1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 97 炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1 ） ab（2 ） （不等式的传递性）,ca注： ， 等号成立当且仅当前两个等号同时成立c（3 ） abc（4 ） ,0;,0abacb（5 ） 2nN（6 ） ,abn2、绝对值不等式： abab（1 ） 等号成立条件当且仅当 0（2 ） 等号成立条件当且仅当 （3 ） ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且abca仅当 03、均值不等式（1 ）涉及的几个平均数： 调和平均数： 121nnHaa 几何平均数： nG 代数
2、平均数： 12nnA 平方平均数：212nnaaQ高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -（2 ）均值不等式： ，等号成立的条件均为： nnHGAQ12naa（3 ）三项均值不等式： 3abca223bca 223abcabc4、柯西不等式： 222221112nn nabbaba 等号成立条件当且仅当 或 21nb 120n（1 ）二元柯西不等式： ，等号成立当且仅当 22acdacbadbc（2 ）柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式：2222222111nn naabbabab 2211nnb 2 222121 nnaabaa 式体现的是当各项 系数不同时
3、，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，21,n刚好是均值不等式的一个补充。 21212 nnaaabbb 5、排序不等式：设 为两组实数， 是1212,nn 12,nc的任一排列，则有：12,n 1211212nn n nababcacbab 即“反序和 乱序和 顺序和”高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -（二）不等式选讲的考察内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型将式子向定值放缩（消元）验证等号成立条件”3、解不等式（特
4、别是含绝对值的不等式可参见“不等式的解法 ”一节）二、典型例题：例 1：若不等式 恒成立，则 的取值范围为_131xm思路：本题为恒成立问题，可知 ，所以只需求出min3x的最小值即可，一种思路可以构造函数 ，通过对绝对13x 13fxx值里的符号进行分类讨论得到分段函数： ，进而得到24,3,fxx，另一种思路可以想到绝对值不等式：min2fx，进而直接得到最小值，所以 ，从而13132x12m答案： 例 2：若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围x2410xaa思路：本题可从方程有根出发，得到关于 的不等式，从而解出 的范围解：依题意可知二次方程 有解216410a即 2当 时， a7
5、342a72,a当 时， 恒成立 12141,当 时， a2aa,2a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -综上所述，可得 17,2a例 3：已知函数 0fxa（1 ）当 时，解不等式 a4f（2 ）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围fxxRa（1）思路：所解不等式为 ，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式21解：（1）当 时， 1x42xx1,2x当 时， 00当 时， x2143x,3x综上所述：不等式的解集为 ,2（2）思路：若不等式 恒成立，可知只需 即可， 含绝对值，从4fxmin4fxfx而可通过分类讨论将其变为分段函数 ，通过分析函数性质即可3
6、2,0,afxx得到 ，所以 minfxfa4a解： 恒成立4minfx考虑32,20,xaf 在 单调递减，在 单调递增fx,aaminf4例 4：已知 都是正数,且 ,求 的最大值abc236abc1231abc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -思路一：已知 为常数，从所求入手，发现被开方数的和为 也为23abc 23abc常数，所以想到均值不等式中“代数平均数 平方平均数” ，进而求得最大值解： 22211133abccc231231ababc等号成立当且仅当 213623abcb思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用 1）：，从而可得：2 21231=21a
7、bcabc213abc 即 ，所以可知23327cc 1231ab小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式） ，但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数 平方平均数” 。证明的过程如下：222221 121 1n nnaaaa 个2212n n 212aaa 12 nn 22121nnaaa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -例 5：已知 是实数，且 ，则 的最大值是_,abc221abc2abc思路：考虑将 向 进行靠拢，由柯西不等式可知2，对照条件可知令 即可，222xyczcxyz ,12xbz所以 ，则19aba
8、b23ac答案： 3小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。例 6：已知实数 满足 ，则 的取值范围,abcd223,65bcdabcda是_思路：本题的核心元素为 ，若要求 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于 的不等关系，考虑到 ，联想到柯西,bcd 2223,65bcdabcda不等式 ，则有2211212nnnaa ，代入可得： 解得：2223635bcdbcd 2253a，验证等号成立条件： 在 时均有解。1,a36112,答案： ,2例 7：已知 均为正
9、数，求证： ，并确定 为何,abc 222163abcabc,abc值时，等号成立思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时， ，右侧为一个常数。,ab2ab3222,abcabc，从而将左侧的项均转化为与 相关的项，然后再利用基本不等式即3119c可得到最小值 ，即不等式得证6高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -解：由均值不等式可得： 3222abcabc311abc321192322 232abcabc32321963abc等号成立条件： abc例 8：已知 0,（1）若 ，求 的最小值214ab（2）求证： 21b
10、（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与 找到联系，从而想到柯西不2ab等式的变式： ，从而22121 nnaabb 21143ba解：24由柯西不等式可得： 221141ababa2ab3（2）所证不等式等价于： ，观察左右的项可发现对左边任222意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成22ab证明证明：由均值不等式可得：222ab三式相加：22abab高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -即 2221ababab小炼有话说：对于求倒数和（即 为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供12,n使用： 和222112nnaabbb ，其不
11、同之处在于对分母变形时运算的选择，第1212nna 一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和” ，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。例 9：设 ，求证： ,abcR3abcabc思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于 ，化简后可得：3lnl3lnlnlabcabcbc，所证不等式为轮2l2l nc a换对称式，则不妨给 定序，即 ，则 ，由的特点想到排, 0ll序不等式，则 为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和
12、或反序和，必lnlnabc然较小，所以有 ，两式相加即可完成证明。llnllabca证明： ,abcR将所证不等式两边同取对数可得：3lnlnlnl3abcabc abcbcbc l3llllna3lnlnnlnlnabcabacbcabc22llll所证不等式为轮换对称式不妨设 0abclnl高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -lnlnlnlabcabca 可得： 2ll2lllnlnlnbcabca即证明不等式 3abcabc小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序” ，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系
13、的条件，即,abc，从而能够使用排序不等式。0例 10：设正数 满足,xyz21xyz（1）求 的最大值3（2）证明： 1256xyzx（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由 得21xyz，则 ，下面考虑将 进2xyz1333xyzxyzyzx行转化，向 靠拢，利用基本不等式 进行放缩，可得：24x，再求关于 的表达式的最大22133344zzzxyzxyz值即可。解： 21xyz13332zxyzxyzxy221462 21513365zzxyz z高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -的最大值为 ，此时 3xyz1511552xyzxyz（2
14、）思路：由（1）可知 的最大值为 ，且所证不等式的左边分母含有3xyz项，所以考虑向 的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公,xyz式： ，可得：21212 nnaaabbb ，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证353xyzxyzx明不等式解：由柯西不等式可得： 23131 253xyzxyzxyzx由（1）知 5312251=36xyzxyzx等号成立条件： 5y三、历年好题精选1、设 1,fxxR（1 ）求证： 2（2 ）若不等式 对任意非零实数 恒成立，求 的取值范围1bfxbx2、 （ 2014 吉林九校联考二模， 24）已知关于 的不等式x110aa（1）当 时，求此不等
15、式的解集；a（2）若此不等式的解集为 ，求实数 的取值范围Ra3、 （ 2015，福建）已知 ，函数 的最小值为 40,abcfxaxbc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -（1 ）求 的值abc（2 ）求 的最小值221494、 （ 2015，新课标 II）设 均为正数，且 ，证明：,abcdabcd（1 ）若 ，则 abcd（2 ） 是 的充要条件c5、 （ 2015，陕西）已知关于 的不等式 的解集为 xab|24x（1 ）求实数 的值,ab（2 ）求 的最大值12tt6、已知定义在 上的函数 的最小值为 R12fxxa（1 ）求 的值a（2 ）若 是正实数，
16、且满足 ，求证： ,pqrpqra223pqr7、 （2014，江西）对任意的 ， 的最小值为（ ,xyR11xy）A. B. C. D. 12348、 （2014，浙江） （1）解不等式： 1x（2）设正数 满足 ，求证： ，并给出等号成,abcabc496abc立条件9、 （ 2016，苏州高三调研）设函数 10fxx（1 ）证明： 2fx（2 ）若 ，求实数 的取值范围35a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -习题答案：1、 解析：（1 ） 112fxxx（2 ）恒成立不等式为： 21bbmax112xb设 3,1212,0,13,2gbbbmax3gb1x当
17、 时，122当 时， 不成立,x3x当 时， 123,2x2、 解析：（1） 时，不等式为 a11或 ，解得 x123,2x（2）问题转化为 ，不等式 恒成立xR1axamin1axa设 1fxx或 203、 解析：（1 ） fxaxbcxabca高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -4abc（2 ） 22222113231169abcabc，等号成立条件： 221168=4947abc 87132427cbab4、 解析：（1 ） 2abcdcd22ababab从而不等式得证（2 ）若 ，则 cd22cd即 2244abc，由（1 ）可得dabcd若 ，则abc22
18、即 2cdcab22244dabcd综上所述： 是 的充要条件cdabc5、 解析：（1 ） xabx不等式解得： 2341ab（2 ）由（1 ）可得： 2134atbttt由柯西不等式可得：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -22223431416t tt6、 解析：（1 ） 223fxxx3a（2 ）由柯西不等式可得：2 2222 2213pqrpqrpqrpqr37、答案：C解析： 1113xyxy8、解析：（1）当 时， 解得 2x38x当 时， 解得 00当 时。 解得 x13x2x1x综上所述：解集为 ,08,（2）由 可得： abcbca由柯西不等式可得：21111494936abc bcacabca 等号成立条件： 2,39、解析：（1 ） 1112fxfxxaxa（2 ） 即35f35时，不等式转化为：a21510faa解得： 5213高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -当 时，03a216510faa解得： 152综上所述：不等式的解集为： 1521,
