1、第一章 矩阵基本知识,基本概念和定义 基本运算 矩阵的特征方程、特征值和特征向量 矩阵的相似变换 二次型概念 矩阵的微分和积分 广义矩阵,1.1 基本概念和定义,矩阵：简化复杂数学表达式。 例如：用矩阵表示：AX=B,1.1 基本概念和定义,方阵：行数和列数相同的。（行列式） 列矩阵：只有一列的矩阵，又名列向量。 行矩阵：只有一行的矩阵，又名行向量。 思考：一个 的矩阵能不能看成多个行向量或列向量表示？ 对角矩阵：n阶方阵A除了朱对角线元素外，其余元素都是0。当对角矩阵，主对角线上的元素全为1时，则称为：单位阵（幺阵），记为： 。,1.1 基本概念和定义,零阵：所有元素全等于零的矩阵。 矩阵相
2、等：行数和列数分别相等；对应的元素都相等。 对称矩阵：方阵A满足 转置矩阵： 阶矩阵A的行列互换而得到阶矩阵叫做A的转置矩阵。 或 共轭矩阵;矩阵A的复数元素全部用各自的共轭复数来替换，则两个矩阵互为共轭矩阵。,1.1 基本概念和定义,逆阵：设方阵A，若存在另一个方阵B满足AB=BA=I，则两个矩阵互为逆阵。记为： 。 奇异矩阵：方阵对应的行列式为0。 非奇异矩阵：方阵对应的行列式不为0。 矩阵的秩：矩阵A中线性独立的列或行向量（列向量和行向量线性无关向量的最大个数）的数目。 余子式 ：从 阶矩阵A中去掉第 i 行、第 j 列所得带到的 阶对应的行列式叫做矩阵A的余子式。,1.1 基本概念和定
3、义,余因子式：矩阵A中元素 的余因子式定义为 ，也就是方阵中元素 即为用 乘A中去掉 i 行和 j 列后构成的矩阵所对应的行列式。 伴随矩阵：矩阵B，其第 i 和 j 列元素等于 时，称B为A的伴随矩阵。B = adjA 正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵 满足 则称矩阵A为正交矩阵。,1.2 基本运算,矩阵的加减法：相应行列的元素进行加减。 矩阵的乘法：A*B可乘条件：A矩阵的列数=B矩阵的行数。注意：AB=BA? 3. 分块矩阵：矩阵分块后每个子块就如同矩阵的元素一样进行运算，但要注意转置问题：子块先进行行列互换，然后每个子块转置。 4. 矩阵的初等变换：某行乘K。某行乘非0的K加到另一
4、行。对调矩阵的任意两行或两列。通过初等变换可以求矩阵的秩。,1.2 基本运算,5. 矩阵的求逆计算：三种方法利用伴随矩阵adjA利用矩阵的初等变换求逆。利用分块矩阵求逆6. 矩阵的因式分解,1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量,1. 矩阵A的特征矩阵： 2. 特征多项式： 3. 特征方程： 4. 特征值：特征方程式的解 5. 特征向量：若 为矩阵A的特征值，则方程 一定有非0解向量 。则 为矩阵A的属于特征值 的特征向量。 6. 凯莱-哈密尔顿定理：若n阶方阵A的特征多项式为 则有：,1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量,7. 求特征值和特征向量步骤 写出矩阵A的特征矩阵； 写出特征方
5、程，并求出解（特征值）； 求特征向量。,1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量,几点特性：若 是属于特征值 的一个特征向量，那么 也是属于 的特征向量。矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。矩阵A的同一个特征值所对应的特征值也是线性无关的。矩阵A的重根特征值所对应的特征向量个数不一定与重根个数相等 且特征向量的个数不大于重根次数。实对称矩阵的特征值一定是实数。,1.4 矩阵的相似变换,1. 矩阵相似的概念：设有两个 n 阶方阵A、B，如果存在一个n阶可逆方阵P，使得则称 B 与 A 是相似的，记做: A B 2. 相似的运算性质：若 为一特征多项式，则有 ,1.4 矩阵的相似变换,
6、3. 化标准型（对角型、约当型） 化对角标准型 n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量。 若A有n 个不同的特征值，则A一定与如下对角阵相似：实对称方阵一定可对角化，因其有n个线性无关的特征向量。 相似变换中的满秩阵 P 可由方阵 A 的特征向量所构成。,1.4 矩阵的相似变换,根据相似性，若存在满秩阵 P; 则有设 则有 即： 为 的特征向量,1.4 矩阵的相似变换,化对角标准型的步骤： 写特征方程并求特征值； 求特征向量； 利用特征向量 做满秩矩阵P； 化对角阵 注：当线性无关的特征向量的个数小于矩阵的阶次时无法进行对角化。,1.4 矩阵的相似变换,设矩阵 ，试将其对角
7、化。解：第一步，列些特征方程并求特征值。第二步，求特征向量。对于 有得特征向量：,1.4 矩阵的相似变换,对于 ，有得特征向量：第三步，利用特征向量做满秩矩阵P.则,1.4 矩阵的相似变换,对角阵：,1.4 矩阵的相似变换,化约当标准型（矩阵特征向量数小于矩阵的阶次，可化为约当标准型） 约当块,1.4 矩阵的相似变换,约当标准型：由一些约当块组成的准对角阵，称为约当标准型,1.4 矩阵的相似变换,约当标准型存在定理 复数域上任一n阶方阵A都可以化为一个约当标准型。除去A的约当标准型的约当块的排列次序外，是被A唯一确定的。 复数域上的n阶仿真A的约当标准型J的主对角元恰好是A的特征值，并且J的主
8、对角线上A的任意特征值出现次数等于其特征值的重数。,1.4 矩阵的相似变换,化约当标准型的方法 初等因子法 列出矩阵A的特征矩阵 ，得 矩阵，进行初等变换，使之称为对角阵，并求其初等因子； 相应于每个初等因子，做对应的约当块； 把全部约当块直合成约当标准型。 求变换矩阵的方法 利用获取的特征值求出对应的特征向量；如果为多重根：,1.4 矩阵的相似变换,变换矩阵：即：,1.4 矩阵的相似变换,设 ，求使 的P。解：第一步，将A化为约当标准型初等变换初等因子：则约当标准型： 或,1.4 矩阵的相似变换,第二步，求变换矩阵P。 令 通过等式 AP=PJ 得：对 ，得,1.4 矩阵的相似变换,对 ,有
9、同理，可求出：故,1.5 二次型概念,定义：一个系数在实数域的 的二次齐次多项式 称为实数域上的一个n元二次型。若上式无交叉项，称为二次标准型。二次型都可以唯一的同一个n阶实对称矩阵：对应,1.5 二次型概念,正交变换若方阵A,B满足如下关系:当P为正交矩阵时，则称这种变换关系为正交变换。注：一个对称矩阵A经正交变换后仍然是对称矩阵。,1.5 二次型概念,二次型的一些重要概念 正定二次型：实二次型 如果对于任意一组不为零的实数都有 则称为正定二次型。注：判断二次型正定的方法-判断对应的实对称矩阵A的特征值全大于零或阵 A的所有顺序主子式全大于零判断。 半正定二次型： 半负定二次型： 负定二次型：,1.6 矩阵的微分和积分,函数矩阵设矩阵A的每一个元素均是变量t的函数 ：函数矩阵的微分：把对函数矩阵的微分定义为对其每一个元素进行微分。 函数矩阵的积分：把对函数矩阵的积分定义为对其每一个元素的相应积分。,
