1、1 第一节第一节第一节第一节第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵 矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例 第二章第二章第二章第二章第二章第二章第二章第二章 矩矩矩 矩矩矩矩 矩 阵阵阵 阵阵阵阵 阵 引例引例引例引例 价格矩阵 价格矩阵价格矩阵价格矩阵 四种食品四种食品四种食品四种食品 food 在三家商店
2、 在三家商店在三家商店在三家商店 shop 中 中中 中 单位量的售价可用以下数表给出 单位量的售价可用以下数表给出单位量的售价可用以下数表给出单位量的售价可用以下数表给出 1915818 1913915 2111717 F1 F2 F3 F4 S1 S2 S3 2 2 5 这里的行表示商店这里的行表示商店这里的行表示商店这里的行表示商店 列为食品列为食品列为食品列为食品 分量就是第分量就是第分量就是第分量就是第 2 种食品在种食品在种食品在种食品在 3 家商店中的家商店中的家商店中的家商店中的 3 个售价个售价个售价个售价 例如第例如第例如第例如第 2 列列列 列 3 个个个 个 这个数表反
3、映了四种食品在三家商店的售价这个数表反映了四种食品在三家商店的售价这个数表反映了四种食品在三家商店的售价这个数表反映了四种食品在三家商店的售价 定义定义定义定义定义定义定义定义 1 m n 个元个元个元个元 个元个元个元个元 排成排成排成排成排成排成排成排成 m 行行行 行行行行 行 n 列列列 列 横称行 横称行横称行横称行 列列列 列 横称行 横称行横称行横称行 纵称列纵称列纵称列纵称列 的矩型阵列 的矩型阵列的矩型阵列的矩型阵列 表 表表 表 纵称列纵称列纵称列纵称列 的矩型阵列 的矩型阵列的矩型阵列的矩型阵列 表 表表 表 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 1
4、1211 称为称为称为称为称为称为称为称为 m n 维维维 维维维维 维 的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 matrix 简称为简称为简称为简称为简称为简称为简称为简称为 m n 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 一一一 一 矩阵概念 矩阵概念矩阵概念矩阵概念 2 1 行行行 行 row 列列列 列 column 常用大写黑斜体字母常用大写黑斜体字母常用大写黑斜体字母常用大写黑斜体字母 如如如 如 A B C 记之记之记之记之 必要时必要时必要时必要时 也可以用下标来区别不同的矩阵也可以用下标来区别不同的矩阵也可以用下标来区别不同的矩阵也可以用下标来区别不同的矩阵 如如如 如
5、A1 A2 这里的这里的这里的这里的 aij 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵 A 的第的第的第的第 i 行第行第行第行第 j 列的列的列的列的 代表性元代表性元代表性元代表性元 今后简称为该矩阵的今后简称为该矩阵的今后简称为该矩阵的今后简称为该矩阵的 i j 元元元 元 A aij 另外另外另外另外 在不致引起混淆时还常将在不致引起混淆时还常将在不致引起混淆时还常将在不致引起混淆时还常将 简记作简记作简记作简记作 2 1 0124 2589 3421 A 矩阵 矩阵矩阵矩阵 矩阵 矩阵矩阵矩阵 这个这个这个这个 矩阵 矩阵矩阵矩阵 有 有有 有 矩阵 矩阵矩阵矩阵 有 有有 有 a21 9 a33
6、1 在叙述普遍规律或从前后文容易明确时在叙述普遍规律或从前后文容易明确时在叙述普遍规律或从前后文容易明确时在叙述普遍规律或从前后文容易明确时 一 一一 一 般就不特别指所涉及矩阵的维般就不特别指所涉及矩阵的维般就不特别指所涉及矩阵的维般就不特别指所涉及矩阵的维 而在必要时常用而在必要时常用而在必要时常用而在必要时常用 m nA 表明表明表明表明 A 是是是 是 m n 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 二二二 二 一些特殊的矩阵 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵二二二 二 一些特殊的矩阵 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵 我们分别称矩阵我们分别称矩阵我们分别称矩阵我们分别称
7、矩阵 A 为为为 为 实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵 复矩阵复矩阵复矩阵复矩阵 等等等 等 本书主要在实数范围内展开本书主要在实数范围内展开本书主要在实数范围内展开本书主要在实数范围内展开 除另作说明 除另作说明除另作说明除另作说明 外外外 外 一般涉及的总是实矩阵一般涉及的总是实矩阵一般涉及的总是实矩阵一般涉及的总是实矩阵 矩阵矩阵矩阵矩阵 A 的元可以是实数也可以出现复数的元可以是实数也可以出现复数的元可以是实数也可以出现复数的元可以是实数也可以出现复数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m nO 元素都为零的矩元素都为零的矩元素都为零的矩元素都为零的矩 阵称为零矩阵阵称为零矩阵阵称为零矩阵阵
8、称为零矩阵 2 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 行数和列数相同的矩阵称为行数和列数相同的矩阵称为行数和列数相同的矩阵称为行数和列数相同的矩阵称为 方阵方阵方阵方阵方阵方阵方阵方阵 例如例如例如例如 1 方阵方阵方阵方阵方阵方阵方阵方阵 A 称为称为称为称为 n n 方阵方阵方阵方阵 常称为 常称为常称为常称为 n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 或或或 或 n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 2 2 2 2 行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矩阵和列
9、矩阵 只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为 行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵 也称为也称为也称为也称为 行向量行向量行向量行向量行向量行向量行向量行向量 如如如 如 A a11 a12 a1n 1 21 11 ma a a B 如如如 如 只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为 列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 也称为也称为也称为也称为 列向量列向量列向量列向量列向量列向量列向量列向量 作为列向量作为列向量作为列向量作为列向量 常用小写黑体字母 常用小写黑体字母常用小写黑体字母常用小写黑体字母
10、 a b 记之记之记之记之 而行向量则常被记作而行向量则常被记作而行向量则常被记作而行向量则常被记作 aT bT 或或或 或 a b 如如如 如 cos sin a 是个是个是个是个 2 1的列矩阵的列矩阵的列矩阵的列矩阵 也可以当作列向量 也可以当作列向量也可以当作列向量也可以当作列向量 就向量而言就向量而言就向量而言就向量而言 称其元为 称其元为称其元为称其元为 分量分量分量分量 分量的个数即 分量的个数即分量的个数即分量的个数即 为向量的维为向量的维为向量的维为向量的维 2 2 3 cos sin Ta 是是是 是 1 2的行向量的行向量的行向量的行向量 今后凡未作特别说明今后凡未作特别
11、说明今后凡未作特别说明今后凡未作特别说明 讲到向量均指列向量 讲到向量均指列向量讲到向量均指列向量讲到向量均指列向量 在用同一个字母代表不同向量时在用同一个字母代表不同向量时在用同一个字母代表不同向量时在用同一个字母代表不同向量时 常以下标区别 常以下标区别常以下标区别常以下标区别 如如如 如 a1 a2 从矩阵中元零的分布看从矩阵中元零的分布看从矩阵中元零的分布看从矩阵中元零的分布看 也可区分出几种常 也可区分出几种常也可区分出几种常也可区分出几种常 见的特殊形式的矩阵见的特殊形式的矩阵见的特殊形式的矩阵见的特殊形式的矩阵 为此先引入下面的定义为此先引入下面的定义为此先引入下面的定义为此先引
12、入下面的定义 的的的 的 主主主 主 对角线对角线对角线对角线 并称 并称并称并称 aii 为为为 为 A 的第的第的第的第 i 个对角线元个对角线元个对角线元个对角线元 定义定义定义定义定义定义定义定义 2 对于对于对于对于对于对于对于对于 的的的 的的的的 的 m n 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 A 记 记记 记 记 记记 记 2 1 k min m n 称元称元称元称元 a11 a22 akk 构成构成构成构成 A 对于方阵对于方阵对于方阵对于方阵 主对角线主对角线主对角线主对角线 是自左上角到右下角的那是自左上角到右下角的那是自左上角到右下角的那是自左上角到右下角的那 根连线根连
13、线根连线根连线 一般称元一般称元一般称元一般称元 ai i 1 位于位于位于位于 A 的的的 的 上对角线上对角线上对角线上对角线 上上上 上 在下列这个在下列这个在下列这个在下列这个 4 阶矩阵中阶矩阵中阶矩阵中阶矩阵中 表明其主对角线表明其主对角线表明其主对角线表明其主对角线 而而而 而 及及及 及 分别标示上分别标示上分别标示上分别标示上 下对角线 下对角线下对角线下对角线 而元而元而元而元 ai i 1 在在在 在 A 的的的 的 下对角线下对角线下对角线下对角线 上上上 上 主对角线主对角线主对角线主对角线 上对角线上对角线上对角线上对角线 下对角线下对角线下对角线下对角线 3 上三
14、角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵上三角阵与下三角阵 对于方阵对于方阵对于方阵对于方阵 若其非零元只出现在对角线及其 若其非零元只出现在对角线及其若其非零元只出现在对角线及其若其非零元只出现在对角线及其 上上上 上 或右 或右或右或右 方 方方 方 就称为 就称为就称为就称为 上三角上三角上三角上三角 形矩形矩形矩形矩 阵阵阵 阵 upper triangular matrix 有时用有时用有时用有时用 U 或或或 或 R right 表示表示表示表示 值得注意的是值得注意的是值得注意的是值得注意的是 对角
15、线下 对角线下对角线下对角线下 或左 或左或左或左 方的元必为零 方的元必为零方的元必为零方的元必为零 而其他元可以是零也可以不是零而其他元可以是零也可以不是零而其他元可以是零也可以不是零而其他元可以是零也可以不是零 nn n n n a aa aaa aaaa 000 00 0 333 22322 1312111 3 相反相反相反相反 非零元只出现在对角线及其下 非零元只出现在对角线及其下非零元只出现在对角线及其下非零元只出现在对角线及其下 或左 或左或左或左 方的方阵为方的方阵为方的方阵为方的方阵为 下三角下三角下三角下三角 形矩形矩形矩形矩 阵阵阵 阵 lower triangular
16、matrix 记作记作记作记作 L left 一般而言一般而言一般而言一般而言 对 对对 对 n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A aij 当且仅当 当且仅当当且仅当当且仅当 i j 且且且 且 aij 0时时时 时 A为上三角阵为上三角阵为上三角阵为上三角阵 而当且仅当 而当且仅当而当且仅当而当且仅当 i j 且且且 且 aij 0 时时时 时 A为下三角阵为下三角阵为下三角阵为下三角阵 nnnnn aaaa aaa aa a 321 333231 2221 11 0 00 000 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 diagonal matrix 一个既是上三角又是下三角的矩阵称为一个既是上三角又是下三角的
17、矩阵称为一个既是上三角又是下三角的矩阵称为一个既是上三角又是下三角的矩阵称为 对角对角对角对角 4 对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵 亦即对角阵是非零元亦即对角阵是非零元亦即对角阵是非零元亦即对角阵是非零元 只能在主对角线上出现的方阵只能在主对角线上出现的方阵只能在主对角线上出现的方阵只能在主对角线上出现的方阵 如如如 如 400 030 0012 D 是个是个是个是个 3 阶的对角阵阶的对角阵阶的对角阵阶的对角阵 显然显然显然显然 由对角线元就足以确定对角阵本身 由对角线元就足以确定对角阵本身由对角线元就足以确定对角阵本身由对角线元就足以确定对角阵本身 故常将这对角阵记作故常
18、将这对角阵记作故常将这对角阵记作故常将这对角阵记作 D diag 12 3 4 而而而 而 diag 1 2 n 表示一组对角元分表示一组对角元分表示一组对角元分表示一组对角元分 别为别为别为别为 1 2 n的的的 的 n 阶对角阵阶对角阵阶对角阵阶对角阵 详细写出就是详细写出就是详细写出就是详细写出就是 当然允许某些当然允许某些当然允许某些当然允许某些 等于零等于零等于零等于零 2 2 4 ndiag n 00 00 00 2 1 21 def 量量量 量 时称为时称为时称为时称为 标量标量标量标量 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 scalar matrix 当一对角阵的对角线元全相等当一对角阵的对
19、角线元全相等当一对角阵的对角线元全相等当一对角阵的对角线元全相等 等于某个常 等于某个常等于某个常等于某个常 5 标量阵标量阵标量阵标量阵标量阵标量阵标量阵标量阵 特别称特别称特别称特别称 1 的标量矩阵为的标量矩阵为的标量矩阵为的标量矩阵为 单位单位单位单位 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 或称或称或称或称 幺幺幺 幺 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 identity matrix 以以以 以 I 或或或 或 E 来记来记来记来记 0 0 0 0 0 0 A n阶标量阶标量阶标量阶标量 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 nI n阶单位阶单位阶单位阶单位 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 10
20、0 010 001 3I 2 2 4 3阶单位阶单位阶单位阶单位 矩矩矩 矩 阵阵阵 阵 在对许多实际问题作数学描述时在对许多实际问题作数学描述时在对许多实际问题作数学描述时在对许多实际问题作数学描述时 都要用到 都要用到都要用到都要用到 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 三三三 三 矩阵问题的例 矩阵问题的例矩阵问题的例矩阵问题的例 这里讨论几个简单的例子这里讨论几个简单的例子这里讨论几个简单的例子这里讨论几个简单的例子 例例例 例 1 通路矩阵 通路矩阵通路矩阵通路矩阵 a 省两个城市省两个城市省两个城市省两个城市 a1 a2 和和和 和 b 省省省 省 三个城市三个城市三个城市三
21、个城市 b1 b2 b3 的交通联结情况如图的交通联结情况如图的交通联结情况如图的交通联结情况如图 2 1所示所示所示所示 每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路 总数总数总数总数 由该图提供的通路信息由该图提供的通路信息由该图提供的通路信息由该图提供的通路信息 可用矩阵形式 可用矩阵形式可用矩阵形式可用矩阵形式 表示表示表示表示 称之为通路矩阵 称之为通路矩阵称之为通路矩阵称之为通路矩阵 以便存贮以便存贮以便存贮以便存贮 计算与 计算与计算与计算与 利用这些信息利用这些信
22、息利用这些信息利用这些信息 4 a1 a2 b1 b2 b3 4 1 3 2 2 现有现有现有现有 220 314C a1 a2 b1 b2 b3 通路矩阵通路矩阵通路矩阵通路矩阵 C 的行表示的行表示的行表示的行表示 a 省的城市省的城市省的城市省的城市 列是列是列是列是 b 省的省的省的省的 而而而 而 cij 表示表示表示表示 ai 与与与 与 bj 间的通路数间的通路数间的通路数间的通路数 工厂中常用管道联结各种设备工厂中常用管道联结各种设备工厂中常用管道联结各种设备工厂中常用管道联结各种设备 于是也可 于是也可于是也可于是也可 用一矩阵表明各设备间的连通情况用一矩阵表明各设备间的连通情况用一矩阵表明各设备间的连通情况用一矩阵表明各设备间的连通情况 图图图 图 2 2 1 城市城市城市城市
