1、编码理论基础编码理论基础哈尔滨工程大学理学院信息与计算科学系林锰第二章第二章简介抽象代数基本知识简介抽象代数基本知识1 群的相关概念2环的相关概念3 域及域上多项式授课预计(2学时 )Department of Mathematics本章教学基本要求熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。了解环、域、理想、唯一分解环的定义 ,以及域的扩张概念。能够计算群的元素阶，环中可逆元零因子、素元，掌握 Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。 了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和理论。重点： 环、域，理想。环的同态，最大理想，商域 ,环、理想、
2、同态基本原理、域的扩张难点： 商群、商环。多项式和多项式的根。Department of Mathematics1,二元运算的定义设 f 是非空集合 A A到 A的一个映射，则称 f 是 A上的一个 二元运算 。7.1 2.1 群的相关概念一、代数系统代数运算通常用 *和 表 示，有时也读作乘。例如， ，定义 z=x+y-2，显然， ， 可记作 或 。oRyx ,yxz o=Rzyxz =设 f 是非空集合 A到 A的一个映射，则称 f 是 A上的一个 一元运算。Department of Mathematics因此，整数集、实数集上的加、减、乘法是二元运算，非零实数集上的除法是二元运算，矩阵
3、集合上的矩阵加法、矩阵加法是二元运算，幂集上的交、并对称差是二元运算，命题集合上的析取、合取、蕴含等价、不可兼析取是二元运算。整数集、实数集上的、求相反数是一元运算，非零实数集上的求倒数是一元运算，矩阵集合上的矩阵的转置是一元运算，幂集上的求补是一元运算，命题集合上的否定是一元运算。Department of Mathematics例如，12)9,3( ,8)3,5( ,8)5,3( = fff例 1. 设有函数 ,对于任意NNf 2:221),( Nnn 2121),( nnnnf +=例 2. 设有函数 ，对于任意 ，IIg 2:221),( Iii 2121),( iiiig =例如 ，
4、 ,2)5,3( =g 2)3,5( =g 11)2,9( =g但减法运算不是正整数集 N上的二元运算 . Department of Mathematics当 A是有限集时， A上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义 。75311357ia )(ia753173717535753375317531例如 设 上 的一元运算 和二元运算 *用运算表定义如下 :AA ,7,5,3,1=2，一元运算和二元运算的表示方法Department of Mathematics设 是非空集合， 和 是 A上的二元运算。(1) 若对于任意 ， 有 ，则称在 A 上是 可交换的。oAba ,abba =
5、 (2) 若对于任意 ，有则称 在 A上是 可结合的。Acba ,),()( cbacba =(3) 若对于任意的 有则称运算 对运算 是 可分配的 。)()()( cabacba ooo =)()()( acabacb ooo =, Acba o3，二元运算的一些常见的性质Department of Mathematics如果 ，则称 是运算 的 单位元 。oeeeerl=如果 ，则称为运算 的 左单位元，xxeAxAell= o都有对于,leo同理可以定义右单位元 ，re例如，在数的加法运算中 0是单位元，在数的乘法运算中 1是单位元。在集合的并中 是 单位元，在矩阵加法中 O是单位元，在
6、矩阵乘法中 是 单位元。在中2是单位元。2+= yxyx onI3，与二元运算相关的一些特殊的元素（ 1）单位元Department of Mathematics设 是非空集合 A上的二元运算， 是 的 单位元，对于 A中的某一元素 x，如果存在 ，满足：则称 是 x的 逆元 ，称 x是可逆的。Ax 11xoexxxx = 11oooe（ 2）逆元并不是在任何运算中都存在逆元的，例如在集合的并或集合的交中就没有逆元。在给定的集合和运算中，不同元素的逆元是不同的。单位元和某元素的逆元如果存在，则是唯一的。Department of Mathematics5，代数系统由非空集合 A和定义在 A上的
7、一系列运算组成的系统称为 代数系统 ，记作 。如果运算 对 A的子集 B封闭，则称为的子系统。mfff ,21L),(21 mfffA L),(21 mfffA L),(21 mfffB Lmfff ,21L检验一个系统是否构成代数系统，最重要的一点就是看运算对集合是否封闭，即运算的结果是否还在集合 A中。例如 A=1,2,3,4,5， f (a,b)=lcm(a,b)(最小公倍数 )就不构成代数系统。因为， f (3,5)=15不在集合 A中，f 对 A不封闭。Department of Mathematics二.群的定义与性质oab G(1) 封闭律: 有, ab G(2) 结合律: 有,
8、 abc G( ) ( ) =oo ooab ca bc(3) 幺元律: 存在 ，使 ，有,称 为 幺元 ；1、群的定义设 G是一个带有运算 “”的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称 (G , )是一个 群ooeG aG= =ooeaaeae(4) 逆元律 : ，存在 ， 使称 b为 a的 逆元 。 aG bG= =oobaabeDepartment of Mathematics2.关于群的定义的几点说明(3) 若群（ G，）的运算 适 合交换律，则称（ G，）为 Abel群或交换群 .ooo(4) 若 G是有限集，称 (G， )为 有限群 ， G称为群的阶数，若 G是无限集，称 (
9、G， )为无限群o(1) 只满足条件 (1),(2)的集合 G称为 半群 .(2) 满足条件 (1),(2),(3)的集合 G称为 带幺半群 .Department of Mathematics(4) 设 (S,*)是一个幺半群 ,如果多任意的满足 : ，则称 S是 可交换半群Sba ,abba =3. 群的性质(1) 若 (G， *)是一个群，则 a， bGa）存在唯一的 x，使得 a*x=bb）存在唯一的 y，使得 y*a=b(2) 可逆必可约，反之不成立（ a） a*b=a*c = b=c（ b） b*a= c *a = b=c(3) 对于一个带幺半群 (S,*),其 单位元是唯一的De
10、partment of Mathematics4，子群定义 : 设（ G， *）是一个群， H G， 如果 (H， *)仍是一个群，则 （ H， *） 叫做 （ G， *） 的 子群。关于子群定义的说明(1) 如果 G的一个子群 H不等于 G， 即 H G，则（ H， *）叫做（ G， *）的 真子群。(2) G的子群 H的运算必须与 G的运算一样，在群中成立的性质在子群仍成立。Department of Mathematics4，子群的例例 3. （ mZ,+）是整数加法群（ Z， +） 的 一个子群例 4. 行列式等于 1的所有 n阶矩阵作成所有 n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群 .5，平
11、凡子群任一群 G都有两个明显的子群 ,称为 G的 平凡子群其余的子群（如果有的话）称为 非平凡子群。由其单位元素组成的子群 1，称为 G的单位子群； G本身也是 G的子群。由其单位元素组成的子群 1，称为 的单位子群； 本身也是 的子群。Department of Mathematics三 ， 循环群1, 元素的周期设 G， *是一个群， e为单位元，对 a G，使得 的最小正整数 n 称为元素 a的 阶 （周期）如果对于任意的正整数 n，都有 ,则称元素 a 的阶是无限的。ean=ean2，周期的性质 :设群 G中元素 a的阶为 n，则：(1) e， a, a2， a3， ， an-1为 n
12、个不同元素Department of Mathematics),gcd( knn(2) am=e当且仅当 nm; as=at 当且仅当 n(s-t)。(3) 设 k是一个正整数，若 G中元素 a的阶为 n，则 ak的阶就为3，循环群定义1 .设 a是群 G的一个元素。于是 a的所有幂的集合 an， n=0， 1， 2， 做成 G的一个子群，记为a。此群称为 由 a生成的子群。Department of Mathematics定义 2. 如果群 G可以由它的某元素 a生成，即有 :a G使 G=， 则 G叫做一个 循环群， 或巡回群。上面定理中的 称为 由 a生成的循环子群。4. 有限和无限循环
13、群设 a为群 G的一个元素，（ 1）如果 a的周期为无穷大，则 是 无限循环群它由彼此不同的元素 :， a-2， a-1， e， a， a2， 组成。循环群必是 Abel群循环群必是 Abel群Department of Mathematics（ 2）如果 a的周期为 n，则 为 n元循环群， 它由 n个不同的元素e， a， a2， a3， ， an-1组成。n元循环群 中，元素 ak是 的生成元的充要条件是（ n， k） =1。注意 循环群的生成元不唯一 .关于群的几个重要的结论 :(1) 循环群的子群一定是循环群，(2) 若 |G|是素数，则群 G一定是交换群，(3) 若 |G| 5，则群
14、 G一定是交换群，(4) 若 G是有限循环群 |G|=n，。exGxn= 都有,Department of Mathematics定义 2.群 G在合同关系（左模 H）下的一个等价类叫做 H的一个 左陪集。即 :a*H=a*h|hH。简记为 aH同样可以定义 b合同于 a(右模 H)和右陪集四，陪 集设 (G， *)是群， H是 G的子群， a， b G，若有 h H，使 得 b =a*h，则称 b合同于 a(左模 H)，记为 b a（左 mod H）。定义 1.合同关系 (左模 H)是一个等价关系。Department of Mathematics陪集的性质（ 1）若 H为 G的有限子群，则
15、 |aH| = |H|。（ 2） H本身也是 H的一个陪集。（ 3） aH=H的充分必要条件是 a H。（ 4） a在陪集 aH中。根据这点，把 a叫做左陪集 aH的一个陪集代表元。（ 5）对于左陪集 aH中任意元素 b，都有 aH=bH（ 6） aH=bH的充分必要条件是 a-b H。（ 7）任意两个左陪集 aH和 bH或者相等或者不相交。Department of Mathematics五，正规子群1，定义 :设是群，N是 G的子群，若对于 a G，有aN=Na,则称 N是群 G的 正规子群 .简记为 :GN ),( oG2，陪集乘法 :设 N是 G的正规子群，令 .即 L是 N的所有不同陪集构成的集族 . 任取 : GaaNL =LbNaN ,定义 :NbabNaN )( o=则称此乘法为 陪集乘法Department of Mathematics六，商群群 的 正规子群 N的全体陪集构成的集合L对于陪集的乘法而言构成群称为群 G的 商群),( oG记为 :NG显然 :),( = LNGDepartment of Mathematics
