1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 57 炼 放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质：（1）传递性：若 ，则 （此性质为放缩法的基础，即若要证明 ，但无,abcaac法直接证明，则可寻找一个中间量 ，使得 ，从而将问题转化为只需证明 即可 bb）（2）若 ，则 ，此性质可推广到多项求和：,abcdacbd若 ，则: 12,nfff 1212naaf
2、fn （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若 ，则 ，此性质也可推0,cdcbd广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式： ， （关于 的一次函数或常值函数）12nnaSnkmn 等比数列求和公式： ， （关于 的指数类函数）11nqnaq 错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中， “求和看通项” ，所以在放
3、缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -可裂项相消的数列进行靠拢。 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 裂项相消：在放
4、缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“ 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满nS足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手， ，常0,1q数可视为 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项a公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数 ，12=34即可猜想该等比数列的首项为 ，公比为 ，即通项公式为 。124124n注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公
5、式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即 或 （累乘时要求不等式两侧1naf1naf均为正数） ，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 ，另一侧为求和的结果，进而完成n证明3、常见的放缩变形：（1） ，其中 ：可称 为“进可攻，退可守” ，可依21nn,nN21n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -照所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可
6、放缩为符合裂项相消21n特征的数列，例如： ，这种放缩的尺度要21121nnn小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： 22141212nnnn（2） ，从而有：2121 11n nnn注：对于 还可放缩为： ,N（3）分子分母同加常数： 0,0,bmbmaaba此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。（4） 12 2211nnnn,nnN可推广为： 1211n nnkkkk2,nnk 二、典型例题：例 1：已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 nanS142nna1（1）求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式（2
7、）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： nnbaSnbnT32n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -解：（1） 142nnSa132nnna即 1212nnna131225,3nnaa即 12n n 2123na，由 令 可得：3na142nnS1224S，验证 符合上式n1aa2nS（2） 由（1）得： 211bn1b可知当 时，n 12n n12112231nnTbb n不等式得证例 2：设数列 满足： ，设 为数列 的前 项和，已知na11,3,naNnSnb， 10b1nbS（1）求数列 的通项公式,n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5
8、-（2）求证：对任意的 且 ，有 nN2231132nabab解：（1） 为公比是 的等比数列13nann在 中，令 ，b1112bSb21nnS 1 12nnnb是公比为 的等比数列nb21n（2）证明： 123nnnab231n 11231 3322nn例 3：已知正项数列 的前 项和为 ，且nanS,naSN（1）求证：数列 是等差数列2nS（2）记数列 ，证明：312,nnnbTbb 1312nT解：（1） 112nnnnnaSS11nnS21n为等差数列2高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -（2）思路：先利用（1）可求出 的公式进而求出 ，则 ，考虑进行nS
9、2nb12nb放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。解：令 代入 可得：1n2nnaS即112a1由 为等差数列可得：nS21nSnnb12nb考虑先证 31nT1 11122n nnnb时111131223nTbnn时，32nT再证 1n11112n nnb nn 131nTn综上所述： 21nT高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩： 111 12n nnn例 4：已知数列 满足na211,nnaaN（1）求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式2nn（2）设 ，求证：nca12174ncc解：（1）
10、 212nnnaa是公比为 的等比数列2a212nnnna（2）思路： ，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等12nnca号： ） ，若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以 ，再进行放缩调整为裂项相消形式。1解： 2nnnca而 1122nnnn 所以 122nnnnnc12123345122n nnc 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -1171284242nn30nc1136cc小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向
11、要与所证一致。（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中 才会有放缩的情况） ，对于较少项数要进行验证。3n例：已知数列 的前 项和 ，且na31,nSanN317a（1）求 1（2）求数列 的前 项和nn（3）设数列 的前 项和 ，且满足 ，求证：nbnTnbS23nT解：（1）在 中，令 可得：31,nSaN,22131668aa25,（2） nSa1132n 可得：1 1616nn nnaaa 2n1是公差为 6 的等差数列n11an2331nSnn（3）由（2）可得： 2nb高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -122
12、3231331nb nn12585nTb 233n例 6：已知数列 满足 na11, ,4nnaN（1）试判断数列 是否为等比数列，并说明理由nn（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：对任意的 21sinbanbnT4,7nNT解：（1） 11 1222nnnnnaa 1 1nn n naa 为公比是 的等比数列1nn2（2）思路：首先由（1）可求出 的通项公式 ，对于na132nnna可发现 为奇数时， ， 为偶数时， ，sin21sisi12结合 通项公式可将其写成 ，从而求出 ，无法直na1in2n13nc接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而 ，112nn求和后与
13、所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。解： ，由（1）可得：13a111123nnnn 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -132nnna而 1sin1121sin3232nn nba1132nnb当 时， 21223112nn nTbb 24714768n因为 为正项数列 nb123nTT4,7N例 7：已知数列 满足： ，且na1212,nnaN（1）求数列 的通项公式n（2）证明：对于一切正整数 ，均有 12!na解：（1） 132nna11 1233nnnna a设 即 nb123nnb为公比是 的等比数列1nnn13而13nb12bann
14、3nn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -（2）思路：所证不等式可化简为： ，由于是连乘形式，所以考123321n虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为 ，所以结合不等号方向，将分n子向该形式转化： ，再根据右边的值对左边放缩的程度13231nn2进行调整即可。证明：所证不等式为：1233!2!1nn等价于证明：12n设 31nc13321nnc34121231nn 229943888nn112337,16cc即不等式得证小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。
15、（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证） ，常用的放缩公式为： （分子小0,bcabca与分母） ， （分子大于分母）0,acabcb例 8：已知函数 2ln,10fxxf（1）若函数 在 处切线斜率为 ， ，已知 ，f1 21 1nnaf14a求证： 2na高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -（2）在（1）的条件下，求证： 12125naa解：（1） 2bfxax001f2211nnnaa整理后可得： 2n21下面用数学归纳法证明： na当 时， 成立n142假设 成立，则 时kN1k1kka2k
16、a2145时，不等式成立n,nNa（2） 21121nna由（1）可知 n11221nnnnaa211 nnnna1212nnaa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -121255nna例 9：已知数列 的各项均为正值，对 ，nanN，且21 241,log1n naba1（1）求数列 的通项公式n（2）当 且 时，证明对 ，都有 成立7kNnN12132nnnkbb解：（1） 2141nnaa由 可得：222n n0na12nna为公比是 的等比数列11nn2anb（2）思路：所证不等式为： 左边含有两个变量，考虑通13212nnk过消元简化所证不等式。设 ，则只
17、需证明： ，易知kT min32kT为递增数列。所以只需证明 ，即 ，左边共 项，结合kT88 7的特点可考虑将 项分为 3 组：327n1112nn 个 个221144nn 个 个高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -，再求和即证不等式44111882nn 个 个解：所证不等式 由（1）可得：123nnnkbb只需证：12nk min1322nk设 1kTn1 11()k knnk 10nn为递增数列 kT8k只需证8min1 11382nn124n 而 1212nn 个 个22144nn 个 个441188nn 个 个132例 10：数列 是公差不为零的等差数列，
18、 ，数列 满足：na56anb1123,1bb（1）当 时，求证： nnnb（2）当 且 时， 为等比数列3a3N1235,nkkaa 求 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 - 当 取最小值时，求证： 3a 12123 14nnkkkbbaa 解：（1）由 可得： 12nnb 12n2,n N两式相除可得： 1nnb（2） 思路：本题的突破口在于 既在等差数列 中，又在等比数列nkana中，从而在两个不同风格的数列中 均能够用 进行表示，然后便1235,nkkaa n3得到 与 的关系式，抓住 的特点即可求出 的值n33,naN3为等差数列 5362d33nknna
19、k另一方面， 为等比数列 1235,nkkaa 536aq1336nnkaq33362nak 1 113 3 33 366262nnna ak a 可视为以 为首项， 为公比的等比数列前 项和136na136a1n33336252n nnkaa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -nkN336,2nnNa 3a能够被 6 整除 且 3a15或 23经检验： 或 均符合题意a 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）可知， ， ，所以对于1nnb123nnka右侧， 显然无法直接找到求和方法。
20、而对于 ，虽然没有通项公式，123nnka nb但可对 向可求和的方式进行变形，得到 ，从而可1nnb 112nn想到利用裂项相消的方式进行求和，得到 。对于右侧12312nnbbb 只能考虑进行放缩，针对 的特点可向等121nkkkaa 13nnka比数列靠拢，结合不等号方向可得： 。所以1123nk。于是所证的不等式就变为只需证明1216nkkkaa，即证明 ，考虑对 进行放缩，抓住11233nb 1123nb 12nb这个特点，由已知可得 为递增数列，则 ，但右侧为 ，无法直nn13n接放缩证明，所以要对 的放缩进行调整，计算出 可得 ，进而12nb 12,b4123b，但此时只能证明
21、时，不等式成立。对4311212342nnnb n于 有限的项，逐次验证即可。,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -由（1）可得： 1nnb11nnnnbb1nnb11nn2123nbb12334 111nnbb121nb23,b1nn123112123nnnbbbb 当 时， 3ank1123n nk12 231931n nnkkkaa 6n12 111224433n nnnkkkaa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -只需证明： 即可112233nnb即证明： 112n由 可知 为递增数列3,nnbb nb1由 可得： 12,nn 213124,3b412338456b时， 4123nnb13n时， n4311212342nnnb 当 时，可知 成立34123得证112nb时，311223nnb成立12123 14nnkkkbaa 当 时， n11,7k147b当 时， ，212b121453kka12124kka高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 -综上所述： 恒成立12123 14nnkkkbbaa
