1、110.5 古典概型基础送分 提速狂刷练一、选择题1先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12,11,10 的概率依次是P1， P2， P3，则( )A P1 P2 P3 B P1 P2 P3C P1 P2 P3 D P3 P2 P1答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有 36 种可能，而点数之和为 12,11,10 的概率分别为 P1 ， P2 ， P3 .故选 B.136 118 1122(2018郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同
2、一所大学的概率为( )A. B. C. D.12 916 1116 724答案 B解析 所求概率 P .故选 B.C24A3444 9163从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B. C. D.12 13 14 16答案 B解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有 C 6 种情况：满足取出的 2 个数之差的绝对24值为 2 的(1,3)，(2,4)，故所求概率是 .故选 B.26 134(2018山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张，若他从口
3、袋中随机地摸出 2 张，则其面值之和不少于四元的概率为( )A. B. C. D.310 25 12 35答案 C解析 小明口袋里共有 5 张餐票，随机地摸出 2 张，基本事件总数 n10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数 m5，故其面值之和不少于四元的概率为 .故选 C.mn 510 125(2018保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b1,2,3，若| a b|1，则称甲、乙2“心有灵犀” ，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.13 59 23 79答案 D解
4、析 甲任想一数字有 3 种结果，乙猜数字有 3 种结果，基本条件总数为 339.设“甲、乙心有灵犀”为事件 A，则 A 的对立事件 B 为“| a b|1” ，即| a b|2，包含 2 个基本事件， P(B) . P(A)1 .故选 D.29 29 796(2018浙江金丽衢十二校联考)若在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ( )A. B. C. D.17 27 37 47答案 C解析 因为任取 3 个顶点连成三角形共有 C 56 个，又每个顶点为直角3887632顶点的非等腰三角形有 3 个，即正方体的一边与过此点的一条面对角线，所以共有 24
5、个三角形符合条件所以所求概率为 .故选 C.2456 377(2017甘肃质检)将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )A. B. C. D.1564 15128 24125 48125答案 A解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解将 5 本不同的书分给 4 名同学，共有 451024 种分法，其中每名同学至少一本的分法有 C A 240 种，254故所求概率是 ，故选 A.2401024 15648抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，那么直线 1 的斜率 k 的xa yb 12概率为( )A. B. C. D.12 13 3
6、4 14答案 D解析 记 a， b 的取值为数对( a， b)，由题意知( a， b)的所有可能取值有 36 种由直线 1 的斜率 k ，知 ，那么满足题意的( a， b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，xa yb ba 12 ba 12(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有 9 种，所以所求概率为 .936 14故选 D.9某酒厂制作了 3 种不同的精美卡片，每瓶酒盒随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种酒 5 瓶，能获奖的概率为( )3A. B. C. D.3181 3381 4881 5081答案 D解析 假设 5 个酒
7、盒各不相同，5 个酒盒装入卡片的方法一共有 35243 种，其中包含了 3 种不同卡片有两种情况：即一样的卡片 3 张，另外两种不同的卡片各 1 张，有 C 2360 种方法，两种不同的卡片各 2 张，另外一种卡片 1 张，有35C 3C 15690 种，15 24故所求的概率为 .故选 D.90 60243 508110(2018淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，若点( P1， P2)在圆( x m)2 y2 的内部，则实数 m
8、的取值范围137144是( )A. B.(518， ) ( ， 718)C. D.(718， 518) ( 518， 718)答案 D解析 对于 a 与 b 各有 6 种情形，故总数为 36 种两条直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 平行的情形有 a2， b4 或 a3， b6，故概率为 P1 .236 118两条直线 l1： ax by2， l2： x2 y2 相交的情形除平行与重合( a1， b2)即可， P2 .3336 1112点( P1， P2)在圆( x m)2 y2 的内部，137144 2 2 的概率是_y2b2 5答案 16解析 由 e ，得 b2a.当 a1
9、时， b3,4,5,6 四种情况；当 a2 时，1 b2a2 5b5,6 两种情况，总共有 6 种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数( a， b)共有 36 种结果所求事件的概率 P .636 1613(2018湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，则使得直线 bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 的概率为_423答案 19解析 根据题意，得到的点数所形成的数组( a， b)共有 6636 种，其中满足直线bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 ，则圆心到直线的距离不小于 ，即423 131 ，即 1 a2 b29 的有(1,1)，(
10、1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线1a2 b2 13bx ay1 与圆 x2 y21 相交且所得弦长不超过 的概率为 .423 436 1914(2018唐山模拟)无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5，当 a1a3， a3a5时称为波形数，则由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是_答案 215解析 a2a1， a3； a4a3， a5， a2只能是 3,4,5.(1)若 a23，则 a45， a54， a1与 a3是 1 或 2，这时共有 A 2(个)符合条件的五位2数(2)若 a24，则 a45， a1， a3， a5可以是 1,2,3，共有
11、 A 6(个)符合条件的五位数3(3)若 a25，则 a43 或 4，此时分别与(1)(2)情况相同满足条件的五位数有 2(A A )16(个)2 3又由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A 120(个)，故所求概率为5 .16120 215三、解答题15为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了 40 只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 5,15) 15,25) 25,35) 35,45) 45,555频数 2 8 16 10 4从乙水产养殖场中抽取的
12、 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 5,15) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55频数 2 6 18 10 4(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：重量/克 5,25) 25,45) 45,55等级 三级 二级 一级若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；(3)从乙水产养殖场抽取的重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取 6 只，再从这 6 只中随机抽取 2
13、 只，求至少有 1 只的重量在15,25)内的概率解 (1)6(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 0.75，16 10 440“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 0.8，18 10 440所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中抽取 6 只，则重量在5,15)内的有 1 只，在15,25)内的有 3 只，在45,55内的有2 只， 记重量在5,15)内的 1 只为 x，在15,25)内的 3 只分别为 y1， y2， y3，在45,55内的2 只分别
14、为 z1， z2，从中任取 2 只，可能的情况有( x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( x， z1)，(x， z2)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，( y2， z1)，( y2， z2)，(y3， z1)，( y3， z2)，( z1， z2)，共 15 种；记“任取 2 只，至少有 1 只的重量在15,25)内”为事件 A，则事件 A 包含的情况有(x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，( y2
15、， z1)，(y2， z2)，( y3， z1)，( y3， z2)，共 12 种所以 P(A) .1215 45解法二：由解法一可知：重量在15,25)内有 3 只，由题意可得 P1 .C23C26 4516(2017石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据 GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克) (3,5 (5,8 (8,12 12 以上7等级 P1 P2 P3 P4为了了解一批空气净化器(共 2000
16、 台)的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14中，按照(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14均匀分组，其中累积净化量在(4,6的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7 和 5.9，并绘制了如下频率分布直方图(1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为 P2的概率解 (1)在(4,6之间的数据一共有 6 个，再由频率分布直方图得：落
17、在(4,6之间的频率为 0.0320.06， n 100，60.06由频率分布直方图的性质得：(0.03 x0.120.140.15)21，解得 x0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8之间共：0.12210024 台又在(5,6之间共 4 台，落在(5,8之间共 28 台，估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有 560 台(3)设“恰好有 1 台等级为 P2”为事件 B，依题意落在(4,6之间共 6 台，属于国标 P2级的有 4 台，则从(4,6中随机抽取 2 台，基本事件总数 nC 15，268事件 B 包含的基本事件个数 mC C 8，1412恰好有 1 台等级为 P2的概率 P(B) .mn 815
