逻辑代数的基本知识.doc

1、逻 辑 代 数 的 基 本 知 识1. 逻 辑 代 数 的 基 本 定 律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。交换律： A+B = B+A， A B = B A；结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C， A (B C) = (A B) C；分配律: A (B+C) = A B+A C， A+B C=(A+B) (A+C)；互非定律: A+A = l，A A = 0 ； ， ；10重叠定律（同一定律）：A A=A， A+A=A；反演定律(摩根定律）：A B=A+B9 A+B=A B ， ；BAB 还 原 定 律 : 2. 逻 辑 代 数 的 基 本 运 算 规 则

2、（ 1） 代 入 规 则在 逻 辑 函 数 表 达 式 中 凡 是 出 现 某 变 量 的 地 方 都 用 另 一 个 逻 辑 函 数 代 替 ， 则 等 式 仍 然 成 立 ， 这个 规 则 称 为 代 入 规 则 。 例 如 ， 已 知 A+AB=A， 将 等 式 中 所 有 出 现 A 的 地 方 都 以 函 数 (C+D)代 替 则等 式 仍 然 成 立 ， 即 （ C+D) + (C+D)B = C+D。（ 2） 反 演 规 则对 于 任 意 的 Y 逻 辑 式 ， 若 将 其 中 所 有 的 “ ”换 成 “ + ”换 成 “ ”， 0 换 成 1， 1 换 成 0， 原变 量 换

3、 成 反 变 量 ， 反 变 量 换 成 原 变 量 ， 则 得 到 原 函 数 Y 的 反 函 数 ， 运 用 它 可 以 简 便 地 求 出 一 个函 数 的 反 函 数 。运 用 反 演 规 则 时 应 注 意 两 点 ： 要 注 意 运 算 符 号 的 优 先 顺 序 ， 不 应 改 变 原 式 的 运 算 顺 序 。例 ： 应 写 为CDBAY)(DCBAY证 ： 不 属 于 单 变 量 上 的 非 号 应 保 留 不 变 。例 ： 则)(E )()(E则 YY（ 3） 对 偶 规 则对 于 任 何 一 个 逻 辑 函 数 ， 如 果 将 其 表 达 式 Y 中 所 有 的 算 符

4、“ ”换 成 “ + ”换 成 “ ”，常 量 “0”换 成 换 成 “0”， 而 变 量 保 持 不 变 ， 则 得 出 的 逻 辑 函 数 式 就 是 Y 的 对 偶 式 ， 记 为 Y。例 如 ： 若 Y=A (B + C)， 则 Y=A + B C； 若 两 个 逻 辑 式 相 等 ， 则 它 们 的 对 偶 式 也 相 等 。使 用 对 偶 规 则 时 ， 同 样 要 注 意 运 算 符 号 的 先 后 顺 序 和 不 是 一 个 变 量 上 的 “非 ”号 应 保 持 不变 。3. 逻 辑 代 数 的 表 示 方 法逻 辑 函 数 可 以 用 逻 辑 真 值 表 、 逻 辑 表 达

5、 式 、 逻 辑 图 、 卡 诺 图 、 波 形 图 等 方 法 来 表 示 。（ 1） 真 值 表以 表 格 的 形 式 反 映 输 入 逻 辑 变 量 的 取 值 组 合 与 函 数 值 之 间 的 对 应 关 系 。 它 的 特 点 是 直 观 、 明了 ， 特 别 是 在 把 一 个 实 际 逻 辑 问 题 抽 象 为 数 学 问 题 时 ， 使 用 真 值 表 最 为 方 便 。 因 此 ， 在 进 行 数 字电 路 的 逻 辑 设 计 时 ， 首 先 就 是 根 据 设 计 要 求 ， 列 出 真 值 表 。（ 2） 函 数 表 达 式用 与 、 或 、 非 等 逻 辑 运 算 表

6、 示 逻 辑 函 数 中 各 个 变 量 之 间 逻 辑 关 系 的 代 数 式 ， 叫 做 函 数 表 达 式或 逻 辑 表 达 式 。 这 种 表 示 方 法 书 写 简 洁 、 方 便 ， 其 主 要 优 点 是 便 于 利 用 逻 辑 代 数 的 公 式 和 定 理 进行 运 算 、 变 换 。 它 的 缺 点 是 不 如 真 值 表 直 观 ， 尤 其 是 在 逻 辑 函 数 比 较 复 杂 时 ， 难 以 直 接 从 变 量取 值 看 出 函 数 的 值 。（ 3） 逻 辑 图逻 辑 图 是 指 用 逻 辑 图 形 符 号 来 表 示 逻 辑 函 数 与 变 量 之 间 的 逻 辑

7、 关 系 。 一 般 图 形 符 号 都 有 相 应 的 电 路 器 件 ， 所 以 逻 辑 图 也 叫 逻 辑 电 路 图 ， 它 比 较 接 近 工 程 实 际 。（ 4） 卡 诺 图卡 诺 图 实 际 上 是 真 值 表 的 另 一 种 表 示 形 式 ， 我 们 将 在 下 面 逻 辑 函 数 的 化 简 部 分 中 详 细 介 绍 。（ 5） 波 形 图波 形 图 是 由 输 入 变 量 的 所 有 可 能 取 值 组 合 的 高 、 低 电 平 及 其 对 应 的 输 出 函 数 值 的 高 、 低 电 平所 构 成 的 图 形 。【 例 5.1】 已 知 函 数 的 逻 辑 表

8、达 式 为 Y= B + C。 要 求 ：（ 1)列 出 相 应 的 真 值 表 ；（ 2)已 知 输 入 波 形 ， 画 出 输 出 波 形 ；（3)画出逻辑图。【解】将 A，B，C 的所有组合代入逻辑表达式计算，得到真值表如表 5-6 所示。根据真值表，画出例 5.1 的输出波形，如图 5-13 所示。根据逻辑表达式，画出逻辑图如图 5-14 所示。图 5-13 例 5.1 波 形 图 图 5-14 逻 辑 图表 5-6 例 5.1 真 值 表4.逻 辑 代 数 的 化 简同 一 逻 辑 函 数 可 以 写 成 不 同 的 逻 辑 式 ， 而 这 些 逻 辑 式 的 繁 简 程 度 又 相

9、 差 甚 远 。 逻 辑 形 式 越 简单 ， 它 所 表 示 的 逻 辑 关 系 就 越 明 显 ， 同 时 也 有 利 于 用 最 少 的 电 子 器 件 实 现 这 个 逻 辑 关 系 。 因 此 ，经 常 需 要 通 过 化 简 的 手 段 来 找 出 逻 辑 函 数 的 最 简 形 式 。（ 1） 逻 辑 函 数 的 最 简 形 式化 简 的 形 式 一 般 称 为 与 或 逻 辑 式 ， 最 简 与 或 逻 辑 式 的 标 准 如 下 ： 逻 辑 函 数 式 中 乘 积 项 （ 与 项 ） 的 个 数 最 少 ； 每 个 乘 积 项 中 的 变 量 数 最 少 。A（ 2） 逻 辑

10、 函 数 的 代 数 化 简 法1） 并 项 法利 用 公 式 ， 将 两 项 合 并 为 一 项 ， 消 去 一 个 变 量 。AB例 如 ： 1)(BCACCY2) 吸 收 法利 用 公 式 A+AB=A 及 AB+AC+BC=AB+AC， 消 去 多 余 乘 积 项 。例 如 ： FED)(Y3) 配 项 法利 用 公 式 A+A=1， 给 某 个 乘 积 项 配 项 ， 以 达 到 进 一 步 简 化 。例 1. CABCB AB )( )()(例 2. EFBDEFDAY5.卡 诺 图 化 简 法（ 1） 最 小 项1） 最 小 项 的 定 义对 于 N 个 变 量 ， 如 果 P

11、是 一 个 含 有 N 个 因 子 的 乘 积 项 ， 而 在 P 中 每 一 个 变 量 都 以 原 变 量 或反 变 量 的 形 式 出 现 一 次 ， 且 仅 出 现 一 次 ， 那 么 就 称 P 是 N 个 变 量 的 一 个 最 小 项 。因 为 每 个 变 量 都 有 以 原 变 量 和 反 变 量 两 种 可 能 的 形 式 出 现 ， 所 以 N 个 变 量 有 个 最 小 项 。N22） 最 小 项 的 性 质P24 表 -16 列 出 了 三 个 变 量 的 全 部 最 小 项 真 值 表 。 由 表 可 以 看 出 最 小 项 具 有 下 列 性 质 ：性 质 1： 每

12、 个 最 小 项 仅 有 一 组 变 量 的 取 值 会 使 它 的 值 为 “1”， 而 其 他 变 量 取 值 都 使 它 的 值为 “0”。性 质 2： 任 意 两 个 不 同 的 最 小 项 的 乘 积 恒 为 “0”。性 质 3： 全 部 最 小 项 之 和 恒 为 “1”。由 函 数 的 真 值 可 以 很 容 易 地 写 出 函 数 的 标 准 与 或 式 ， 此 外 ， 利 用 逻 辑 代 数 的 定 律 、 公 式 ， 可以 将 任 何 逻 辑 函 数 式 展 开 或 变 换 成 标 准 与 或 式 。例 ： CBAABCBACY )()()(例 ： CABCBA CABCA

13、B )()()(3） 最 小 项 编 号 及 表 达 式为 便 于 表 示 ， 要 对 最 小 项 进 行 编 号 。 编 号 的 方 法 是 ： 把 与 最 小 项 对 应 的 那 一 组 变 量 取 值 组 合当 成 二 进 制 数 ， 与 其 对 应 的 十 进 制 数 ， 就 是 该 最 小 项 的 编 号 。在 标 准 与 或 式 中 ， 常 用 最 小 项 的 编 号 来 表 示 最 小 项 。 如 ：常 写 成 或ABCBCAY 7653),( mCBAFYm)7,653(（ 2） 逻 辑 函 数 的 卡 诺 图 表 达 法1） 逻 辑 变 量 卡 诺 图卡 诺 图 是 指 按

14、相 邻 性 原 则 排 列 的 最 小 项 的 方 格 图 ， 也 叫 最 小 项 方 格 图 ， 它 将 最 小 项 按 一 定的 规 则 排 列 成 方 格 阵 列 。 根 据 变 量 的 数 目 N， 则 应 有 个 小 方 格 ， 每 个 小 方 格 代 表 一 个 最 小 项 。n2卡 诺 图 中 将 N 个 变 量 分 成 行 变 量 和 列 变 量 两 组 ， 行 变 量 和 列 变 量 的 取 值 ， 决 定 了 小 方 格 的 编号 ， 也 即 最 小 项 的 编 号 。 行 、 列 变 量 的 取 值 顺 序 一 定 要 按 格 雷 码 排 列 。 P26 列 出 了 二

15、变 量 、 三变 量 和 四 变 量 的 卡 诺 图 。卡 诺 图 的 特 点 是 形 象 地 表 达 了 各 个 最 小 项 之 间 在 逻 辑 上 的 相 邻 性 。 图 中 任 何 几 何 位 置 相 邻 的最 小 项 ， 在 逻 辑 上 也 是 相 邻 的 。所 谓 逻 辑 相 邻 ， 是 指 两 个 最 小 项 只 有 一 个 是 互 补 的 ， 而 其 余 的 变 量 都 相 同 ，所 谓 几 何 相 邻 ， 不 仅 包 括 卡 诺 图 中 相 接 小 方 格 的 相 邻 ， 方 格 间 还 具 有 对 称 相 邻 性 。 对 称 相 邻性 是 指 以 方 格 阵 列 的 水 平

16、或 垂 直 中 心 线 为 对 称 轴 ， 彼 此 对 称 的 小 方 格 间 也 是 相 邻 的 。卡 诺 图 的 主 要 缺 点 是 随 着 变 量 数 目 的 增 加 ， 图 形 迅 速 复 杂 化 ， 当 逻 辑 变 量 在 五 个 以 上 时 ， 很少 使 用 卡 诺 图 。2） 逻 辑 函 数 卡 诺 图用 卡 诺 图 表 示 逻 辑 函 数 就 是 将 函 数 真 值 表 或 表 达 式 等 的 值 填 入 卡 诺 图 中 。可 根 据 真 值 表 或 标 准 与 或 式 画 卡 诺 图 ， 也 可 根 据 一 般 逻 辑 式 画 卡 诺 图 。 若 已 知 的 是 一 般 的

17、逻辑 函 数 表 达 式 ， 则 首 先 将 函 数 表 达 式 变 换 成 与 或 表 达 式 ， 然 后 利 用 直 接 观 察 法 填 卡 诺 图 。 观 察 法的 原 理 是 ： 在 逻 辑 函 数 与 或 表 达 式 中 ， 凡 是 乘 积 项 ， 只 要 有 一 个 变 量 因 子 为 0 时 ， 该 乘 积 项 为0； 只 有 乘 积 项 所 有 因 子 都 为 1 时 ， 该 乘 积 项 为 1。 如 果 乘 积 项 没 有 包 含 全 部 变 量 ， 无 论 所 缺 变量 为 1 或 者 为 0， 只 要 乘 积 项 现 有 变 量 满 足 乘 积 项 为 1 的 条 件 ，

18、 该 乘 积 项 即 为 1。例 1：可 写 成例 2：（ 3） 逻 辑 函 数 的 卡 诺 图 化 简 法1） 合 并 最 小 项 的 规 律根 据 公 式 AB+AB=A 或 知 ， 两 逻 辑 上 相 邻 的 最 小 项 之 和 或 以 合 并 成 一 项 ， 并 消 去 一 个 变 量 ； 四个 相 邻 最 小 项 可 合 并 为 一 项 ， 并 消 去 两 个 变 量 。 卡 诺 图 上 能 够 合 并 的 相 邻 最 小 项 必 须 是 2 的 整次 幂 。)15,47,631(),(mDCBAY AB CD 0 01 1 10 0 0 1 0 0 01 1 0 0 0 1 1 1

19、 1 1 10 0 1 1 0 )(CBDAY AB CD 0 01 1 10 0 1 1 0 0 01 0 0 0 0 1 1 0 0 1 10 1 1 0 1 2） 用 卡 诺 图 化 简 逻 辑 函 数用 卡 诺 图 化 简 逻 辑 函 数 一 般 可 分 为 三 步 进 行 ： 首 先 是 画 出 函 数 的 卡 诺 图 ； 然 后 是 圈 1 合 并最 小 项 ； 最 后 根 据 方 格 圈 写 出 最 简 与 或 式 。在 圈 1 合 并 最 小 项 时 应 注 意 以 下 几 个 问 题 ： 圈 数 尽 可 能 少 ； 圈 尽 可 能 大 ； 卡 诺 图 中 所 有“1”都 要

20、被 圈 ， 且 每 个 “1”可 以 多 次 被 圈 ； 每 个 圈 中 至 少 要 有 一 个 “1”只 圈 1 次 。 一 般 来说 ， 合 并 最 小 项 圈 1 的 顺 序 是 先 圈 没 有 相 邻 项 的 1 格 ， 再 圈 两 格 组 、 四 格 组 、 八 格 组 。两 点 说 明 ： 在 有 些 情 况 下 ， 最 小 项 的 圈 法 不 只 一 种 ， 得 到 的 各 个 乘 积 项 组 成 的 与 或 表 达 式 各 不 相 同 ，哪 个 是 最 简 的 ， 要 经 过 比 较 、 检 查 才 能 确 定 。例 ：1 在 有 些 情 况 下 ， 不 同 圈 法 得 到 的

21、 与 或 表 达 式 都 是 最 简 形 式 。 即 一 个 函 数 的 最 简 与 或 表 达式 不 是 唯 一 的 。 如 图 16.具 有 约 束 条 件 的 逻 辑 函 数 化 简（ 1） 约 束 、 约 束 条 件 、 约 束 项在 实 际 的 逻 辑 问 题 中 ， 决 定 某 一 逻 辑 函 数 的 各 个 变 量 之 间 ， 往 往 具 有 一 定 的 制 约 关 系 。 这 种制 约 关 系 称 为 约 束 。例 如 ， 设 在 十 字 路 口 的 交 通 信 号 灯 ， 绿 灯 亮 表 示 可 通 行 ， 黄 灯 亮 表 示 车 辆 停 ， 红 灯 亮 表 示 不通 行 。

22、 如 果 用 逻 辑 变 量 A、 B、 C 分 别 代 表 绿 、 黄 、 红 灯 ， 并 设 灯 亮 为 1， 灯 灭 为 0； 用 Y 代 表是 否 停 车 ， 设 停 车 为 1 ， 通 行 为 0 。 则 Y 的 状 态 是 由 A、 B、 C 产 状 态 决 定 的 ， 即 Y 是A、 B、 C 是 函 数 。在 这 一 函 数 关 系 中 ， 三 个 变 量 之 间 存 在 着 严 格 的 制 约 关 系 。 因 为 通 常 不 允 许 两 种 以 上 的 灯 同时 亮 。 如 果 用 逻 辑 表 达 式 表 示 上 述 约 束 关 系 ， 有 ：AB=0 BC=0 AC=0 或

23、 AB+BC+AC=0通 常 把 反 映 约 束 关 系 的 这 个 值 恒 等 于 0 的 条 件 等 式 称 为 约 束 条 件 。将 等 式 展 开 成 最 小 项 表 达 式 ， 则 有由 最 小 项 性 质 可 知 ， 只 有 对 应 的 变 量 取 值 组 合 出 现 时 ， 其 值 才 为 1。 约 束 条 件 中 包 含 的 最小 项 的 值 恒 为 0， 不 能 为 1， 所 以 对 应 的 变 量 取 值 组 合 不 会 出 现 。 这 种 不 会 出 现 的 变 量 取 值 组 合所 对 应 的 最 小 项 称 为 约 束 项 。约 束 项 所 对 应 的 函 数 值 ，

24、 一 般 用 表 示 。 它 表 示 约 束 项 对 应 的 变 量 取 值 组 合 不 会 出 现 ， 而函 数 值 可 以 认 为 是 任 意 的 。约 束 项 可 写 为 ： m0)7,653(（ 2） 具 有 约 束 的 逻 辑 函 数 的 化 简约 束 项 所 对 应 的 函 数 值 ， 既 或 看 作 0， 也 可 看 作 1。 当 把 某 约 束 项 看 作 0 时 ， 表 示 逻 辑 函数 中 就 不 包 括 该 约 束 项 ， 如 果 是 看 作 1， 则 说 明 函 数 式 中 包 含 了 该 约 束 项 ， 但 因 其 所 对 应 的 变 量取 值 组 合 不 会 出 现 ， 也 就 是 说 加 上 该 项 等 于 加 0， 函 数 值 不 会 受 影 响 。例 ：