1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 19 炼 利用函数证明数列不等式利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。一、基础知识：1、考察类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题2、恒成立不等式的（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。（2）恒成
2、立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式3、常见恒成立不等式：（1） 对数多项式 （2） 指数多项式ln1x1xe4、关于前 项和的放缩问题：求数列前 项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶n段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第 项与第 项的和为常数的特点k1k（2）错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式（例如 ，求和可用错位相减）2na（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且 裂开的某项能够与后面项裂开的某n项进行相消。注：在放缩法处理数列求和不等
3、式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项” ，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）二、典型例题：例 1： 已知函数 在 处取得极值
4、2lnfxax0（1）求实数 的值a（2）证明：对于任意的正整数 ，不等式 都成立2341ln()9解：（1） 为 的极值点 12fxxa0fx0（2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在中，存在对数，且左边数列的通项公式 也2ln1fxx 221nan具备 项的特征，所以考虑分析 与 的大小关系，然后与数列进行联系。f ln1x2x解：下面求 的单调区间2ln1x,令 3xf0fxx1,0,+g xAA即 （每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式，0ff2ln1x不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）令 ，则 即1xn2ln21ln22313ll4 高考资
5、源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -即 23412ln()9小炼有话说：（1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（ ） ，通过对应项21,lnnab的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值，而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：关注函数最值所产生的恒成立不等式 注意不等号的方向应该与所证不等式同向（2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关） ，所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点思路二：发现不等式两边均
6、有含 的表达式，且一侧作和，所以考虑利用数学归纳法给予证n明：解：用数学归纳法证明： 当 时，不等式为 成立1n2ln 假设 时，不等式成立（即 ）k23412ln()9k当 时，若要证2341l9k23412ln()9k只需证2 211ln()l lnlkkk （下同思路一：分析 的最值可得 ）fxlnxx令 ，由恒成立不等式 可得1xk2l1211lnkk即所证不等式成立 ，均有nN2342ln(1)9小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点：（1）格式的书写 （2）要利用 所假nk设的条件例 2： 已知函数 2ln1fxax高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -（
7、1）当 时，求函数 的单调区间14afx（2）当 时，函数 图像上的点都在 所表示的平面区域内，求0,x()yf0xy实数 的取值范围a（3）求证： （其中124821135ne是自然对数的底数）,nNe解：（1）常规解法，求出单调区间找最值21ln4fxx,令 求出单调区间如下：2 211xf 0fxx, 1,f xAA（2）解： 函数 图像上的点都在 区域内，()yf0xy条件等价于 , 恒成立，即0x2ln1a2ln10axx令 2ln1ga0g2 21xxx 令 即0210ga1a 时， 不符合题意2lnln10a（此时发现单调性并不能直接舍掉 的情况，但可估计函数值的趋势， 恒为正，
8、而0alnx早晚会随着 值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需2axx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -即可，所以选择 ）20ax1xa 时， 即 在 单调递减20aggx0,，符合题意gx综上所述：（3）思路：观察所证不等式 ，124821135ne左边连乘，右边是 ，可以想到利用两边取对数“化积为和” ，同时利用第二问的结论。第二e问给我们提供了恒成立的不等式， 时， ，取 ，即0a2lnxx0a，则可与左边的求和找到联系。ln1x解：所证不等式等价于 1242ln1ln1ln135n由（2）可得 ，令 ，即lx12nnx111
9、2ln =2n nnnn（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列裂项相消） 121122ln1ln322n nn n不等式得证小炼有话说： （1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路） ，以及如何将约束条件转变为恒成立问题（2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式（3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题例 3： 已知函数 )1(ln1()xaxf高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -（1）当 时，讨论 的单调性；0axfxg2)1(（2）
10、当 时，若 恒成立，求满足条件的正整数 的值；nf) n（3）求证： .251321en解：（1） 2l1axflng 1axgx若 010xax当 时， 在 上单调递增+，当 时， 在 上单调递减gx，（2）思路： 不等式等价于 ，即1lnf1lnxmin1lx而在第（1）问中 即为 的分子，故考虑利用 来确定 的符号，进而求gxf gf出 的单调区间及最值fx解： 2ln1xf，由（1）得 单调递增lgxgx3n20,(4)ln20, (尽管无法直接求出 的零点，但可估计出4blbgx且 ，所以可估计零点的所在区间） 1xg,xg的单调区间如下：,0;0xfx1,b,bf +xAA高考资源
11、网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -min1lnbfxfl2b3,41bf,23n（3）思路：由第（2）问得 时，均有 ，所证不等式可两边同取对1,23n1lnx数“化积为和” ，再考虑利用结论进行放缩解：所证不等式等价于： 5ln12ln13ln12n由第（2）问可得： l3lxx31ln12221nnn1 1735ll =l21ii n 即原不等式成立。（如果从第一项就进行缩小，则 ，发现缩1 3ln23121iinn小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉
12、内容如下：（1）第二问中对零点 的处理，参见：3.1.3 最值分析法xb（2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常 越大，放缩的程度越小） ，所以考虑数列前几n项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。例 4：设函数 ，其中 。:2ln1fxaxaR高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -（1）当 0a时，讨论函数 ()fx在其定义域上的单调性；（2）证明：对任意的正整数 ，不等式 都成立。n231lnk解析：（1） ，令 即解不等式221ax
13、afx0fx20xa 时00方程 的两根 ，2xa121,aaxx21x的单调区间为：fx12,a1212,aa12,afxAAA 时， 恒成立 在 单调递增102a20xafx1,（2）考虑 时，则ln1fx令 332hxfx在 恒成立 10,在 单调递增 hx0,0hx，令23ln1x1nN23231l l2311lnnkk48高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -即： 231lnnk例 5：已知函数 的最小值为 0，其中 。)l()(axfa（1）求 的值a（2）若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值),0x2)(kfk（3）证明： ni Nn1 *12l(解：
14、（1） ,定义域 xafx,a令 解得 ， 的单调区间为：0ffx,11,af xAAmin10fxfa1a（2）当 时，取 ，有 ，故 不合题意。0kx02ln)(f k当 时，令 ，即 。2)(kfg 2)l(xxg，令 ，得1)(21)( xkxg 120,1k当 时， 在 上恒成立k0),因此 在 上单调递减，)(),0对于任意的 ，总有 ，即 在 上恒成立。x0)(gx2)(kxf),0故 符合题意。21k当 时，002k， ， 在 内单调递增，),(x(xg)(xg)21,0k取 时， ，即 不成立。210k020(xf高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10
15、-故 不合题意 210k12k综上， 的最小值为 。（3）由第（2）问可得：当 时，不等式 恒成立k21lnxx令 1xi2211ln 2,2 3iNiii ii11lln351ni i n 即 1121l2l2nnii即 ni N1 *)()l(例 6： 已知函数 3ln1,0,()fxxgxa（1）求 的最大值；()f（2）证明不等式： 。21nne解：（1） ，令 ， 单调区间如下：1xfx0fxf,11,fxAAmax10yf（2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为 ，无法直接求和，所以考虑利用nia条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将 放缩为等比数列i
16、a模型。由（1）可得 ，令 进行尝试ln10ln1xxixn解：由（1）可得高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -令 ，即ixnl1iin（寻找 次方的来源）lliinie 111212=nnn nneee 不等式得证小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项） 。例 7：函数 .xfsin)(（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；aco1,0a（2）证明： .)12(43)12(.)12()( nnfnff （1）解：恒成立不等式等价于： ，令cosi0axxcosin
17、1gxax(注：在 中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）022ga0,可视为关于 的一次函数且递增cosin1yxxa令 则对sh2,0,x恒成立。 若要 ，只需 ，下面进行证明：gx0gxh,只需证 即可0,0h max2cosin10考虑 时，2sincoxx0,2xsico21,24x从而 （注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点 , is1h 0x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -但要利用零点存在性定理估计 所在区间）0x 320,24h 3,sinco04xhx,使得0x0hx且当 00,;,0hx在 单调递减，在 单调递增hx恒成立ma
18、hx,进而对每一个 均满足 0gx2a2a（2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为 (注意左边是 项求和） ，)1kfn1n考虑利用前面条件对通项公式放缩：令 ，则 恒成立，但如果直sicosxx接进行代入，不等号右边的 无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑cosx将 挪至左侧并与 合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和cosxin解：由（2）可得： 22s1sincos1xxini44x令 21kx可得 4212412sin2121knknkf (注：通项公式为 ，而恒成立不等式中的三角函数为 ，所以令ikasix，反求 即可）421xnx1241() 2
19、()().2nknfff1 4241 14212nkn nn 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -32(1)=4n)12(43)(.)12()( nfnff 小炼有话说：（1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见 3.3.3 有关内容） ，在证明上需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的 代替，但要确定好 所处的大概区间0x0x（2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将 与 进行合角，而不是直接代入 )的cosinfx应用是本题的一大亮点。方程，不等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构造时要关注所求不等式的结构特点。（3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个
20、是左边求和的项数是 项，第二个在1n中，同一个 所代表的含义不同。分母每一项都是 , 与项数相关。给定()21nfn2一个 ，数列项的分母就固定了。而分子的 代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变n化的，从 1 变到 ,在 ，同一个 在分子分母中扮演的角色不同。所以在写通()21f项公式时，引入了字母 用来区分序数与项数。k例 8：定义：若 在 上为增函数，则称 为“ 次比增函数” ，其中kfxy,fxk，已知 :kNaxfe（1）当 时，求函数 在 上的最小值2afxg,10m（2）求证： 12372neee解： （1） 2xg1122 xxg令 解得0x在 单调递减，在 单调递增,22,
21、+高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 - 时，2m2minmegx ，1min2egx ，21in综上所述： 2min+12,megxe（2）由第（1）问可得： 时， ，即0,x2egx12xe所求和的通项公式为 ，由 可得：1nnae12x，2 212xxxxeeee令 ，可得：xn211nn2123 21+nenee 112434 1 1112434enen 17=2424ne高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -例 9：已知函数 lnxf（1）设 ，讨论函数 在区间 上的零点个数lgxfmgx21,e（2）记 ，若对任意正整数 ，2 *
22、123ln, ,nn nFSxFFxN p对任意 恒成立，则称 在 上是“高效”的。试判断4npnSxDnSD是否在 上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由2,e解：（1） ，令 即lxgm0gx2lxm的零点个数即为函数 与 交点的个数2lnyy设 ， ，令 解得2lnxh2lxh0hx21,e单调区间如下： x1,e21,ehxAA，草图如下：214,0,hehe或 时， 无零点mgx或 ， 一个零点24e， 两个零点0x（2）思路：观察到 结构上与（2）中的 很相似，而3lnnxFhx实质上是 ，故考虑对每一项进行放缩使npnSx12nnnpF高考资源网（） 您身边的高考专
23、家 版权所有高考资源网- 16 -得求和具有规律性，结合 的特点 可写成 （将 视为整体） ，hxnFx2lnnxx进而利用 单调性进行放缩hx解： 单调区间如下：2lnx1,e21,e2,ehxAAA2,e2,nxe24hnx（ ，进而放缩为 ，而 可3222ll4n xFnne2,xe214n放缩为能够裂项求和的式子。 ）2411nx12=pnnnnpSFxFx1144+=4npn 在 上是“高效”的nSx2,e小炼有话说：（1）此题中的第（2）问对第（3）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要善于利用前面问题的条件与结论（2）第（3）问的关键之处在于寻找 与 的联系，以及通过
24、不等关系消nFxhx（3）求和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中 的放缩技巧如下：21n而左右两边均可裂项求和211nn例 10： 已知函数 lfxpx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -（1）若 在定义域内为减函数，求 的范围fxp（2）若 满足 ，试证明： 时，na112213, 4nnaa2n34nae解：（1） 为减函数fx102pfx,maxmax11p（2）思路：由（1）可得 为减函数，进而 即lnf0fxf，所求是有关 的不等关系（有 的指数幂，所以可能与自然对数相关，lnxe考虑数列的单调性） ，已知条件是递推数列，可尝试利用递推公式
25、寻找不等关系求解。解： 112213, 4nnaa单调递增1220nnn时，212+4aa2124naa即 4,nN（利112 2 212 2 214441nnn n naa a 用 进行放缩，消掉多余的 ，由 ，联想到 是可裂项的。再由 的特4nn22 fx点决定两边同取对数）12+12lnl4nan高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -由（1）可得 为减函数，进而 即ln1fxx0fxfln1x（再次利用不等关系去掉根式，且降低项的12+112ln42nna 次数，进而不等号右侧可求和。所用不等关系： ）222 0,ababab34342 1111ln+,ln+l
26、nn32l 12n na 181 3124242nnn得证33442nnaee34nae小炼有话说：（1）对付较复杂的题目，首先要把准备工作做好，在第三问中你可做的准备工作有这些：如果你计算了 ，也许就知道左边的 的来源进而决定进行数列单调性分析。2a4如果你观察了递推公式，便可发现 有可处理的地方221n如果你观察了所证不等式的右边，便会由 的指数幂联想到对数不等式e如果利用第一问出个可用的不等式结论，也许你就发现了对数与根式的不等关系这些准备工作不会直接得到答案，但是起码会给你提供一些方法和可选择的道路（2）第三问依然用到了数列求和，有关消项的求和通常有两种，一种是相邻的项做差（累加法） ，另外一种就是相邻的项做商，此时利用对数即可将“累乘消项”转变为“累加消项”
