1、13.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)基础初探教材整理 1 均值不等式阅读教材 P69P 71，完成下列问题.1.重要不等式如果 a， bR，那么 a2 b22 ab(当且仅当 a b 时取“”).2.均值不等式 aba b2(1)均值不等式成立的条件： a0， b0；(2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ；a b2 ab(2)均值不等式可叙述为两个正数的
2、算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对任意 a， bR， a2 b22 ab， a b2 均成立.( )ab(2)若 a0，则 a 2 4.( )4a a4a(3)若 a0， b0，则 ab .( )(a b2 )2 (4)两个不等式 a2 b22 ab 与 成立的条件是相同的.( )a b2 ab(5)若 ab1， a0， b0，则 a b 的最小值为 2.( )【解析】 (1).任意 a， bR，有 a2 b22 ab 成立，当 a， b 都为正数时，不等式a b2 成立.ab2(2).只有当 a0 时，根据均值不等式，才有不等式 a 2 4 成立.
3、4a a4a(3).因为 ，所以 ab .aba b2 (a b2 )2 (4).因为不等式 a2 b22 ab 成立的条件是 a， bR；而 成立的条件是a b2 aba， b 均为非负实数.(5).因为 a0， b0，所以 a b2 2，当且仅当 a b1 时取等号，故 a b 的ab最小值为 2.【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)教材整理 2 均值不等式的应用阅读教材 P70例 1P 71例 3，完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个正数
4、的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( )(2)若 a0， b0 且 a b4，则 ab4.( )(3)当 x1 时，函数 f(x) x 2 ，所以函数 f(x)的最小值是 2 .( )1x 1 xx 1 xx 1(4)如果 log3mlog 3n4，则 m n 的最小值为 9.( )(5)若 x， yR ，且 x4 y1，则 xy 的最大值为 .( )116【解析】 (1).由均值不等式求最值条件可知.(2).因为 2，所以 ab4.aba b2 42(3).因为当 x1 时， x10，则 f(x) x ( x1) 121x 1 1x 113. x 1 1x 1当且仅当 x1
5、，即 x2 时，函数 f(x)的取到最小值 3.1x 1(4).因为由 log3mlog 3n4，得 mn81 且 m0， n0，而 9，m n2 mn所以 m n18，当且仅当 m n9 时，m n 取到最小值 18.3(5).因为 x， yR ，而 4xy ，所以 xy .(x 4y2 )2 (12)2 14 116当且仅当 x4 y，即 x ， y 时取等号.12 18【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)小组合作型利用均值不等式比较代数式的大小(1)已知 a， b， c 是两两不等的实数，则 p a2 b2 c2与 q ab bc ca 的大小关系是_.(2)给出下列命题：若
6、 xR，则 x 2；1x若 a0， b0，则 lg alg b2 ；lg alg b若 a0， b0，则 ab 2；1ab不等式 2 成立的条件是 x0 且 y0.其中正确命题的序号是_.yx xy【精彩点拨】 (1)由于 p 是平方和的形式，而 q 是 a， b， c 两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.【自主解答】 (1) a， b， c 互不相等， a2 b22 ab， b2 c22bc， a2 c22ac.2( a2 b2 c2)2(ab bc ac).即 a2 b2 c2ab bc ac，亦即 pq.(2)只有当 x0 时，才能由均值不等式
7、得到 x 2 2，故错误；当 a0， b01x x1x时，lg aR，lg bR，不一定有 lg a0，lg b0，故 lg alg b2 不一lg alg b定成立，故错误；当 a0，由均值不等式可得 ab 2 2，故1ab ab1ab正确；由均值不等式可知，当 0， 0 时，有 2 2 成立，这时只需 x 与 yyx xy yx xy yxxy4同号即可，故错误.【答案】 (1) pq (2)1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a b2 成立的条件是aba0， b0，等号成立的条件是 a b； a2 b22 ab
8、成立的条件是 a， bR，等号成立的条件是 a b.再练一题1.设 a0， b0，试比较 ， ， ， 的大小，并说明理由. a b2 ab a2 b22 21a 1b【导学号：18082044】【解】 a0， b0， ，1a 1b 2ab即 (当且仅当 a b 时取等号)，ab21a 1b又 (a b2 )2 a2 2ab b24 ，a2 b2 a2 b24 a2 b22 (当且仅当 a b 时等号成立)，a b2 a2 b22而 ，故 (当且仅当 a b 时等号成立).aba b2 a2 b22 a b2 ab 21a 1b不等式的证明已知 a， b， c 为不全相等的正实数.求证： a b
9、 c .ab bc ca【精彩点拨】 【自主解答】 a0， b0， c0，5 a b2 0， b c2 0， c a2 0.ab bc ca2( a b c)2( )，ab bc ca即 a b c .ab bc ca由于 a， b， c 为不全相等的正实数，故等号不成立. a b c .ab bc ca1.所证不等式一端出现“和式” ，而另一端出现“积式” ，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知” ，逐步推向“未
10、知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.再练一题2.已知 a0， b0， a b1，求证： 9.(11a)(1 1b)【证明】 法一：因为 a0， b0， a b1，所以 1 1 2 .同理 1 2 .1a a ba ba 1b ab故 (11a)(1 1b) (2 ba)(2 ab)52 549.(ba ab)所以 9(当且仅当 a b 时取等号).(11a)(1 1b) 12法二： 1 1 1 ，(11
11、a)(1 1b) 1a 1b 1ab a bab 1ab 2ab因为 a， b 为正数， a b1，所以 ab ，于是 4， 8.(a b2 )2 14 1ab 2ab因此 189(当且仅当 a b 时等号成立).(11a)(1 1b) 126均值不等式的实际应用如图 321，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 图 321【导学号：18082045】【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x6 y36 的前提下求 xy 的最大值.【自主解答
12、】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知，4 x6 y36，即 2x3 y18.设每间虎笼面积为 S，则 S xy.法一：由于 2x3 y2 2 ，2x3y 6xy所以 2 18，得 xy ，6xy272即 Smax ，当且仅当 2x3 y 时，等号成立.272由Error! 解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.法二：由 2x3 y18，得 x9 y.32 x0，00. S .32 6 y y2 2 272当且仅当 6 y y，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.1.
13、在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；7(4)正确写出答案.2.对于函数 y x (k0)，可以证明 x(0， 及 ，0)上均为减函数，在kx k k ， )及(， 上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含 ，可k k k用均值不等式，不包含 就用函数的单调性.k再练一题3.某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加
14、4 万元.该船每年捕捞总收入 50 万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解】 (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则y50 n98 12nn n 12 42 n240 n982( n10) 2102，当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元.(2)年平均利润为 2yn (n 49n 20)2 12，(2n49n 20)当且仅当 n ，即 n7 时上式取等号.49n当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元.探究共研型利用均值不等式求最值探究 1 由 x2 y22 xy 知 xy ，当且仅当 x y 时“”成
15、立，能说 xy 的最x2 y22大值是 吗？能说 x2 y2的最小值为 2xy 吗？x2 y22【提示】 最值是一个定值(常数)，而 x2 y2或 2xy 都随 x， y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式 (a， bR )求最值，必须保证一端a b2 ab是定值，方可使用.探究 2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：8“因为 y x 2 2，当且仅当 x ，即 x21 时“”号成立，所以1x x1x 1xy x 的最小值为 2.”你认为他的求解正确吗？为什么？1x【提示】 不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足 x 与 都是正数，而本题 x1x可能
16、为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当 x0 时，y x 2 2，当且仅当 x ，即 x1 时取“” ， y x 的最小值是 2；当1x x1x 1x 1xx0，求 f(x) 的最大值；2xx2 1(4)已知 x0， y0，且 1，求 x y 的最小值.1x 9y【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征.(1)4x2 4 x5 3.14x 5 14x 5(2) x(12 x) 2x(12 x).12 14(3) .2xx2 1 2x 1x9(4)x y( x y)1( x y) .(1x 9y)【自主解答】 (1) x0，54 y4
17、x2 3231，14x 5 (5 4x 15 4x)当且仅当 54 x ，即 x1 时，上式等号成立，15 4x故当 x1 时， ymax1.(2)00，12 y 2x(12 x) .14 14 (2x 1 2x2 )2 14 14 116当且仅当 2x12 x ，即 x 时， ymax .(00， x 2 2，1x x1x f(x) 1，当且仅当 x ，即 x1 时等号成立.22 1x(4) x0， y0， 1，1x 9y x y (x y) 1061016，(1x 9y) yx 9xy当且仅当 ，又 1，yx 9xy 1x 9y即 x4， y12 时，上式取等号.故当 x4， y12 时，
18、( x y)min16.1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.10再练一题4.已知 a0， b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值等于( )2a 1b m2a bA.10 B.9 C.8
19、 D.7【解析】 a0， b0，2 a b0，要使 恒成立，只需 m(2 a b)2a 1b m2a b恒成立，而 (2a b) 4 1549，当且仅当 a b 时，等号成立.(2a 1b) (2a 1b) 2ab 2ba m9.故应选 B.【答案】 B1.已知 a0， b0，且 a b2，则( )A.ab B.ab12 12C.a2 b22 D.a2 b23【解析】 由 a b2，得 ab 1，排除选项 A，B.由 2，得(a b2 )2 a2 b22 (a b2 )a2 b22.【答案】 C2.已知 x1， y1 且 lg xlg y4，则 lg xlg y 的最大值是( )A.4 B.2
20、 C.1 D.14【解析】 x1， y1，lg x0，lg y0，lg xlg y 4，当(lg x lg y2 )2 且仅当 lg xlg y2，即 x y100 时取等号.【答案】 A3.函数 ylog 2 (x1)的最小值为( )(x1x 1 5)A.3 B.3 C.4 D.4【解析】 x 5( x1) 62 68，当且仅当1x 1 1x 1 x 1 1x 1x2 时，取“” ，11log 2 3， ymin3.(x1x 1 5)【答案】 B4.若正数 a， b 满足 ab a b3，则 ab 的取值范围是_.【解析】 a0， b0， ab a b32 3，即 ab2 30，解得ab a
21、b3 ，即 ab9.ab【答案】 9，)5.(1)当 x 时，求函数 y x 的最大值；32 82x 3(2)设 0 x2，求函数 y 的最大值.x 4 2x【解】 (1) y (2x3) 12 82x 3 32 .(3 2x2 83 2x) 32当 x 时，有 32 x0，32 2 4，3 2x2 83 2x 3 2x2 83 2x当且仅当 ，即 x 时取等号.3 2x2 83 2x 12于是 y4 ，故函数的最大值为 .32 52 52(2)0 x2，2 x0， y ，x 4 2x 2 x 2 x 2x 2 x2 2当且仅当 x2 x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y 的最大值为 .x 4 2x 2
