1、第 1 页（共 23 页）2016 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知集合 A=x|x+10，B=x|x 220，则 AB=（ ）Ax|x Bx | x1 Cx| Dx|1 2已知向量 =（3，2） ， =（1，1） ，则|2 |=（ ）A B C5 D3命题“x 0R，x ”的否定形式是（ ）Ax 0R，x Bx 0R，xCx R，x 2=1 DxR，x 214已知 sin（ ）= ，则 cos（2 ）=（ ）A B C D5若存在实数 x，y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ， ） C （ ，
2、 ） D （ ， ）6在下面图案中，图（1）是边长为 1 的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列an，则 a10=（ ）A9 B10 C11 D12第 2 页（共 23 页）7双曲线 =1（a ，b 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，O 为坐标原点，以 OF2 为直径的圆交双曲线于 A，B 两点，若F 1AB 的外接圆过点（ ，0） ，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D8设函数 f（x）=x 2+mx+n2，g（x）=x 2+（m +2）x+n 2+m+1，其中 nR，若对任意的n，tR ，f （t
3、）和 g（t）至少有一个为非负值，则实数 m 的最大值是（ ）A1 B C2 D二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=1，S 4=8，则 a5=_，S 10=_10已知 f（x）=sin（ x+） （ 0，0）在区间2，4上是增函数，且 f（2）=1，f（4）=1，则 f（3）=_，f（x）的一个单调递减区间是_（写出一个即可）11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是_，体积是_12已知圆 O：x 2+y2=r2 与圆 C：（x2） 2+y2=r2（r0）在第一象限的一个公共点为 P，过P 作与 x 轴平行的直线
4、分别交两圆于不同两点 A，B （异于 P 点） ，且 OAOB，则直线OP 的斜率是_，r=_13在ABC 中，BC=6，M 1，M 2 分别为边 BC，AC 的中点， AM1 与 BM2 相交于点G，BC 的垂直平分线与 AB 交于点 N，且 =6，则 =_14已知实数 x，y 满足 x2+y2=4，则 4（x ） 2+（y1） 2+4xy 的取值范围是_15如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 AB，AC，AD 都在平面 的同侧，若顶点 B，C 到平面 的距离分别为 1， ，则顶点 D 到平面 的距离是_第 3 页（共 23 页）三、解答题（共 5 小题，满分 75 分
5、）16在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ， =（I）求角 C 的大小；（）若 a=2，求ABC 的面积17如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PA=1，AB=AC= ，D 为BC 的中点，过点 D 作 DQAP，且 DQ=1，连结 QB，QC，QP（1）证明：AQ平面 PBC；（2）求二面角 BAQC 的平面角的余弦值18已知函数 f（x）=x（1 a|x|） （1）当 a0 时，关于 x 的方程 f（x）=a 有三个相异实根 x1，x 2，x 3，设 x1x 2x 3，求的取值范围；（2）当 a1 时，f （x）在1，1上的最大值
6、为 M，最小值为 m，若 Mm=4，求 a 的值19已知椭圆 C： 的焦距为 2 ，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；第 4 页（共 23 页）（2）若 M，N，P 是椭圆 C 上不同的三点，且满足 （O 为坐标原点） ，求实数 的取值范围20已知数列a n满足 a1=1，a n+1= （n N+） （1）证明：a n+1a n；（2）证明： ；（3）证明：a n 第 5 页（共 23 页）2016 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知集合 A=x|x+10，B=x|x 220，则 AB=（ ）Ax|x Bx
7、 | x1 Cx| Dx|1 【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和集合 B，然后再求出集合 AB【解答】解：集合 A=x|x+10=x|x1，B=x|x 220=x| x ，则 AB=x|1x ，故选：D2已知向量 =（3，2） ， =（1，1） ，则|2 |=（ ）A B C5 D【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，求得 2 + 的坐标，可得|2 |的值【解答】解：向量 =（3，2） ， =（1，1） ，2 + =（5，5） ，则|2 |= =5 ，故选：C3命题“x 0R，x ”的否定形式是（ ）Ax 0R，x Bx 0R，xCx R，x 2=
8、1 DxR，x 21【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x 0R，x ”的否定形式是：xR ，x 21故选：D4已知 sin（ ）= ，则 cos（2 ）=（ ）第 6 页（共 23 页）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】由二倍角公式可得 cos（ 2） ，整体利用诱导公式可得 cos（2 ）=cos（ 2） ，代值可得【解答】解：sin（ ）= ，cos（ 2）=1 2sin2（ ）= ，cos（2 ）=cos（ 2）=cos（ 2）=故选：A5若存在实数 x，y 满足 ，则实数 m 的取值
9、范围是（ ）A （0， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，可得直线过定点 D（1，1） ，斜率为m ，结合图象可得 m 的不等式组，解不等式组可得【解答】解：作出 所对应的区域（如图ABC 即内部，不包括边界） ，直线 m（x+1）y=0 ，可化为 y=m（x+1） ，过定点 D（ 1，0） ，斜率为 m，存在实数 x，y 满足 ，则直线需与区域有公共点， ，第 7 页（共 23 页）解得 B（ ， ） ， ，解得 A（ ， ）KPA= = ，K PB= = ， m ，故选：D6在下面图案中，图（1）是边长为 1 的正方形，图（2）是将
10、图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列an，则 a10=（ ）A9 B10 C11 D12【考点】数列递推式；归纳推理【分析】根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的a n的通项公式，可得答案【解答】解：图（1）是边长为 1 的正方形，a 1=1，结合勾股定理可得：a 2=2，a3=3，a4=4，归纳可得：a n=n， （nN *） ，第 8 页（共 23 页）故 a10=10，故选：B7双曲线 =1（a ，b 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，O 为坐标原点，以 OF2 为直径的圆交双曲线于 A，B 两点，若F
11、1AB 的外接圆过点（ ，0） ，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F 2（ c，0） ，分别求出 OF2 为直径的圆的方程和外接圆的直径为 F1M，运用两圆方程求得交点 A，B，代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，OF2 为直径的圆的方程为（x ） 2+y2= ，由F 1AB 的外接圆过点 M（ ，0） ，即 M（ c，0） ，即有外接圆的直径为 F1M，可得圆的方程为（x+ ） 2+y2= ，两圆的方程相减可得 x=
12、c，代入圆的方程可得 y= c，可设 A（ c， c） ，代入双曲线的方程可得 =1，由 b2=c2a2，e= ，可得 4e415e2+9=0，解得 e2=3 或 （舍去） ，即有 e= 故选：B第 9 页（共 23 页）8设函数 f（x）=x 2+mx+n2，g（x）=x 2+（m +2）x+n 2+m+1，其中 nR，若对任意的n，tR ，f （t）和 g（t）至少有一个为非负值，则实数 m 的最大值是（ ）A1 B C2 D【考点】函数的值【分析】作差 g（t）f（t）=2t+m+1，从而可知 t 时 g（t）f（t） ，从而化为 g（t）=t2+（m+2）t+ n2+m+1 在 t 时
13、 g（t） min=（ + ） 2+n2+m+1 0 恒成立，从而可得|m|1；从而结合选项解得【解答】解：g（t）f（t）=t 2+（m+2）t+n 2+m+1（t 2+mt+n2）=2t+m+1，当 2t+m+10，即 t 时，g（t）f（t） ，而 g（t）=t 2+（m+2）t+n 2+m+1=（t + ） 2+n2+m+1 ， ，g（t） min=（ + ） 2+n2+m+1 0 恒成立，即 m21+4n 2 恒成立，故|m|1；结合选项可知，A 正确；故选：A二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=1，S 4=
14、8，则 a5= 7 ，S 10= 80 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 2=1，S 4=8，a 1+d=1，4a 1+ d=8，解得 a1=1，d=2则 a5=1+24=7，S 10=10（1）+ 2=80故答案分别为：7；80第 10 页（共 23 页）10已知 f（x）=sin（ x+） （ 0，0）在区间2，4上是增函数，且 f（2）=1，f（4）=1，则 f（3）= 0 ，f（x）的一个单调递减区间是 0，2 （写出一个即可）【考点】正弦函数的图象【分析】根据函数图象可知函数
15、的周期，再求 的值，由已知点求出 的值，写出函数解析式，将 3 代入求出 f（3）的值，再求出函数的单调递减区间即可【解答】解：f（2）= 1，f （4）=1，f（x）在2，4上是增函数可知：f （x）的周期为T=4， ，=f（x）=sin （ x+ ）=cos xf（3）=cos =0f（x）的单调递减区间为4k ，4k+2kZ故答案为：0，0，211某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 ，体积是 4 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积
16、，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图：且 PA平面 ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，ADCD、ADBC，BC=CD=2 、AD=4，取 AD 的中点 E，连接 BE，则 BECD，AE=BE=2，由勾股定理得，AB=PC=BD=2 ，PB= ，PA=2 ，PB 2=BC2+PC2，PA 2=AB2+PB2，AB PB ，PCBC，几何体和表面积：S= += ，第 11 页（共 23 页）几何体的体积 V= 2=4，故答案为： ；412已知圆 O：x 2+y2=r2 与圆 C：（x2） 2+y2=r2（r0）在第一象限的一个公共点为 P，过
17、P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A，B （异于 P 点） ，且 OAOB，则直线OP 的斜率是 ，r= 2 【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出点 P 的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径 r 的值然后求出 P 的坐标，利用斜率公式进行求解即可【解答】解：如图所示，圆 O：x 2+y2=r2 与圆 C：（x2） 2+y2=r2（r0）的一个公共点 P，点 P 的横坐标为 x=1；又过点 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于 A，B 两点，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ；又 OAOB， =x1x2+y1y
18、2=0，且 + =r2， + =r2；由此解得 r=2即圆 O：x 2+y2=4，当 x=1 时，y= ，P 在第一象限，y= ，即 P（1， ） ，则 kOP= = ，故答案为： ；2第 12 页（共 23 页）13在ABC 中，BC=6，M 1，M 2 分别为边 BC，AC 的中点， AM1 与 BM2 相交于点G，BC 的垂直平分线与 AB 交于点 N，且 =6，则 = 36 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由 =6 得 用 ， ， 表示出 ，列方程解出【解答】解： =6， M 1，M 2 分别为边 BC，AC 的中点，G 是ABC 的重心 ， = ，（ ） =6即 + =6NM 1
19、BC， BM1=3，BC=6， ， =18 6=6， =36故答案为 36第 13 页（共 23 页）14已知实数 x，y 满足 x2+y2=4，则 4（x ） 2+（y1） 2+4xy 的取值范围是 1 ，22+4 【考点】排序不等式【分析】4（x ） 2+（y 1） 2+4xy=4x24x+1+y22y+1+4xy=（2x+y1） 2+1，再利用三角换元，即可得出结论【解答】解：4（x ） 2+（y 1） 2+4xy=4x24x+1+y22y+1+4xy=（2x+y1） 2+1设 x=2cos，y=2sin ，2x+y 1=4cos+2sin1=2 sin（+ ） 12 1，2 1，（2x
20、+y1） 20，21+4 ，（2x+y1） 2+11，22+4 ，故答案为：1，22+4 15如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 AB，AC，AD 都在平面 的同侧，若顶点 B，C 到平面 的距离分别为 1， ，则顶点 D 到平面 的距离是 【考点】点、线、面间的距离计算【分析】本题的条件正规，但位置不正规牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手出路何在？在正方体的 8 个顶点中，有关系的只有 4 个（其他顶点可不予理会）这 4 点组成直角四面体，这就是本题的根所以最终归结为：已知直角四面体的 3 个顶点 A，B，C 到平面 M 的距离依次为 0，1， ，求顶点
21、D 到平面 M 的距离第 14 页（共 23 页）【解答】解：如图，连结 BC、CD、BD，则四面体 ABCD 为直角四面体作平面 M 的法线 AH，再作，BB 1平面 M 于 B1，CC 1平面 M 于 C1，DD 1平面 M 于 D1连结 AB1，AC 1，AD 1，令 AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，由等体积可得 = + + ， + + =1令BAB 1=，CAC 1=，DAD 1=，可得 sin2+sin2+sin2=1，设 DD1=m， BB1=1，CC 1= ， =1解得 m= 即所求点 D 到平面 的距离为 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 75 分）16在AB
22、C 中，内角 A、B 、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ， =（I）求角 C 的大小；（）若 a=2，求ABC 的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】 （I）由已知式子和余弦定理结合多项式的原可得 b=c 或 b2=c2+a2，分别由等腰三角形和直角三角形可得；（）结合 a=2，分别由等腰三角形和直角三角形的知识和面积公式可得【解答】解：（I）在ABC 中， = ，b 2cosAbc=abcosCa2，由余弦定理可得：第 15 页（共 23 页）b2 bc=ab a2， （b 2+c2a2） bc= （a 2+b2c2）a 2，同乘以 2c 可得 b（b 2+c2a2）2bc 2
23、=c（a 2+b2c2） 2ca2，b（b 2c2a2）=c（a 2+b2c2） ，（b 2c2a2） （bc ）=0，b=c 或 b2=c2+a2，当 b=c 时，由等腰三角形可得角 C= ；当 b2=c2+a2 时，由直角三角形可得角 C= ；（）a=2，当 b=c 时，三角形的高 h=tan=tan（ + ）= =2+ ，此时三角形的面积 S= 2h=2+ ；当 b2=c2+a2 时，由直角三角形可得 c= =2 ，ABC 的面积 S= ac=2 17如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PA=1，AB=AC= ，D 为BC 的中点，过点 D 作 DQAP，且 DQ=
24、1，连结 QB，QC，QP（1）证明：AQ平面 PBC；（2）求二面角 BAQC 的平面角的余弦值第 16 页（共 23 页）【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】 （1）连结 AD，PD，PDAQ=O，推导出四边形 PADQ 为正方形，从而AQDP，由线面垂直得 PABC，由等腰三角形性质得 ADBC，从而 AQBC ，由此能证明 AQ平面 PBC（2）由 AQ平面 PBC，连结 OB，OC，则BOC 为二面角 BAQC 的平面角，由此能求出二面角 BAQC 的平面角的余弦值【解答】证明：（1）如图，连结 AD，PD，PDAQ=O，ABAC ，AB=AC= ，D 为 BC
25、 中点，AD=1，PA平面 ABC，AD平面 ABC，PAAD，PA平面 ABC，AD平面 ABC，PAAD，PA=AD=1，四边形 PADQ 为正方形，AQDP，PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC，D 为线段 BC 的中点，AB=AC ，ADBC ，又 ADPA=A，BC 平面 APQD，AQ 平面 APQD，AQBC ，DP BC=D，AQ平面 PBC解：（2）由（1）知 AQ平面 PBC，连结 OB，OC，则BOC 为二面角 BAQC 的平面角，由题意知 PA=BD=1，OD= ，OB=OC= = ，cosBOC= = = ，二面角 BAQC 的平面角的余弦值为 18已知函数
26、f（x）=x（1 a|x|） 第 17 页（共 23 页）（1）当 a0 时，关于 x 的方程 f（x）=a 有三个相异实根 x1，x 2，x 3，设 x1x 2x 3，求的取值范围；（2）当 a1 时，f （x）在1，1上的最大值为 M，最小值为 m，若 Mm=4，求 a 的值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】 （1）f（x）= ，作其图象，从而利用数形结合求解得a（0， ） ；从而可得 x2+x3= ，x 1= ，从而求得；（2）显然，f（x）为 R 上的奇函数，从而可得 M=2，再分类讨论求最大值即可【解答】解：（1）f（x）= ，当 a0 时，其图象如右图所示，直线 y=a 与 y
27、=f（x）的图象有三个不同的交点，f（ ）a0，即 a0，解得，a（0， ） ；其次，由韦达定理及求根公式可得，x2+x3= ，x 1= ，从而可得， = ，注意到 a（0， ） ， （ ， 1） （2）显然，f（x）为 R 上的奇函数，Mm=2M=4，当 a=0 时，经检验不符合题意，舍去；当 a0 时，函数 f（x）在1，1上单调递增，故 M=f（ 1）=1a=2，故 a=1；第 18 页（共 23 页）当 a0 时，f（x）在（ ， ）和（ ，+）上单调递减，在（ ， ）上单调递增；当 1，即 0a 时， f（x） 1，1上单调递增，可解得 a=1（舍去） ，当 1，即 a 1 时， f
28、（x）在 1，1上的最大值为 f（ ）= =2，解得，a= （舍去） ；综上所述，a=119已知椭圆 C： 的焦距为 2 ，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若 M，N，P 是椭圆 C 上不同的三点，且满足 （O 为坐标原点） ，求实数 的取值范围第 19 页（共 23 页）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】 （1）由椭圆的焦距为 2 ，离心率为 ，列出方程组求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（2）推导出 ，当 PMx 轴时，能求出20 或 02；当直线 MP 的斜率存在时，设方程为 y=kx+m，将其代入椭圆，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=
29、0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题设条件能求出实数 的取值范围【解答】解：（1）椭圆 C： 的焦距为 2 ，离心率为 ， ，解得 a=2，c= ，b= ，椭圆 C 的方程为 （2）M，N，P 是椭圆 C 上不同的三点，且满足 （O 为坐标原点） ， ，设 P（x 1，y 1） ，M （x 2，y 2） ，N（x 0，y 0） ，当 PMx 轴时，x 1=x2，y 1=y20，由 = ，得 x0=0，y 0=2y1，则 x0=0，y 0=1，1 y 10 或 0y 11， 20 或 02当直线 MP 的斜率存在时，设方程为 y=kx+m，将其代入椭圆 ，并整理，得（1+4
30、k 2）x 2+8kmx+4m24=0，则=64k 2m24（1+4k 2） （4m 24）=16（4k 2m2+1）0，第 20 页（共 23 页）解得 m21+4k 2，又 ， ，由 = ，得（x 1，y 1）（x 2，y 2）=（x 0，y 0） ，且 0，即 ， ，又 ，（ ） 2+4（ ） 2=4， =（1+4k 2） 4 =16 ，即 ，联立，得 04 21，2 0 或 02综上所述：实数 的取值范围是（2，0）（0，2） 20已知数列a n满足 a1=1，a n+1= （n N+） （1）证明：a n+1a n；（2）证明： ；（3）证明：a n 第 21 页（共 23 页）【考
31、点】数列与不等式的综合【分析】 （1）化简 an+1= （n N+）后即可证明 an+1a n；（2）先验证 n=1 时成立，当 n2 时利用分离常数法化简后，由放缩法和裂项相消法证明不等式成立；（3）由放缩法化简 后，列出不等式进行归纳、化简证明不等式成立【解答】证明：（1）由 an+1= （n N+）得， = 1，a n+1a n；（2）当 n=1 时， 成立，当 n2 时， = ，则 =1+ ， =n+n+1+=n+1+（1 ）+（ ）+（ ）=n+2 ， ；（3）由（1）得， = = ，则 an+1a n ，由 a1=1 得，a 2= ，则 n=1、2 都成立，当 n3 时，a 3a 2 ， a4a 3 a 2 ，a na 2 = ，综上可得，a n 对一切 nN+都成立第 22 页（共 23 页）第 23 页（共 23 页）2016 年 9 月 19 日
