1，求数列的最大项【考点】数列的求和；数列递推式【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列
