1、1,矢量代数的基本知识,2,例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。,标量只有大小，,例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。,矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，,坐标分量表示法,矢量的几种表示方式：,几何表示,直角坐标系,矢量的模,表示沿x，y，z轴的单位矢量。,有指向的线段。,3,矢量方向：,可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。,设矢量与x，y，z三轴的夹角为、。,此三个角满足关系：,1.矢量的加法运算,矢量的加法运算实际上是矢量的叠加，用的是平行四边形法则或三角形法则。,4,(1) 矢量的点乘（标量积）,矢量的减法运算是加法运算的逆运算。,2.矢量的减法运算,3.矢量
2、的乘法运算,是 的夹角。,直角坐标系：,特殊：,5,的方向：垂直于由 、 所构成的平面，并且跟矢量 、 形成右手螺旋关系：,伸出右手，使手平面垂直 、 所构成的平面，然后四指沿着矢量 的方向，经过小于180的角转到矢量 的方向，此时姆指指示的方向，就是矢量 的方向。,(2) 矢量的叉乘（矢量积）,是 的夹角。,是一个单位矢量。,直角坐标系：,注意：,6,力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。,机械运动-物体相对位置或自身各部份的相对位置发生变化的运动。,运动学：,动力学：,以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。,研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及运动的轨
3、道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。,7,参照系和坐标系,质点和刚体,（龚炎芳编）,8,为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。,质点:只有质量而没有没有大小和形状的理想物体。,1.质点,刚体：有质量、有大小和形状但不会发生形变的理想物体，,2.刚体,强调：质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物体在一定条件下的抽象。,9,参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。,注意：参照系不一定是静止的。,描述物质运动具有相对性,用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。,物质的运动具有绝对性,为描述物体的运动而选取的参考物体。,坐标系：,参考系
4、：,坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参照系的数学抽象。,10,运动学,（龚炎芳编）,11,描写质点空间位置的物理量。,1.位置矢量,在直角坐标系中，可以从原点O向质点P所在位置画一矢量 来表示质点位置。,称为位置矢量，简称位矢。,位矢可表示为：,表示沿x，y，z轴的单位矢量。,位矢大小（位矢的模）：,位矢方向：,由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。,12,质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。,称为运动方程（运动函数）,在直角坐标系：,分量式：,质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨迹，相应的曲线方程称为轨迹方程。,在运动方程中
5、，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。,（2）轨迹方程与运动方程的区别与联系,注意：,（1）运动方程与位置矢量的区别；,13,2.位移,描写质点位置变化的物理量。,AB位移：,大小为PQ的距离,方向从P指向Q。,在直角坐标系中：,位移的大小：,强调：位移的大小只能写成： ，不能写成 或 。,14,强调：位移的大小只能写成： ，不能写成 或 。,表示位矢大小的增量,表示质点位矢的增量大小（位移的长度）,注意位移与路程的区别,路程S ：为物体t内走过的轨道的长度，为标量；,A,B,位移： 从起点指向终点的有向线段，为矢量，而位移大小是质点实际移动的直线距离。,一般情况下，,在 t趋近于零的极
6、限情况下，,15,3.速度,描写物体运动变化快慢的物理量。,平均速度：,瞬时速度,速度大小（速率）：,注：,问： 对吗？,16,描写质点速度变化快慢的物理量。,平均加速度：,4.加速度,加速度：,方向： t0时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。,17,描述质点运动的四个基本物理量：,（2）时间性。注意瞬时量和过程量的区别。,（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。,（3）相对性。对不同参照系有不同的描述。,描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点运动的状态参量。,表示t时间内质点位置的变化， 为速度的瞬时变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。,四个物理量的特点：,质点在三维空间
7、运动时，位矢、位移、速度、加速度是三维矢量；在平面上运动时，是二维矢量；沿直线运动时，是一维矢量，此时可以取轨道直线为坐标轴，规定原点和坐标轴的正方向后，可用正负号表示这些物理量的方向。,18,在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右。,1.角坐标,角称为角坐标（或角位置）。,连接OP，则OP与极轴之间的夹角为。,规定：从ox轴逆时针到达P点的矢径，角坐标为正值。,= （t），叫做转动方程。,2.角位移,描写质点位置变化的物理量。,角位移:,19,3.角速度,描写质点转动快慢和方向的物理量。,1.平均角速度,.角速度,方向：满足右手定则，,描写角速度变化快慢和方向的物理量。,1.
8、平均角加速度,2.角加速度,4.角加速度,方向：角速度变化的方向。,线速度与角速度的关系：,20,例：水平直轨道上有一辆小车，轨道O点正上方有一绞车，绞车转动，牵引绳缠绕在小车上，拉着小车在轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为时，小车移动速度多大？设已知绞车收绳速度为v0。,解法1：收绳速度v0在水平方向的投影v就是小车移动的速度，,收绳速度除了水平投影v之外，还有竖直投影，,这结果显然是错的。,21,解法2：在绞车收绳时，牵引绳不仅缩短，而且其方向（即角）也在不断的改变。,小车还具有绕绞车转动的速度u0。,u0在水平方向的投影为：,小车的移动速度：,竖直方向：,22,解法3：小车在绳子方向
9、的分速度必然等于绞车的收绳速度。,解法4：以小车为研究对象运动质点，选取绞车与绳接触点为坐标原点，如图所示。,小车的移动速度为,23,例：如图所示装置，已知,。求物体A的速率 。,解法1：,解法2：物体B的速率即为悬挂物体A沿绳子方向的速率，有：,分析：这显然是错误的，原因同上题解法1。,解法3：微元法，以物体A为研究对象运动质点，选取滑轮与绳接触点为坐标原点，如图所示。,物体A的移动速度为,24,1匀加速运动,（注：不等于直线运动，如抛体运动）,此时满足：,直角坐标系：,特殊：匀加速直线运动,25,例：火车以速率v1向前行驶，司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的
10、方向以较小的速率v2作匀速运动。于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a。要使两车不相撞，求a应满足的关系式。,即,解法1：以速率为v2的火车作参照系，,速率为v1的火车相对于速率为v2的火车作初速度为(v1- v2)、加速度为a的匀减速直线运动，,要使两火车不相撞，易得：,26,解法2：以地面作为参照系，,易得：,解上述两式，得：,解法3：作图法。,要使两车不相撞，速率为v1的火车赶上速率为v2的火车时，其速率不能超过v2 。,两车要不相撞，,有：,即：,27,例:甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确
11、定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为20m，求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a；（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。,答案：,完成交接棒时，乙在接力区末端的距离为：,这段时间内，乙在接力区的位移：,28,类似题目1：一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度
12、达到v0后便以此速度做匀速运动。当煤块相对传送带静止时，煤块会在传送带上留下黑色痕迹。求煤块在传送带上留下的黑色痕迹的长度。,类似题目2：已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2 。一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。,答案：,29,这类题目通常都是通过列方程求解。,抛体运动的加速度大小为g，方向竖直向下。,2抛体运动,如图所示，有一斜坡，它与水平面的仰角为，一物体从斜坡底端射出，初速大小为v0，方向与斜坡的夹角为。,建立坐标系如图所示。,（1）,（2）,（3）,说明
13、：若往斜坡下射出，则取负值。,（4）,（1）求射程,30,令y=0，代入(4)式，得：,再代入(3)式得：,（5）,若=0，,说明：也可以建立如图所示坐标系，,此时直线方程为：,解以上三个方程可以求出抛物线与直线的交点,射程:,射程:,31,（3）当物体打到A点时，设物体与斜坡发生完全弹性碰撞并沿原路返回，求角与角的关系。,代入(1)、(4)式得：,在A点满足,（2）求v0一定时的最大射程,即：,若用微积分，易得：,由(5)式知，,当 最大时，射程最大。,射程最大。,若=0,32,例：从离地面高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为（0/2）。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平
14、板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示。则当平板的倾角为恰当值时（0/2）甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞。试讨论v0、应满足那些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。,解：由于甲球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，所以甲球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于v0。,设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为,设A点与碰撞点之间的距离为L（即射程），,33,由,解得：,即：,所以,或,表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反射出时速度的方向相反。,因此有,此时甲球必沿板的法线方向射向平板。反弹后，甲
15、球沿原来的路径返回A点，,即：,表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点。,代入,得,因,34,下面按上述两种情况，讨论甲、乙两球同时回到A点应满足的条件。,(1),即甲球沿原路径回到A点的情况,设甲球从A点抛出与OG板碰撞到沿原路径回到A点共经历时间为t1，,设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到A点共经历时间为t2，,要求两时间相等,得,即,35,(2),设甲球从A点抛出与OG板碰撞到沿原路径回到A点共经历时间为 。,设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到A点共经历时间为 。,甲球与OG板碰撞后
16、，沿另一条路径返回到A点。,要求两时间相等，,处理后为,有,结合,得,36,3圆周运动、曲线运动,表示速率变化率，,表示沿A点速度方向的单位矢量,因为A点为任意点，可以略去下标，,由图知,表示沿A点的法向单位矢量，方向由A点指向圆心O,37,它用来改变速率的大小，但不改变速度的方向；,它用来改变速度的方向，但不改变速度的大小,说明：对于曲线运动，上式仍然成立，但式中的R指的是曲率半径。,称为切向加速度，,称为法向加速度，,38,补充：自然坐标系,质点P沿已知的平面轨道运动。,将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点O作为坐标原点。,质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长度s来表示，
17、s称为弧坐标。,在质点上建立两个坐标轴：切向坐标和法向坐标。,切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；,法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。,强调：自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不断变化的。,39,例：一个抛射体，射出时的初速度大小为v0，抛射角为60。（1）某时刻测得抛射体在轨道A点处速度方向与水平方向成30，大小为v，求抛射体在A点处的切向加速度和法向加速度；（2）分析抛射体从射出到落回地面的过程中切向加速度和法向加速度的大小变化情况。,（2）上升过程切向加速度数值变小，法向加速度数值变大；当抛射体
18、在最高点时，法向加速度最大，大小为g；下落过程切向加速度数值变大，法向加速度数值变小。,解：（1）利用矢量分解法。总加速度为g。,（上升过程，与速度方向相反）,（下落过程，与速度方向相反）,或,（方向沿法线方向）,40,例：有一只狐狸以不变速率v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸，某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FDAB，且FD=L（如图所示），试求此时猎犬加速度的大小。,解：设t时间以后，猎犬到达C处，狐狸到达E。,由图可见猎犬转过的角度应为 ，,它的方向与速度方向垂直。,在t时间内狐狸逃过的距离为,联立(2)(3)式得：,加速度,t时间间隔很小，可以将猎犬
19、运动的轨迹看成一小段圆弧，设此圆弧的半径为R。,有：,41,例:A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为L的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A。试问：经过多少时间三人相遇？每个演员跑了多少路程？,解法1：任一时刻三人位置都在一个正三角形的三个顶点上，且正三角形边长不断缩小。,根据小量近似相近，有：,类推：,把追上时间分成n个微小时间t（t0），在每个t内每个人近似作直线运动，可求出每经过t后三角形的边长，分别有l1,l2,ln。当ln0时三人相聚。,42,当ln0时三人相遇于原正三角形ABC的中心，,此时有：,所以三人相遇时所需的时间为,每个演
20、员跑过的路程为：,即,解法2：如图所示，设t时刻三角形边长为x，经历一极短时间t后，边长变为 。,略去二阶小量后得到：,即,且,三人相遇所需时间为,每个演员跑过的路程为：,若四人从正方形顶点出发，情形又怎样？,答案,43,例：图中所示为用三根刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置，BC杆与CD杆都与水平方向成45角。已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此
21、时C点加速度的大小aC和方向（用与CD杆之间的夹角表示）。,解：B点绕A轴做圆周运动，其速度的大小为：,（1）,B点的向心加速度的大小为:,（2）,aB也是B点的加速度，其方向沿BA方向。,44,C点绕D轴做圆周运动，其速度的大小用vC表示，方向垂直于杆CD；,在考查的时刻，由图可知其方向沿杆BC方向。因BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，,（3）,（4）。,杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点法向加速度为：,由图可知,解(3)(4)式可得:,其方向沿CD方向。,（5）,下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度act。,45,BC是刚性杆，所以C点相对于B点的运动只
22、能是绕B的转动，C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC。,令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式，有：,由几何关系得：,（6）,由于C点绕B点做圆周运动，相对B点的向心加速度为:,（7）,因为,（8）,其方向垂直杆CD,由(2)式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为 :,（9）,46,所以C点相对A点（或D轴）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量:,说明：本题亦可通过微商求C点加速度。,（9）,（10）,C点的总加速度为C点绕D轴做圆周运动的法向加速度acn与切向加速度act的合加速度。,（11）,ac的方向与杆CD的夹角:,此时以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay轴与
23、AD垂直。任意时刻t，各杆的位置可用杆与水平方向的夹角表示，写出C点在Ax轴和Ay轴的坐标，将坐标对时间求二次导数，再根据三根杆的几何关系和初始条件可求出C点加速度。,47,4运动的合成,研究内容：对同一物体的运动，在不同的参照系下观察，它们的观察结果所满足的关系。,公式：,（式中 可为 ：),常用公式：,成立条件：长度的测量和时间的测量与时间无关，即只适用于低速的情况。,对于运动合成方面的题目，通常有两种解法：,(1)几何法 :可以把速度矢量、加速度矢量用闭合多边形表示，即利用矢量的平行四边形法则或三角形法则来求解运动合成问题。,(2)投影法,如，将 往直角坐标系投影,48,例：某人在火车站
24、台以初速率v0向上抛出一小球，其运动函数为： 。某火车在t=0时在x=0处，且以速度 ms-1匀速行驶，求在此火车上观察，小球的运动函数。,解：已知,例：一个人骑车以18km/h的速率自东向西行进时，看见雨点垂直下落，当他的速率增至36km/h时看见雨点与他前进的方向成120角下落，求雨点对地的速度。,解：利用几何法求,方向为向下偏西30,49,例：一半径为R的细圆环在地面上沿一直线作纯滚动（无滑滚动），已知环上某确定点P相对环心 以角速度作转动，而环心 以速度R向前运动。（1）计算P点的速度；（2）分析圆环上各点的运动情况。,解：（1）如图所示建立坐标系，地面坐标系的坐标原点取在P点与地面相
25、接触处，并将该时刻作为t=0时刻。,当P点与地面接触时其速度为零，,当P点在其它位置时，其速度大小为,50,因此P点在同地面接触时处于静止状态，,(2),可以证明：,即：,例：题目见物理学（从高考到奥赛）P16页例题10、习题17。,而在其它位置时，P点以角速度绕O点转动。O点是瞬时静止的点，称为瞬心。环上其它各点在此瞬时也都绕O点转动。,51,例：一个半径为R的环（环心为O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O1）以速度v从前一环的旁边经过。试求当两环环心相距为d（0d2R）时，两环上部的交点A的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一环擦过去的。,解法
26、1：用微元法求解,设两环心相距为d时刻的位置如图中的实线所示，自此时刻起，经历一段极短的时间t，因t很小，故图中的A、C、D三点是相距很近的。,可以近似地看成是与弦AC、DC重合的。,这段时间内，动环的位移可用AD表示，交点的位移可用弦AC表示，,其大小分别为：,52,式中vA为交点的移动速度。,以表示等腰AO1O2的底角，且视AC为一小段弦。,因A点速度的方向沿A点的切线方向，有：,由图易得,因C点在AD上的投影点一定在AD的中点，因此ADC为等腰三角形，,即,解以上两式得：,53,解法二：由速度的分解求解,由于交点的移动速度必沿不动圆环的切线方向。,另一方面，可以从水平方向来考察交点的运动
27、。,当交点由A移至C点时，由于交点在水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同。,在任何一段时间内此交点的水平位移总是环心O1水平位移的一半（即为图中AD长度的一半），,交点速度的水平分量为：,。,vA的方向与水平方向的夹角为,，,即,54,注：本题所用的两种解法是求解运动学问题时常用的方法。特别是微元法，更是物理学中分析和求解问题时常用的方法。,对于那些变化的量的研究，有一种方法是把全过程分为很多短暂的小过程或把研究对象的整体分解为很多微小的局部来考察，然后对这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论。,在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或处于某些状态来
28、进行研究，而在此过程中或状态之间，描述研究对象的物理量有可能是不变的，更多的则可能是变化的。,这些微小过程或微小局部常被称为“微元”，这种方法也就被称为“微元法”。,55,例（综合题）： 设湖岸MN为一直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成= 15角方向匀速向湖中央驶去。有一人自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度为v1=4m/s，在水中游泳的速度为v2=2m/s。试问船速至多为多少，此人才能追上船？,解法1：由等效法求解,如图所示，设人在B点刚好追上船，则人可能走很多途径，如:ACB，ADB，AEB等等。在这些路径中，费时最少者即对应着允许的最大船速。,如图，在
29、湖岸这边作NAP= 30 ，自C、D、E各点分别向AP引垂线CK、DH（设BDH刚好为一直线）和EF。,56,设想图中MN的下侧也变成是湖水区域，人按题给情况经路径ACB所用的时间和假想人全部在水中游过路径KCB等时（因为v1=2v2，AC=2KC） 。,同理，与上述的另两条实际路径等时的假想路径是HDB，F EB。,这些假想路径中，速度大小都一样，故通过的路径最短费时最小。,由以上分析知，人沿等效路径HDB刚好在B点追上船时，对应着允许船速的最大值，设其为v。,有：,由于AHB为等腰直角三角形且 NAP= 30,有：,57,解法2：由微元法求解,设人在B点刚好能追上船，且在人到达B点的各种实
30、际路径中，以自D处入水游泳所用的总时间最少。,若自D点左侧附近的某点C入水，必在D点右侧有一入水点E与之对应，使得C点和E点入水两种情况下刚好追到船所用的总时间相等。,在BC段上取BF=BE，则人走CE段和游CF段所用的时间相等，,当C点无限靠近D点时，E点必同时向D点靠拢，由图可见此时将近似有EFBC，,此时,即60,58,由于此时C点是无限靠近D点的，故BC与BD接近重合，BDN= 60 。,当人自某点入水沿与岸成角 60方向游泳刚好追到船时，此情况下对应的船速为人能追上船的最大允许速度，设其为v。,如图过相遇点B作BKBD交MN于K，因为 60 ，所以DK=2DB。,人游DB段与人走DK段的距离所用的时间相等。,人自出发到在B点追上船的时间等于他由A点走到K点的时间，,在ABK中有：,
