1、2019/9/4,1,第六章 弯曲变形,2019/9/4,2,61 概述 62 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,63 按叠加原理求梁的挠度与转角,64 梁的刚度校核,第六章 弯曲变形,65 梁内的弯曲应变能,66 简单超静定梁的求解方法,67 如何提高梁的承载能力,2019/9/4,3,6-1 概 述,弯曲变形,2019/9/4,4,弯曲变形,2019/9/4,5,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,2019/9/4,6,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与 y 同向为正，反之为负。,2.
2、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,2019/9/4,7,变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。,三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,小变形,其方程为：,w =f (x),二、挠曲线：,2019/9/4,8,6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程,弯曲变形,设x处挠度为w，转角为,设xdx处挠度为wdw，转角为d,x,ds,2019/9/4,9,弯曲变形,小变形条件下：,2019/9/4,10,挠曲线近似微分方程,弯曲变形,y,x,M0,y,x,M0,对于等截面直梁,2019/9/4,1
3、1,二、求挠曲线方程,1.微分方程的积分,弯曲变形,2019/9/4,12,弯曲变形,支点位移条件：,2.位移边界条件,2019/9/4,13,连续条件：,光滑条件：,弯曲变形,2019/9/4,14,讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。,弯曲变形,2019/9/4,15,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,弯曲变形,L,x,y,2019/9/4,16,弯曲变形,2019/9/4,17,建
4、立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,x,y,x,2019/9/4,18,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,x,y,2019/9/4,19,6-3 按叠加原理求梁的挠度与转角,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,弯曲变形,2019/9/4,20,例2 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,20
5、19/9/4,21,弯曲变形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,2019/9/4,22,弯曲变形,例3 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,2019/9/4,23,=,+,弯曲变形,x,y,x,y,2019/9/4,24,6-4 梁的刚度校核,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；w/L称为许用挠跨比。,弯曲变形,2019/9/4,25,通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、设计载荷。,弯曲变形,2019/9/4,26,例4 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w/L=0.
6、00001,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。,弯曲变形,2019/9/4,27,=,+,+,=,弯曲变形,2019/9/4,28,弯曲变形,x,y,=,+,+,2019/9/4,29,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单 载荷变形。,弯曲变形,x,y,2019/9/4,30,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,x,f,叠加求复杂载荷下的变形,2019/9/4,31,校核刚度,弯曲变形,2019/9/4,32,一、弯曲应变能的计算：,65 梁内的弯曲应变能,弯曲变形,应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去,x,y,F2,2019/9/4,33,弯曲变形,y,已知如
7、图，试求力作用点C的挠度。,A,B,C,2019/9/4,34,解：外力功等于应变能,在应用对称性，得：,弯曲变形,x,y,A,B,C,2019/9/4,35,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,弯曲变形,x,y,A,B,C,2019/9/4,36,6-6 简单超静定梁的求解方法,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,弯曲变形,B,2019/9/4,37,解：建立静定基,确定超静定阶数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,弯曲变形,A,B,x,y,2019/9/4,38,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解
8、其它问题（反力、应力、 变形等）,2019/9/4,39,几何方程变形协调方程：,解：建立静定基,=,例10 结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,x,y,C,=,+,2019/9/4,40,=,LBC,弯曲变形,x,f,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、 变形等）,2019/9/4,41,6-7 如何提高梁的承载能力,强度：正应力：,切应力：,刚度：,稳定性：,与内力和截面性质有关。,弯曲变形,2019/9/4,42,弯曲变形,二、采用变截面梁,最好是等强度梁，矩形截面,则高为,一、选择梁的合理截面,2019/9/4,43,弯曲变形,三、合理布置外力（包
9、括支座），使 M max 尽可能小。,M,x,M,x,M,x,FL/10,2019/9/4,44,弯曲变形,M,x,M,x,M,x,2019/9/4,45,四、梁的侧向屈曲,弯曲变形,可见， 过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了。,五、选用高强度材料，提高许用应力值,2019/9/4,46,弯曲变形,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 （写出积分法的微分方程、边界条件和连续性条件。,2019/9/4,47,弯曲变形,2019/9/4,48,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程 积分,弯曲变形,2019/9/4,49,应用位移边界条件求积分常数,弯曲
10、变形,x,y,F,a,2019/9/4,50,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,2019/9/4,51,例2 求下列等截面直梁B点的位移 （挠度和转角）。,弯曲变形,2019/9/4,52,弯曲变形,2019/9/4,53,例3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。,弯曲变形,a,a,F,0.5a,A,B,C,D,E,x,y,2019/9/4,54,弯曲变形,a,B,C,E,x,y,F/2,C,E,x,y,F/2,B,x,2019/9/4,55,例4 按叠加原理求C点挠度。,弯曲变形,2019/9/4,56,解：载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,b,x,y,C,2019/9/4,57,叠加,弯曲变形,x,y,C,2019/9/4,58,弯曲变形,例5 求如下梁的支反力,2019/9/4,59,弯曲变形,x,y,R,y,x,2019/9/4,60,圆截面：,矩形截面：,2019/9/4,61,求端点的挠度和转角,弯曲变形,2019/9/4,62,作业,6-1 (a) (d) 6-3 (a) 6-11 (d) 6-14 6-36,弯曲变形,2019/9/4,63,本章结束,
