1、2015-2016 学年福建省福州市连江县尚德中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 z=3+ ，则 =（ ）A3i B2 3i C3+i D2+3i2已知条件 p：|x 4|6；条件 q：（x 1） 2m20（m0），若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是（ ）A21，+ ） B9，+） C19，+） D（2015 秋菏泽期末）已知函数f（x）= ，则函数 y=f（x）+x 4 的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D44曲线 y= 在点（4，e 2）
2、处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A B4e 2 C2e 2 De 25设a n是公差不为零的等差数列，满足 ，则该数列的前 10 项和等于（ ）A10 B 5 C0 D56函数 y= 的图象大致为（ ）A B C D7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A16+8 B8+8 C16+16 D8+168若 （ ， ）且 3cos2=4sin（ ），则 sin2 的值为（ ）A B C D9如果实数 x、y 满足关系 ，则（x2） 2+y2 的最小值是（ ）A2 B4 C D10如图，阴影部分的面积是（ ）A2 B 2 C D11已知函数 f（x）对定义域 R 内的任意 x
3、都有 f（x）=f（4x），且当 x2 时其导函数 f（x）满足xf（x）2f （x），若 2a4 则（ ）Af（2 a）f（3）f（log 2a） Bf（3）f（log 2a）f（2 a）Cf（log 2a） f（3）f（2 a） Df （log 2a）f （2 a）f（3）12已知函数 f（x）=ln（x+2） ，（a 为常数且 a0），若 f（x）在 x0 处取得极值，且 x0e+2，e 2+2，而 f（x）0 在e+2，e 2+2上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）Aae 4+2e2 Bae 4+2e2 Ca e2+2e Dae 2+2e二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，
4、共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置13若 ， 均为非零向量，且（ 2 ） ，（ 2 ） ，则向量 ， 的夹角为 14将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y=sinx 的图象，则 = 15经过点 P（3， 1），且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是 16等比数列a n的公比为 q，其前 n 项积为 Tn，并且满足条件 ，给出下列结论：0q1； a99a10110； T100 的值是 Tn 中最大的；使 Tn1 成立的最大自然数n 等于 198其中正确的结论是 三、解答题：（70 分）17已知等差数列a n
5、满足： a2+a4=6，a 6=S3，其中 Sn 为数列 an的前 n 项和（）求数列a n的通项公式；（）若 kN*，b n为等比数列且 b1=ak，b 2=a3k，b 3=S2k，求数列a nbn的前 n 项和 Tn18如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB，AB=AA 1，BAA 1=60（）证明 ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值19在ABC 中，a ，b，c 分别为角 A、B 、C 的对边，4sin 2 cos2B= （1）求 cosB；（2）若 AB=2，点 D 是线段 AC 中点，且 BD=
6、 ，若角 B 大于 60，求DBC 的面积20如图，定点 A，B 的坐标分别为 A（0，27），B （0，3），一质点 C 从原点出发，始终沿 x 轴的正方向运动，已知第 1 分钟内，质点 C 运动了 1 个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了 2 个单位，记第n 分钟内质点运动了 an 个单位，此时质点的位置为（C n，0）（）求 an，C n 的表达式；并求数列 的前 n 项和 Sn（）当 n 为何值时，tan ACnB 取得最大，最大值为多少？21已知函数 f（x）=2lnx x2+ax（a R）（1）若函数 f（x）的图象在 x=2 处切线的斜率为 1，且不等式 f（x）2x+m 在
7、 上有解，求实数 m 的取值范围；（2）若函数 f（x）的图象与 x 轴有两个不同的交点 A（ x1，0），B （x 2，0），且 0x 1x 2，求证：（其中 f（x）是 f（x）的导函数）请考生在第 22、23 题中任选一题作答，在答题卡要写上把所选题目的题号（2009 辽宁）在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（ ）=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23=|x 1|+|x
8、a|（1）若 a=1，解不等式 f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求 a 的取值范围2015-2016 学年福建省福州市连江县尚德中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 z=3+ ，则 =（ ）A3i B2 3i C3+i D2+3i【分析】直接利用复数的除法运算法则化简复数，然后求出共轭复数【解答】解：复数 z=3+ =3+ =3+ =3i复数的共轭复数为：3+i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题2
9、已知条件 p：|x 4|6；条件 q：（x 1） 2m20（m0），若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是（ ）A21，+ ） B9，+） C19，+） D 2m20（m0）的解集 Q，满足PQ，构造不等式组，解不等式组即可得到答案【解答】解：由已知，P： 2x10，q：1mx1+m，因为 p 是 q 的充分不必要条件，则2，101m ，1+m，即 ，故选 B【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真
10、命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“ 谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系3已知函数 f（x）= ，则函数 y=f（x）+x 4 的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由题意，判断此函数的零点个数可转化为两个函数 y=x+4，与 y=f（x）的交点个数，结合两个函数的图象得出两函数图象的交点个数，即可得到原函数零点的个数【解答】解：函数 y=f（x）+x4 的零点即是函数 y=x+4 与 y=f（x）的交点的横坐标，由图知
11、，函数 y=x+4 与 y=f（x）的图象有两个交点故函数 y=f（x）+x 4 的零点有 2 个故选：B【点评】本题考查函数的零点的定义及其个数的判断，解题的关键是理解函数的零点定义，依据定义将求零点个数的问题转化为两个函数交点个数的问题4曲线 y= 在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A B4e 2 C2e 2 De 2【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与 x 轴，与 y 轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【解答】解：曲线 y= ，y= ，切线过点（4，e 2）f（ x）| x=4= e2，切线方程为：y e2= e2（x4 ），令 y=0，得 x=
12、2，与 x 轴的交点为：（2，0），令 x=0，y= e2，与 y 轴的交点为：（0， e2），曲线 y= 在点（ 4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积 s= 2|e2|=e2，故选 D【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线 y= 能够正确求导，此题是一道基础题5设a n是公差不为零的等差数列，满足 ，则该数列的前 10 项和等于（ ）A10 B 5 C0 D5【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到 a1+a10=0，则可求得数列的前10 项和等于 0【解答】解：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d（d0），由 ，得 ，整
13、理得：2a 1+9d=0，即 a1+a10=0， 故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础的计算题6函数 y= 的图象大致为（ ）A B C D【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可【解答】解：由 lnx0 得，x0 且 x1，当 0x1 时，lnx0，此时 y0，排除 B，C，函数的导数 f（ x）= ，由 f（x）0 得 lnx1，即 xe 此时函数单调递增，由 f（x）0 得 lnx1 且 x1，即 0x1 或 1xe ，此时函数单调递减，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，
14、利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A16+8 B8+8 C16+16 D8+16【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为 2，高为 4，半圆柱的体积为： 224=8；长方体的长宽高分别为 4，2，2，长方体的体积为 422=16，该几何体的体积为 V=16+8故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目8若
15、 （ ， ）且 3cos2=4sin（ ），则 sin2 的值为（ ）A B C D【分析】由条件化简可得 3（cos +sin）=2 ，平方可得 1+sin2= ，从而解得 sin2 的值【解答】解：（ ，），且 3cos2=4sin（ ），3（ cos2sin2）=4（ cos sin），化简可得：3（cos+sin ）=2 ，平方可得 1+sin2= ，解得：sin2 = ，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题9如果实数 x、y 满足关系 ，则（x2） 2+y2 的最小值是（ ）A2 B4 C D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定（x2） 2+y2 的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 z=（x 2） 2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到点 D（2，0）的距离的平方，由图象知，当以 D 为圆心的圆和直线 AB：x y=0 相切时，此时区域内的点到 D 的距离最小，此时最小值 d= = ，则 x2） 2+y2 的最小值 z=d2=2，故选：A
