1、110.5 古典概型知识梳理1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)1n .mn4古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数诊断自测1概念思辨2(
2、1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )(2)事件 A， B 至少有一个发生的概率一定比 A， B 中恰有一个发生的概率大( )(3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，那么事件 A 的概率为 .( )cardAcardI(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A3P134A 组 T5)在平面直角坐标系中点( x， y)，其中 x， y0,1,2,3,4,5，且 x y，则点( x， y)在直线 y x
3、 的上方的概率是( )A. B. C. D.13 12 14 23答案 B解析 在平面直角坐标系中满足 x， y0,1,2,3,4,5，且 x y 的点( x， y)共有66630 个，而满足在直线 y x 的上方，即 yx 的点( x， y)的基本事件共有 15 个，故所求概率为 P .故选 B.1530 12(2)(必修 A3P133A 组 T1)已知 A， B， C， D 是球面上的四个点，其中 A， B， C 在同一圆周上，若 D 不在 A， B， C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取 2 条，这两条直线是异面直线的概率等于_答案 15解析 A， B， C， D 四点可构
4、成一个以 D 为顶点的三棱锥，共 6 条棱，则所有基本事件有：( AB， BC)，( AB， AC)，( AB， AD)，( AB， BD)，( AB， CD)，( BC， CA)，( BC， BD)，(BC， AD)，( BC， CD)，( AC， AD)，( AC， BD)，( AC， CD)，( AD， BD)，( AD， CD)，( BD， CD)，共 15 个，其中满足条件的基本事件有：( AB， CD)，( BC， AD)，( AC， BD)，共 3 个，所以所求概率 P .315 153小题热身(1)(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种
5、在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.13 12 23 56答案 C解析 解法一：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P ，故选 C.46 23解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件 A，则事件 A 包含 2 个基本事件：红紫3与黄白，黄白与红紫由解法一知共有 6 个基本事件，因此 P(A) ，从而红色和紫色26 13的花不在
6、同一花坛的概率是 P( )1 P(A) .故选 C.A 23(2)(2018山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个，这个点在圆 x2 y22016 内部的概率是( )A. B. C. D.35 25 15 45答案 B解析 从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个的基本事件总数为 5，这个点在圆 x2 y22016 内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共 2 个，这个点在圆 x2 y22016 内部的概率 P ，故选 B.25题型 1 简单古典概型
7、的求解(2016北京高考)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率 典 例 1为( )A. B. C. D.15 25 825 925答案 B解析 设其他 3 名学生为丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共 432110 种其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共 4 种，故甲被选中的概率为 ，或 P .故选 B.410 25 C1C14C25 25(2017山西一模)现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2
8、 道备 典 例 2选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A. B. C. D.13 23 12 34答案 C解析 记两道题分别为 A， B，所有抽取的情况为AAA， AAB， ABA， ABB， BAA， BAB， BBA， BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取4的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目)，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为 ABA， ABB， BAA， BAB，共 4 种故所求事件的概率为 .故选 C.12方法技巧应用古典概型求某事件的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件
9、，设出所求事件 A；第二步，分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m；第三步，利用公式 P(A) ，求出事件 A 的概率见典例 1,2.mn冲关针对训练(2018安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取 100 人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为 ，良好的频率为 ；乙种汽车被评价为优秀的频35 25率为 ，良好的频率是合格的频率的 5 倍710(1)求这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；(2)如果从这 100 人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法
10、抽取 5 人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人进行座谈会，会后从这 7 人中随机抽取 2 人，求选取的 2 人评价都是优秀的概率解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为 ，710故评价良好或合格的频率为 1 .710 310设评价合格的频率为 x，则评价良好的频率为 5x，由题意可得 x5 x ，解得 x .310 120所以这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为 100 95.(710 5120)(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为 ，良好的频率为 ，则用分层抽样的方法抽取 535 25人，其中有 3 人评价优秀，2 人评价良好又从对乙种汽车评价优秀、良好的人中
11、各选取 1 人，所以 7 人中评价优秀的 4 人，评价良好的 3 人由题意得： P .C24C27 275题型 2 复杂古典概型的求解(2016山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加典 例活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x， y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解 用数对( x， y)表示儿童参加活动先
12、后记录的数，则基本事件空间 与点集S( x， y)|xN， yN,1 x4,1 y4一一对应因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16.(1)记“ xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)P(A) ，即小亮获得玩具的概率为 .516 516(2)记“ xy8”为事件 B， “3 ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率516 38516结论探究 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率解 由题意知当 xy3 时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共 11 个，即(1,4)，(2,2)，(2,3
13、)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事6件总数共 16 个，所以此事件概率为 P .1116或根据对立事件求解： xy3 时包含事件个数为 5 个，故其获得玩具的概率为 ，则516不能获得玩具的概率为 1 .516 1116方法技巧1复杂古典概型的求解策略求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解2基本事件个数的确定方法冲关针对训练(2018成都诊断)某市 A， B 两
14、所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数不少于 2人的概率解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 ，C3C34C36C36 1100因此， A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 .1
15、100 991007(2)设“参赛的 4 人中女生不少于 2 人”为事件 A，记“参赛女生有 2 人”为事件B， “参赛女生有 3 人”为事件 C.则 P(B) ， P(C) .C23C23C46 35 C3C13C46 15由互斥事件的概率加法，得 P(A) P(B) P(C) ，35 15 45故所求事件的概率为 .45题型 3 古典概型与统计的综合问题(2018安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩典 例按 120 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中 a，
16、b 的值及成绩在90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在90,150内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于 10 的概率解 (1)由茎叶图知成绩在50,70)范围内的有 2 人，在110,130)范围内的有 3 人， a0.1， b3.8成绩在90,110)范围内的频率为 10.10.250.250.4，成绩在90,110)范围内的样本数为 200.48，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P10.10.250.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为 (10
17、0,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共 21 个基本事件，或基本事件数为 C 21，27设事件 A“取出的两个样本中数字之差小于或等于 10”，则 A(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,1
18、06)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共 10 个基本事件， P(A) .1021方法技巧求解古典概型与统计交汇问题的思路1依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息2选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数3进行统计与古典概型概率的正确计算冲关针对训练(2018广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得 2022 年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取120 名群众，按
19、他们的年龄分组：第 1 组20,30)，第 2 组30,40)，第 3 组40,50)，第 4组50,60)，第 5 组60,70，得到的频率分布直方图如图所示9(1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第 1 组或第 4组的概率；(2)已知第 1 组群众中男性有 3 名，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，求至少有 1 名女性群众的概率解 (1)设第 1 组20,30)的频率为 f1，则由题意可知，f11(0.0100.0350.0300.020)100.05.被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 0.050.020100.25.估计被
20、采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.25.(2)解法一：第 1 组20,30)的人数为 0.051206.第 1 组中共有 6 名群众，其中女性群众共 3 名记第 1 组中的 3 名男性群众分别为 A， B， C,3 名女性群众分别为 x， y， z，从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队包含( A， B)，( A， C)，( A， x)，( A， y)，(A， z)，( B， C)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，(y， z)，共 15 个基本事件至少有一名女性群众包含(
21、A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，(C， y)(C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共 12 个基本事件从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，至少有 1 名女性群众的概率为 .1215 45解法二：第 1 组中有 3 男 3 女，由题意得 P1 .C23C26 451(2017全国卷)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25答案
22、 D10解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P .故选 D.1025 252(2017山东高考)从分别标有 1,2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 79答案 C解析 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，解 法 一 ： P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数) ，59 48 518P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数) .
23、49 58 518 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同) .518 518 59故选 C.依题意，得 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同) .故选 C.解 法 二 ：54C29 593(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 C解析 解法一：从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有
24、红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P .故选 C.410 25解法二：由题意得 P1 .故选 C.C24C25 254(2018洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a， b，则直线ax by0 与圆( x2) 2 y22 有公共点的概率为_答案 71211解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组( a， b)有 C C 361616种，其中满足直线 ax by0 与圆( x2) 2 y22 有公共点，即满足 ， a2 b22aa2 b2 2的数组( a， b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共 65432121 种，因此
25、所求的概率等于 .2136 712基础送分 提速狂刷练一、选择题1先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12,11,10 的概率依次是P1， P2， P3，则( )A P1 P2 P3 B P1 P2 P3C P1 P2 P3 D P3 P2 P1答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有 36 种可能，而点数之和为 12,11,10 的概率分别为 P1 ， P2 ， P3 .故选 B.136 118 1122(2018郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名
26、学生被录取到同一所大学的概率为( )A. B. C. D.12 916 1116 724答案 B解析 所求概率 P .故选 B.C24A3444 9163从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B. C. D.12 13 14 16答案 B解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有 C 6 种情况：满足取出的 2 个数之差的绝24对值为 2 的(1,3)，(2,4)，故所求概率是 .故选 B.26 134(2018山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1
27、 张，若他从口袋中随机地摸出 2 张，则其面值之和不少于四元的概率为( )12A. B. C. D.310 25 12 35答案 C解析 小明口袋里共有 5 张餐票，随机地摸出 2 张，基本事件总数 n10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数 m5，故其面值之和不少于四元的概率为 .故选 C.mn 510 125(2018保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b1,2,3，若| a b|1，则称甲、乙“心有灵犀” ，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.13 59 23
28、 79答案 D解析 甲任想一数字有 3 种结果，乙猜数字有 3 种结果，基本条件总数为 339.设“甲、乙心有灵犀”为事件 A，则 A 的对立事件 B 为“| a b|1” ，即| a b|2，包含 2 个基本事件， P(B) . P(A)1 .故选 D.29 29 796(2018浙江金丽衢十二校联考)若在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ( )A. B. C. D.17 27 37 47答案 C解析 因为任取 3 个顶点连成三角形共有 C 56 个，又每个顶点为直3887632角顶点的非等腰三角形有 3 个，即正方体的一边与过此点的一条面对角线，
29、所以共有 24 个三角形符合条件所以所求概率为 .故选 C.2456 377(2017甘肃质检)将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )A. B. C. D.1564 15128 24125 48125答案 A解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解将 5 本不同的书分给 4 名同学，共有 451024 种分法，其中每名同学至少一本的分法有 C A 240 种，254故所求概率是 ，故选 A.2401024 15648抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，那么直线 1 的斜率 kxa yb的概率为( )12A. B. C. D.1
30、2 13 34 1413答案 D解析 记 a， b 的取值为数对( a， b)，由题意知( a， b)的所有可能取值有 36 种由直线 1 的斜率 k ，知 ，那么满足题意的( a， b)可能的取值为(2,1)，xa yb ba 12 ba 12(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有 9 种，所以所求概率为 .故选 D.936 149某酒厂制作了 3 种不同的精美卡片，每瓶酒盒随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种酒 5 瓶，能获奖的概率为( )A. B. C. D.3181 3381 4881 5081答案 D解析
31、假设 5 个酒盒各不相同，5 个酒盒装入卡片的方法一共有 35243 种，其中包含了 3 种不同卡片有两种情况：即一样的卡片 3 张，另外两种不同的卡片各 1张，有 C 2360 种方法，两种不同的卡片各 2 张，另外一种卡片 1 张，有35C 3C 15690 种，15 24故所求的概率为 .故选 D.90 60243 508110(2018淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，若点( P1， P2)在圆( x m)2 y2 的内部，
32、则实数 m 的取值范137144围是( )A. B.(518， ) ( ， 718)C. D.(718， 518) ( 518， 718)答案 D解析 对于 a 与 b 各有 6 种情形，故总数为 36 种两条直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 平行的情形有 a2， b4 或 a3， b6，故概率为 P1 .236 118两条直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 相交的情形除平行与重合( a1， b2)即可， P2 .3336 1112点( P1， P2)在圆( x m)2 y2 的内部，137144 2 2 的概率是 _y2b2 5答案 16解析 由 e ，得 b2
33、a.当 a1 时， b3,4,5,6 四种情况；当 a2 时，1 b2a2 5b5,6 两种情况，总共有 6 种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数( a， b)共有 36 种结果所求事件的概率 P .636 1613(2018湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，则使得直线 bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 的概率为_423答案 19解析 根据题意，得到的点数所形成的数组( a， b)共有 6636 种，其中满足直线bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 ，则圆心到直线的距离不小于 ，即423 131 ，即 1 a2 b29 的有
34、(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线1a2 b2 13bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 的概率为 .423 436 1914(2018唐山模拟)无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5，当 a1a3， a3a5时称为波形数，则由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是_答案 215解析 a2a1， a3； a4a3， a5， a2只能是 3,4,5.(1)若 a23，则 a45， a54， a1与 a3是 1 或 2，这时共有 A 2(个)符合条件的五2位数(2)若 a24，则 a45， a1， a3， a5可以是 1
35、,2,3，共有 A 6(个)符合条件的五位3数(3)若 a25，则 a43 或 4，此时分别与(1)(2)情况相同15满足条件的五位数有 2(A A )16(个)2 3又由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A 120(个)，故所求概率5为 .16120 215三、解答题15为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了 40 只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 5,15) 15,25)25,35)35,45)45,55频数 2 8 16 10 4从乙水产养殖
36、场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 5,15) 15,25)25,35)35,45)45,55频数 2 6 18 10 4(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：重量/ 5,25) 25,45) 45,5516克等级 三级 二级 一级若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；(3)从乙水产养殖场抽取的重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取 6 只，再从这 6 只中随机
37、抽取 2 只，求至少有 1 只的重量在15,25)内的概率解 (1)(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 0.75，16 10 440“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 0.8，18 10 440所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中抽取 6 只，则重量在5,15)内的有 1 只，在15,25)内的有 3 只，在45,55内的有 2 只， 记重量在5,15)内的 1 只为 x，在15,25)内的 3 只分别为 y1， y2， y3，在45,55内的2
38、 只分别为 z1， z2，从中任取 2 只，可能的情况有( x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( x， z1)，(x， z2)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，( y2， z1)，( y2， z2)，(y3， z1)，( y3， z2)，( z1， z2)，共 15 种；记“任取 2 只，至少有 1 只的重量在15,25)内”为事件 A，则事件 A 包含的情况有(x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，
39、( y2， z1)，(y2， z2)，( y3， z1)，( y3， z2)，共 12 种17所以 P(A) .1215 45解法二：由解法一可知：重量在15,25)内有 3 只，由题意可得 P1 .C23C26 4516(2017石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据 GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克) (3,5 (5,8 (8,12 12 以上等级 P1 P2 P3 P4为了了解一批空气净化器(共
40、 2000 台)的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14中，按照(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14均匀分组，其中累积净化量在(4,6的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7 和 5.9，并绘制了如下频率分布直方图(1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为 P2的概率解 (1)在(4,6之间的数据一共有 6 个，再由频率分布直
41、方图得：落在(4,6之间的频率为 0.0320.06，18 n 100，60.06由频率分布直方图的性质得：(0.03 x0.120.140.15)21，解得 x0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8之间共：0.12210024 台又在(5,6之间共 4 台，落在(5,8之间共 28 台，估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有 560 台(3)设“恰好有 1 台等级为 P2”为事件 B，依题意落在(4,6之间共 6 台，属于国标 P2级的有 4 台，则从(4,6中随机抽取 2 台，基本事件总数 nC 15，26事件 B 包含的基本事件个数 mC C 8，1412恰好有 1 台等级为 P2的概率 P(B) .mn 815
