1、高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 45 炼 利用均值不等式求最值一、基础知识:1、高中阶段涉及的几个平均数:设 01,2ian(1)调和平均数: 12nnH(2)几何平均数: nGa(3)代数平均数: 12nnA(4)平方平均数:212nnaaQ2、均值不等式: ,等号成立的条件均为: nnHG12naa特别的,当 时, 即基本不等式22A2ab3、基本不等式的几个变形:(1) :多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情,0aba况(2) :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况2(3) ,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全
2、平方式也可证明,2ab要注意此不等式的适用范围 ,abR4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等”(1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法(2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当 求0,x的最小值。此时若直接使用均值不等式,则 ,右侧依然含有3yx 234yx,则无法找到最值。 求和的式子乘积为定值。例如:上式中 为了乘积消掉 ,则要将 拆为两24x3x高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -个 ,则2x2223344yxx 乘积的式子和为定值,例如 ,求 的最大值。则考虑变积为02fx和
3、后保证 能够消掉,所以(3)等:若能利用均值不等式211932328xfxx求得最值,则要保证等号成立,要注意以下两点: 若求最值的过程中多次使用均值不等式,则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突) 若涉及的变量有初始范围要求,则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值,并验证是否符合初始范围。5、常见求最值的题目类型(1)构造乘积与和为定值的情况,如上面所举的两个例子(2)已知 ( 为常数) ,求 的最值,1axbyamnxy此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子(或分母)位置上,所求表达式变量的位置恰好相反,位于分母(或分子)上,则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘,从
4、而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解。例如:已知 ,求 的最小值0,231xyxy2xy解: 329466xy941122xyxy(3)运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式,通过解不等式求解:例如:已知 ,求 的最小值0, 4xxxy解: 22128yy高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -所以 224248xyxy即 ,可解得 ,即830xy3min243xy注:此类问题还可以通过消元求解: ,在代入到所求表达式241xyy求出最值即可,但要注意 的范围由 承担,所以 y0,x二、典型例题:例 1:设 ,求函数 的最小值为_x(5)21x思路:考虑
5、将分式进行分离常数, ,使用均值不等式()415xyx可得: ,等号成立条件为 ,所以最小值42159yx1为 9答案: 例 2:已知 ,且 ,则 的最大值是_0,xy15xyxy思路:本题观察到所求 与 的联系,从而想到调和平均数与算术平均数的关系,即 ,代入方程中可得:2141xyxy,解得: ,所以最大值245540xy 14xy为 4答案:4例 3:已知实数 ,若 ,且 ,则 的最小值为( ),mn0,1mn21nA. B. C. D. 1441583思路:本题可以直接代入消元解决,但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值,可用高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网-
6、4 -分离常数法将分式进行简化。 ,结合分母可将条2 41212mnnmn件 ,变形为 ,进而利用均值不等式求出最值1mn4解:22244121nnm3n124mn4141 221nmmn129524nm,即 的最小值为1n21n4答案:A例 4:已知正实数 满足 ,则 的最小值为_,xy24xyxy思路:本题所求表达式 刚好在条件中有所体现,所以考虑将 视为一个整体,将等xy式中的项往 的形式进行构造, ,而xy 1xyxyxy可以利用均值不等式化积为和,从而将方程变形为关于 的不等式,解不等式1y xy即可解: 24414xxyxy方程变形为:211y2xy246xxy解得:26150y6
7、9263xy答案: 的最小值为x263高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -例 5:已知 ,则 的最小值为_20ab4(2)ab思路一:所求表达式为和式,故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式,分母为,所以可将 构造为 ,从而三项使用均值不等式即可b1ab求出最小值: 341818(2)(2)3(2)(2)()aabbabba思路二:观察到表达式中分式的分母 ,可想到作和可以消去 ,可得,从而 ,设 ,可从22abba 24(2)aab24fa函数角度求得最小值(利用导数) ,也可继续构造成乘积为定值:32244aaf答案:3小炼有话说:(1)和式中含有分式,则在使用
8、均值不等式时要关注分式分母的特点,并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量,从而利用均值不等式求解(2)思路二体现了均值不等式的一个作用,即消元(3)在思路二中连续使用两次均值不等式,若能取得最值,则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验例 6:设二次函数 的值域为 ,则 的最大值24fxacxR0,19ca为_思路:由二次函数的值域可判定 ,且 ,从而利用定值化简所求表达式:04ac,则只需确定 的范191891853913acacc9ac围即可求出 的最值。由均值不等式可得: ,进而解出最值2c解: 二次函数 的值域为24fxacxR0,1640
9、ca高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -91191891853913acacacc ac2195613ca答案: 65例 7:已知 ,则 的最大值是_,xyzR22xyz思路:本题变量个数较多且不易消元,考虑利用均值不等式进行化简,要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉,观察分子为 均含 ,故考虑将分母中的 拆分与 搭,xyz2y2,xz配,即 ,而22221xyzz,所以22221 1,xyxyxzyyzz答案: 2小炼有话说:本题在拆分 时还有一个细节,因为分子 的系数相同,所以要想分子分2y,xyz母消去变量,则分母中 也要相同,从而在拆分 的时候要平均地进行
10、拆分(因为,xz2系数也相同) 。所以利用均值不等式消元要善于调整系数,使之达到消去变量的目的。2,xz例 8:已知正实数 ,xy满足 ,若对任意满足条件的 ,xy,都有3xy恒成立,则实数 a的取值范围为_2()()10xya思路:首先对恒成立不等式可进行参变分离, 。进而只需求得1xy的最小值。将 视为一个整体,将 中的 利用均值不等式1xyxy3xy高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -换成 ,然后解出 的范围再求最小值即可xyxy解: 2 1()()10aaxy,0xy2xy23241xyxy解得: 或 (舍)6xy(在 时取得)min13766xy376a例
11、9:已知 ,则 的最小值是_1,0xyx12xy思路:观察到所求 的两项中 部分互为倒数,所以想到利用均值不等式构造乘2积为定值,所以结合第二项的分母变形 的分子。因为 ,所以 ,12x1xy2yx则 ,所以原式11224xyy,因为要求得最小值,所以11414xxyxy时, ,故 最小值为0min423答案: 34小炼有话说:本题考验学生对表达式特点的观察能力,其中两项的 互为倒数为突破口,从x而联想到均值不等式,在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造例 10:已知 ,且 是常数,又 的最小,25,9,mnmnstRst,mn2st值是 ,则 _13高考资源网() 您身边的高考专家
12、 版权所有高考资源网- 8 -思路:条件中有 ,且有 ,进而联想到求 最小值的过程中达9mnstmin21st2st到的最值条件与 相关:,,即112999tsstst nmt 的最小值为 ,所以 ,解得 ,2st129mn1215mn12n所以 37n答案:7三、历年好题精选1、(2016,天津河西一模)如图所示,在 中, ,点 在线段 上,设ABCDBFCD, , ,则 的最小ABaCbAFxayb14yx值为( )A. B. C. D.263624232、 (2016,南昌二中四月考)已知 都是负实数,则,ab的最小值是( )abA. B. C. D. 562121213、 (2016,
13、重庆万州二中)已知 为正实数,且 ,则 的最小值,abab2ab为_4、 (扬州市 2016 届高三上期末)已知 且 ,则 的最1ab2log3l7ab21ab小值为_5、已知正项等比数列 满足 ,若存在两项 ,使得 ,则na765,mn14mn的最小值为( )14mnA. B. C. D. 不存在325326FDCBA高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -6、设 , 为坐标原点。若 三1,2,1,0,OABaOCbaO,ABC点共线,则 的最小值是_ab7、已知 ,且 ,则 的最大值是( ),024sbA. B. C. D. 21211218、设 ,若 ,则 的最大值
14、为 ,xyRab3,2xyabxy9、已知 ,且 ,则 的最小值是 12习题答案:高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -1、答案:D解析: ,因为 三点共线,所以 ,根2AFxByCxADy,CFD21xy据所求表达式构造等式为 ,所以有:1,由均值不等式可得:1414182242yxxyxyxy,所以8811 46231xy2、答案:B解析:22221333abababab是正实数,0b,a22ab1322b3、答案: 2解析:22 121abab213ab2ab3ab212111 ab33baa212b高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11
15、-4、答案:3解析: 232log7log7l30la aaabbl10a或 og2bl3a1bla 2a21 1123ab5、答案:A解析: 2276555aqaq解得: 或 (舍)2q11424mnmn 26,N而1146nn42nmn49362m下面验证等号成立条件: 解得:2426nmn 24n所以等号成立, 的最小值为1n32注:本题要注意到 ,在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件,mN不满足。所以在变量范围比较特殊时,要注意验证等号成立条件6、答案: 8解析: 三点共线 ,ABC1,1,2aACb高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -2121aba428ba7、答案:A解析: 222abab22 14214ab1s8、答案:1解析: 3xyablog3,labxy3331lllogloglab a22b31log1xy9、答案: 2解析:222ababab