求一次函数解析式.doc

1、1求一次函数解析式常见题型解析一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。第一种情况：直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。（已知是一次函数或已知解析式形式 或已知函数图象是 直线都是已知了一次函ykxb数）一、定义型 一次函数的定义：形如 ，k、b 为常数，且 k0。yx例 1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。283myx解析：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为3m3yx注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 k0。如本例中应保证 。kb 30m例 2. 已知

2、 y-1 与 x1 成正比例,且当 x=1 时,y=5.求 y 与 x 的函数关系式;解析： y-1 与 x1 成正比例，可假设 y-1=k（x 1）又当 x=1 时,y=5，代入求出 k=2，所以 y-1=2（x1） ，变形为 y=2x3注意：“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知 y-1 与 x1 成正比例就可以假设 y-1=k（x1）。2二. 平移型 两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 1l1ykxb2l2ykxb12k12b1l，解决问题时要抓住平行的直线 k 值相同这一特征。2l例 1 . 把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为_。21yx解

3、析： 直线 向下平移得到的直线与直线 平行21yx可设把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为21yx b直线 与 y 轴交点为（0，1）向下平移 2 个单位得到的点为（0，-1）可代入 求出 b=-1 所求解析式为x2 1xy例 2 . 已知直线 与直线 平行，且与 x 轴交点横坐标为 1，则直线的解yk2yx析式为_。解析： 直线 与直线 平行， 。ykxb2yx2k又 直线 与 x 轴交点横坐标为 1，即过点（1,0）代入 中可求出 故直线的解析式为2yb22yx三. 两点型 从几何的角度来看， “两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解

4、析式 中含两个待定系数 k 和 b，所以ykxb两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐 标是解决问题的关键。例 1.已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。解析：设一次函数解析式为 ykxb3由题意得 故这个一次函数的解析式为 24yx例 2 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。解析：设一次函数解析式为 ykxb由图可知一次函数 的图象过点（1，0）、（0，2）有 故这个一次函数的解析式为 2yx例 3. 将直线 绕原点逆时针旋转 900得到直线 l,求直线 l 的解析式24yx解析：先求出直线

5、 与两个坐标轴的交点为（ ，0），（0，-4），2这两点绕原点逆时针旋转 900得到的点的坐标分别为（0，2），（4，0）设直线 l 的解析式为 ，把（0，2） ， （4，0）代入解析式中求出 , b=2.ykxb 12k所以直线 l 的解析式为 14例 4 某 产 品 每 件 成 本 10 元 ， 试 销 阶 段 每 件 产 品 的 销 售 价 x（ 元 ） 与 产 品 的 日 销 售 量 y（ 件 ） 之间 的 关 系 如 下 表 ：若 日 销 售 量 y 是销 售 价 x 的 一 次函 数 （ 1） 求 出 日 销 售 量 y（ 件 ） 与 销 售 价 x（ 元 ） 的 函 数 关 系

6、式 ； （ 2） 求 销 售 价 定 为 30 元 时 ， 每 日 的 销 售 利 润 解析：（ 1） 设 此 一 次 函 数 解 析 式 为 .ykb由 表 中 可 知 两 对 数 值 相 当 于 两 个 点 的 坐 标 （ 15,25） ， （ 20,20）则 解 得 k= 1， b=40 52,0.kb即 一 次 函 数 解 析 式 为 yx（ 2） 每 日 的 销 售 量 为 y=-30+40=10 件 ， 所 获 销 售 利 润 为 （ 30 10） 10=200 元例 5. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭

7、碗的高度 y（cm）与饭碗数 x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？解析：（1）因为摆放在桌面上饭碗的高度 y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数关系，所以可设其函数关系式为 ykb由图可知：当 时， ；当 时， 4x10.5y7x15y把它们分别代入上式，得 ，.4,.kbx （ 元 ） 15 20 25 y （ 件 ） 25 20 15 5解得 ， 一次函数的解析式是 1.5k4.b 1.54.yx(2)当 时， 7x1.54.2y即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是 21cm解题策略：以上各例看上去差别很大，但解 题思路却是

8、一致的，总是想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。这类问题是见得最多的问题。练习题：1. 已知一次函数当 3x6 时，9y18，求 y 与 x 的函数解析式解析：有已知条件可知函数图像过（3,9）、（6,18）或（3,18）、（6,9）两点，用待定系数法求出 y 与 x 的函数解析式。2. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为4k_。解析：易求得直线 与 y 轴交点为(0,-4),再由直线 与两坐标轴所围成4ykx 4ykx的三角形面积等于 4 可知直线与 x 轴交点为(2,0)或(-2,0)，再用待定系数法

9、求出直线解析式。也可以：求得直线与 x 轴交点为 ，所以 ，所以 ，即4,0k412kk故直线解析式为 或2y2yx3. 已知 y 是 x 的一次函数，下表给出了部分对应值，则 m 的值是 。x -1 2 56B ABCEO xy解析：由表格可看出两对数值或两个点的坐标（-1,5） 、 （2，-1 ） ，再用待定系数法求出 y与 x 的函数解析式。4 直线 与直线 的交点的横坐标为 2，与直线 的交点的纵坐标为l12xy 1xy2，求直线 的函数解析式解析：由“直线 与直线 的交点的横坐标为 2”可知直线 上一点坐标（2,5） ，l l由“直线 与直线 的交点的纵坐标为 2”可知直线 上又一点

10、坐标（-1,2） ，再1xy用待定系数法求出直线解析式。5一次函数 的图象过点（ ，5） ，并且与 y 轴相交于点 P，直线kb与 y 轴相交于点 Q，点 Q 与点 P 关于 x 轴对称，求这个一次函数的解析式132yx6 . （2008 年山东省枣庄市） 如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B，折痕为 CE，已知tanOB C 34（1）求 B 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式解：（1）在 RtBOC 中，tanOB C ，OC9， 解得 OB 12，即点 B 的坐标为（12，0） （2）将纸片翻折

11、后，点 B 恰好落在 x 轴上的 B 点，CE 为折痕， CBECB E，故 BEB E，CB CB OA 由勾股定理，得 CB 15 y 5 -1 m7设 AEa，则 EB EB9 a，AB AO OB 1512=3 由勾股定理，得 a 2+32(9a) 2，解得 a4点 E 的坐标为（15，4） ，点 C 的坐标为（0，9） 设直线 CE 的解析式为 y kx+b，根据题意，得 解得 CE 所在直线的解析式为 y x+9 7. （2009 湖北荆门）如图， 一次函数 的图象与 x、y 轴分别交于点 A(2，0)，ykxbB(0，4) (1)求该函数的解析式；(2)O 为坐标原点，设 OA、

12、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点的坐标解析：（1）将点 A、B 的坐标代入 ykxb 并计算得 k ，b42解析式为：y2x 4；（2）设点 C 关于点 O 的对称点为 C，连接 PC、DC，则 PCPC PCPDPCPDC D，即 C、P、D 共线时，PC PD 的最小值是 CD连接 CD，在 RtDCC中，CD 2 ；2易得点 P 坐标为（0，1） （亦可作 RtAOB 关于 y 轴对称的）8. 如图，已知直线 与 x 轴、y 轴分别交与 A 点和 B 点，另一条直线2y经过点 C（ 1，0） 且把AOB 分成两部分)0(

13、kbxy OxyBDACP8CyxBAO(1)写出 A、 B 点的坐标；(2)若AOB 被分成的两部分面积相等，求 k 和 b 的值.（两点型）(3)若 P 点和 C 点在直线 AB 的同侧,且CBA 与PBA 的面积相等 ,求直线 CP 的解析式.（平移型）四、探索型 不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式例 1 （2009 白银）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码鞋长（cm）16 19 21 24鞋码（号）22 28 32 38（1）设鞋长为 x， “鞋码”为 y，试判断点（x

14、 ，y）在你学过的哪种函数的图象上？（2）求 x、y 之间的函数关系式；（3）如果某人穿 44 号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？解析：（1）通过描点推测这是一个一次函数。（2）设函数解析式为 )0(kbxy将（16,22）和（19,28）代入 得 21689kb，求出 ，2k10b所以函数解析式为 ，再用另两点代入解析式验证 yx9（3）当 时，即 ，解得 x=274y2104x所以某人穿 44 号“鞋码”的鞋，他的鞋长是 27（cm）例 2. 通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量 （千克）与市场价格y（元/千克） （ ）存在下列关系：x03x（元/千克） 5 10 15

15、 20（千克）y4500 4000 3500 3000又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量 （千克）与市场价格 （元/千克）zx成正比例关系： （ ） 现不计其它因素影响，如果需求数量 等于生40zx30 y产数量 ，那么此时市场处于平衡状态（1）请通过描点画图探究 与 之间的函数关系，并求出函数关系式；y5 10 15 20 25 (元千克)x(千克)50004500400035003000O（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量 与市场价格

16、 的函数关zx系发生改变，而需求数量 与市场价格 的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状yx态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了 17600 元请问这时该农副产品的市场价格为多少元？解析：（1）描点略设 ，用任两点代入求得 ， ykxb105yx再用另两点代入解析式验证 10（2） ， ， yz10540xx10总销售收入 （元）4农副产品的市场价格是 10 元/千克，农民的总销售收入是 40000 元 （3）设这时该农副产品的市场价格为 元/千克，a则 ， 解之得： ， (105)40176a1823a， 8a这时该农副产品的市场价格为 18 元/千克第二种情况：不已知

17、函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的实际问题之间数量关系，建立函数模型。解题策略：首先要明确自变量和函数变量各自的含义，然后把自变量看成某个固定的已知值去求相应的函数变量值，就可以得到函数解析式。如果难以找到数量关系，可以先用特殊自变量值试探以探求思路。例 1. 某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为_。解析：由题意得 ，即20.t0.2Qt故所求函数的解析式为 （ ）0.2t10t注：本题隐含的数量关系是：油箱中剩油量 Q（升）=存油 20 升-流出的油量。例 2. 甲车速度为 20 米

18、/秒，乙车速度为为 25 米/ 秒。现在甲车在乙车前面 500 米，设 x 秒后两车之间的距离为 y 米，求 y 随 x 的变化的函数解析式，并画出函数图像解析：设经过 t 秒两车相遇，则 25t-20t=500，解得 t=100当 时，甲车在乙车前，y=20x+500-25x=-5x +50010x11当 x100 时， 乙车在甲车前，y=25x -500-20x=5x-500追问：1、150 秒的时候两车相距多少?2、什么时候两车相距 200 米？例 3. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过 20 时，按 2 元 计费；月用水量超过 20 时

19、，其中的 20 仍按 2 元3m3 3m3收费，超过部分按 元 计费设每户家庭用用水量为 时，应交水费 元3.6 3xy（1）分别求出 和 时 与 的函数表达式；0x 0yx（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份 四月份 五月份 六月份交费金额 30 元 34 元 42.6 元小明家这个季度共用水多少立方米？解析：（1）当 时， 与 的函数表达式是 ；02x yx2yx当 时， 与 的函数表达式是 ，2xy20.6()即 ；.6（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过 40 元，六月份的水费超过 40 元，所以把代入 中，得 ；把 代入 中，得 ；把 代入30y2x1534y2x1742

20、.6y中，得 .61所以 573答：小明家这个季度共用水 25m12例 4，如图，等边ABC 中，AB=2，点 P 是 AB 边上的一个动点（可与 A 重合，但不与 B重合） ，过 P 作 PEBC，垂足为 E，过 E 作 EFAC，垂足为 F,过 F 作 FQAB，垂足为Q，设 BP=x,AQ=y.(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 当 BP 的长等于多少时，点 P 与点 Q 重合？FEQPCBA解析：本题中要写出 y 与 x 之间的函数关系式比较困难，可先假设 BP=x= ,求出 AQ 也就12是求出 y.从而探求出解题的思路；然后把 x 当成已知数同样求出相应的 y 得函数

21、解析式。练习题： “母亲节”到了，九年级（1）班班委发起慰问烈属王大妈的活动，决定在“母亲节”期间全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金已知同学们从花店按每支 1.2 元买进鲜花，并按每支 3 元卖出（1）求同学们卖出鲜花的销售额 y（元）与销售量 x（支）之间的函数关系式；（2）若从花店购买鲜花的同时，还总共用去 40 元购买包装材料，求所筹集的慰问金w（元）与销售量 x（支）之间的函数关系式；若要筹集不少于 500 元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？（慰问金=销售额成本）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。通过下面两个问题让同学们自己感受两类问题的区别：1. （20

22、06）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y（元）与上网时间 x（小时）的函数关系如右下图所示，其中 BA 是线段，且 BAx 轴，AC 是射线。（1）当 x 30，求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若小李 4 月份上网 20 小时，他应付多少元的上网费用？13（3）若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间是多少？本题是第一类型：从图像中可看出是一次函数（AC 是射线） ，可以用待定系数法。但不可理解为超过 30 小时后每小时收费 3 元。2.A、B 两地打长途电话，通话三分钟以内收费 2.4 元，超过三分钟超过部分每分钟收费一元，求通话费用 y 元随通话时间 x 分钟的变化的函数关系式，有 10 元钱，打一次电话最多可以打多长时间？本题是第二类型：不已知函数类型，只有根据题目隐含的数量关系建立函数关系式。ACB609030 40 X 小时Y（元）