1、空间几何体 02解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，ABBB 1BC，AC 1平面 A1BD，D 为AC 的中点(1)求证：B 1C平面 A1BD；(2)求证：B 1C1平面 ABB1A1；(3)在 CC1上是否存在一点 E，使得BA 1E45，若存在，试确定 E 的位置，并判断平面 A1BD 与平面 BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由【答案】(1)连结 AB1与 A1B 相交于 M，则 M 为 A1B 的中点连结 MD，又 D 为 AC 的中点，B 1CMD，又 B1C平面 A1BD，MD 平
2、面 A1BD，B 1C平面 A1BD.(2)ABB 1B，平行四边形 ABB1A1为正方形，A 1BAB 1.又AC 1平面 A1BD，AC 1A 1B，A 1B平面 AB1C1，A 1BB 1C1.又在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，BB 1B 1C1，B 1C1平面 ABB1A1.(3)设 ABa，CEx，B 1C1A 1B1，在 RtA 1B1C1中有 A1C1 a，同理 A1B12a，2C 1Eax，A 1E ，BE ，2a2 (a x)2 x2 3a2 2ax a2 x2在A 1BE 中，由余弦定理得BE2A 1B2A 1E22A 1BA1Ecos45，即a2x 22a 2x 23
3、a 22ax2 a ，2 3a2 x2 2ax22 2ax，3a2 x2 2axx a，即 E 是 C1C 的中点，12D、E 分别为 AC、C 1C 的中点，DEAC 1.AC 1平面 A1BD，DE平面 A1BD.又 DE平面 BDE，平面 A1BD平面 BDE.2如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90 0.M 为 AB 的中点(1）求证：BC/平面 PMD(2）求证：PCBC；(3）求点 A 到平面 PBC 的距离.【答案】 （1）因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC.由BCD=90 0，得 B
4、CDC.又 PDC，PD平面 PCD， C平面 PCD，所以 BC平面 PCD.因为 平面 PCD，所以 PCBC.(2）如图，连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离 h.因为 ABDC，BCD=90 0，所以ABC=90 0.从而由 AB=2，BC=1，得 B的面积 12ABCS.由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P的体积 1.33ABCVSPD因为 PD平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PDDC. 又 PD=DC=1，所以 2.由 PCBC，BC=1，得 B的面积 2PBCS.由 1PBCh，得2h.因此点 A 到平面 PBC 的距离为 .3如图，在四面体 A
5、BCD中， ， BDA，点 E， F分别是 AB，BD的中点(1)求证：平面 EFC平面 BD；(2)若平面 AB平面 ，且 1BCA， 求三棱锥 D的体积【答案】 (1) EF， 分别是 D， 的中点, A.又 DB， B. C， . FE， 面 EFC. B面 ，平面 平面 BD.(2) 面 AD面 ，且 A, 面 C.由 1和 ，得 C是正三角形. 所以 432SBCD. 所以 1ABV . 4如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为 PC 的中点.(I）求证：ADPC；(II）求三棱锥 P-ADE 的体积；(III）在线
6、段 AC 上是否存在一点 M，使得 PA/平面 EDM，若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】 （I）因为 PD平面 ABCD.所以 PDAD.又因为 ABCD 是矩形，所以 ADCD.因为 ,DCP所以 AD平面 PCD.又因为 平面 PCD，所以 ADPC.(II）因为 AD平面 PCD，V P-ADE=VA-PDE，所以 AD 是三棱锥 APDE 的高.因为 E 为 PC 的中点，且 PD=DC=4，所以 .42121APDCPS又 AD=2，所以 .383PDEPDEAV(III）取 AC 中点 M，连结 EM、DM，因为 E 为 PC 的中点，M 是 AC 的中点，
7、所以 EM/PA，又因为 EM平面 EDM，PA 平面 EDM，所以 PA/平面 EDM.所以 .521AC即在 AC 边上存在一点 M，使得 PA/平面 EDM，AM 的长为 5.5如图，直三棱柱 -AB， =90AC， =BA，点 ,MN分别为AB和 C的中点(1）证明： /MNAC平 面 ；(2）若二面角 -为直二面角，求 的值【答案】 （1）连结 ,B，由已知 =90,BAC三棱柱 为直三棱柱，所以 为 中点.又因为 为 中点所以 /A，又 平面 C平面 ，因此 /N平 面 (2）以 为坐标原点，分别以直线 ,AB为 x轴， y轴， z轴建立直角坐标系-Oxyz，如图所示设 =1,A则
8、 BC，于是 0,0,0,1,0,1ABC，所以 ,122MN，设 =mxyz是平面 AMN的法向量，由 =0,mAMN得1-=02+xzy，可取 1,-m设 2,nxyz是平面 C的法向量，由 =0,CMNA得22-=01+xzy，可取 -3,1n因为 -为直二面角，所以 2,-+-=0mA即 ，解得 26在如图的多面体中， EF平面 B， E, /ADF， /EBC，24BCAD， 3， 2， G是 C的中点() 求证： /AB平面 DEG；() 求证： ；() 求二面角 CF的余弦值. 【答案】()证明： /,/BC， /AD.又 2BCAD,G是 BC的中点， /，四边形 是平行四边形
9、， /. AB平面 DEG， 平面 DEG， /AB平面 DEG. () 解法 1证明： F平面 ， A平面 EB， E， 又 ,ABE， ,F平面 C， 平面 C. 过 D作 /H交 于 ，则 DH平面 BE. EG平面 BFE， G. /,/AA，四边形 A平行四边形， 2， EHBG，又 /,EHBGE，四边形 为正方形， ， 又 ,BD平面 D， 平面 BHD, EG平面 H. 平面 , BD. 解法 2 EF平面 A， E平面 AB， E平面 AB， ， ，又 B, 两两垂直. 以点 E 为坐标原点， ,EFA分别为 ,xyz轴建立如图的空间直角坐标系 .由已知得， A（0，0，2） ， B（2，0，0） ，C（2，4，0） ， F（0，3，0） ， D（0，2，2） ，G（2，2，0）. (,)E， (,)， 20BD, . ()由已知得 (,)E是平面 EFDA的法向量.设平面 DCF的法向量为 (,)xyzn， (0,12)(,0)FC， 0n，即 20，令 ,得 ,n. 设二面角 E的大小为 ，则 26cos,Bn，二面角 CDFE的余弦值为 .6
