1、 Http:/凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：高中数学回归课本校本教材 25（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列） ，组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。由 4 个元素 a,b,c,d 排成的正方形数表 称为二阶矩阵。abcd2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵 A= ，与向量 的乘积为 = ；数a bcdxya bcdxya+bcd乘平面向量：设 ， 是任意一个实数，则 ；.平面向量
2、的加法：设 ， ，则xyxy 12数乘结合律： ；分配律： ； 二阶行矩乘法 =12xy()A()AA abcdefgh；复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）： ；如：已知ABC，A(1，0) ，aebgfhcd BB(3，0)，C(2，1)，对它先作关于 x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转 90分别求两次变换所对应的矩阵 M1，M2；求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标解 MM2 M1 C 坐标是(1， 2)说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺0 11 01 00 1 0 11 0序 M2 M1 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设 是一个线性变换，如果存在一个线性变换 ，使
3、得 ， （ 是 I恒等变换）则称变换 可逆，其中 是 的逆变换。逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵，使E，则称二阶矩阵是可逆矩阵，称是二阶矩阵的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，E。如：给定矩阵 M= ，N= 及向量 e1= ，e2= （）证明 M 和 N 互为逆矩阵；（）证明 e1213 2111和 e2 都是 M 特征向量4.特征值和特征向量： ,存在 和非零向量 满足 = ，即abAcdxyabcdxyaxbycd()0axbycd= ， ，则 =0。设 称为特征多项式，则 叫 A 的一个特征值，() y0() abcd() abfcd叫特征向量。用特征
4、值和特征向量定义求二阶矩阵的方法：如：已知二阶矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量为 ，属于特征值 3 的一个特征向量为 ，求矩阵 A解 设 A= ，由题知13 1 abcdabcd= ， =3 所以 A= 13abcd1210Http:/凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：5.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在 作用下均保持不变，称为10恒等变换阵。(2) 伸压变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍，这样的几何变换为伸1k2k缩变换 ；向量
5、在矩阵 的作用下变换为向量 ，也就是矩阵 把平面上1122 0kxyxy102A 2xy102A的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的 2 倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持 x 轴方向不变，而沿 y 轴方向拉长为原来的 2 倍的变换。(3) 反射变换：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 对称点 P的线性变换叫做关于直线 的反射；形l l如 矩阵将图形变为关于 Y 轴、关于 X 轴轴反射以及关于原点对称中心对称图形变换矩阵，1010成为反射变换。（4）旋转变换：矩阵 ，逆时针旋转 90 度 ，顺时针旋转 90 度 如：已知曲线 ：cosini01 01C（1）将曲线 绕坐标原点逆时针
6、旋转 后，求得到的曲线 的方程；（2）求曲线 的焦点坐标和xyC045C渐近线方程. ；由（1）知，只须把曲线 的焦点、渐近线绕坐标原点顺时2xyy2xyx针旋转 后，即可得到曲线 的焦点坐标和渐近线方程。曲线 的焦点坐标是 ，渐近045 2 (0,2),线方程 ，矩阵变换后，曲线 的焦点坐标是 。而把直线 要原点顺时针旋转xyC(2,)(,y恰为 轴与 轴，因此曲线 的渐近线方程为 和 。0 0xy（5）投影变换：定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 上的投影 P（即垂足） ，这个变换称为关于直l线 的投影变换 ，点 投影到 X 轴上，横坐标不变，纵坐标为 0. ，点 投影l10xyxy
7、 10xyxy到 y=x 上； ；1203M2491x（6）切变换定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移 个单位，称为平行于 x 轴的切变变ky换。将每一点 P（x,y）沿着与 y 轴平行的方向平移 个单位，称为平行于 y 轴的切变变换；如：设矩阵k对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长 3 倍，再将纵坐标伸长 2 倍的两个伸压变换的复合，求M其逆矩阵 以及圆 在 的作用下的新曲线的方程 121x1M （二）基本计算1. 的计算: 一般地 ， 。 意义表示旋转变换， 逆时针连续逆nANncosiniA nA时针旋转 度；Http:/凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京
8、市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815 Mail：如：设 A= ，则 A6= 。 ；归纳猜想：设矩阵 A （a0） （1）求2 - 6cos-in0 14-i 1 a0 1A2 ，A3；（2）猜想 An（nN*） ；解 （1）A2 ，A3 ；（2）An （nN*） ；如：1 2a0 1 1 3a0 1 1 na0 1M= ，向量 求 ： M3 ；如：已知 M= ，试计算 答案矩阵15 3163M4 35386 -3,20MM 的特征多次式为 ，特征向量分别为 和 ，而 ，所以2()40,f12,11；设数列 满足 ，且满足 ，试求二0202021133,nab1
9、32,nnab12nb4nnab阶矩阵 解： ，则 1nnaabb4MA290483062.求逆矩阵常见的方法：E（1）用待定系数法求逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵 ，abcdE；（2）公式法： ，记为：detA，有 ，当且仅当 detA= 0；abcdc1detbAca adbc（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1B1A1 。3. 变换前后的曲线方程：坐标转移法；求变换前的曲线方程：坐标转移法；求变换矩阵：根据特殊点坐标变换待定系数法 如：设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ，求圆 在此伸缩变换下的方程，并指出变换后的32XxYy216y方程表示什么曲线.解：由 可得
10、 ，代入圆的方程得 ，即 ，它表示中心在原点、焦点在32XxYy132XY21694XY2146XY轴上的椭圆. 如：已知向量 ),5(OA, 将 绕原点按逆时针方向旋转 90得到 OB,则与 同向的单位向量x是_15(,)34 利用逆矩阵解方程组的步骤： 可以表示成 = ，简写成 ,axbmcdynabcdxymnAXB111AXBA如：设 A= ，试解方程 AX=B。答案：由已知 ，X= ，即2 4,53xXBy 13 -52A13 -4152AB12xy行列式解方程： ，xyD,.xyabmaDcdncnHttp:/凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 80
11、8 室联系电话：025-83657815 Mail：5.求特征向量和特征值的步骤： （1） =0；（2）解 ；（3）() )abfcd()0()0axbyaxbycd取 或者 ；1xy6. ,如何求 的步骤， 是一个特征向量： ， , ,依此，MabcdnMMM22M。n7.如何求 的步骤： （1）求 ，即 M 的特征值 和特征向量 ；（2）用特征向量 线性n 12,表示向量 ，即 是常数，但一般不是 ；（3）代入 = ,因xy12,mn12,12()Mmn12Mn为 ， = ，依此， = ；如：矩阵 M= ，向量 1M212Mn12nnM12nnm-523= 求 M3 ：M3 = M3（3 1+ 2）=3 M3 1+ M3 2 =3 13 1+ 23 2=343 +（-2 ）6 153 = ；-210895
