极限、复数、立体几何.docx

1、6.6 数列极限复习目标1. 理解数列极限的含义和四则运算成立的条件.2. 熟练掌握基本极限公式和基本极限题型的解法.3. 熟练掌握无穷递缩等比数列前 n 项和的极限公式及存在条件.概念梳理1.数列极限的定义 lim.nn nnnaANaAAa对 于 无 穷 数 列 ， 若 存 在 一 个 常 数 ， 无 论 预 先 指 定 多 么 小 的 正 数 ,都 能 在 数 列 中 找 到 一 项 使 得 当 时 ， 总 有 成 立 ， 则 称常 数 为 数 列 的 极 限 ， 记 作2.极限的运算法则 ,102lili. nnbbBa若 数 列 、 都 有 极 限 ， 那 么它 们 和 差 ， 乘

2、积 ， 商 都 有 极 限 ；3.几个常用极限*1,lim.1203,li.4 .15lim0.nnnnCaaACAN对 于 数 列 有对 于 数 列 有对 于 数 列 有若 极 限 是 则4.无穷等比数列前 n 项和的极限 11lili.0nnqSq当 时 ,无 穷 等 比 数 列 前 项 和 :基础训练2222221.1,lim_lim_.()3.10,.14li()()()_.455. ()136nn nnn aaSannS N A设 等 比 数 列 为 ， ， 4， 8， ， 其 前 项 和 为 则已 知 则若 11 121,lim_.6.lim,_.374,lglg,3,2,lim_

3、.8.1,li .901 nnnn nnnn SaaabbNb A则若 则已 知 数 列 是 正 整 数 组 成 的 数 列 ， 且 满 足其 中 且 则若 常 数 满 足 则 2121112.340.89_,()(),lim_.nnnnnaaSaSAAA已 知 非 常 数 数 列 满 足则综合训练 31 21.li(2)0,0,1).0,).(0,1.3,lim.2.2.6.613.nnn nnnxxABCDSa Sa 若 则 实 数 的 取 值 范 围 是 （ ） 已 知 无 穷 等 比 数 列 中 ， 前 项 的 和 为 且 则 等 于 （ ） . 在 等 比 数 列 中 ， 112,

4、li,.(,).(,4).(,2).(,2)141lim,11.0.0,.,.0,222nnnn nSaABCDSaqSPxPAB前 项 的 和 为 满 足 那 么 的 取 值 范围 是 （ ） 已 知 无 穷 等 比 数 列 的 公 比 前 项 和 为 若 集 合则 为 （ ） 115.(),lim1.6rnnnnaSaSr设 数 列 前 项 之 和 求 能 使 成 立 的 的 取 值 范 围16.(1),12.()12,lim.(5)nnnnn nnnnaSbccTb已 知 数 列 的 前 项 和 其 中 是 首 项 为 ， 公 差 为 的 等 差 数 列求 数 列 的 通 项 公 式 ；

5、若 求 数 列 的 前 项 和 及 1117.2, 0,1.()2lim.nnnnSaakSnk设 为 数 列 的 前 项 和 ， 这 里 为 正 整 数 ， 且求 证 ： 数 列 从 第 项 起 为 等 比 数 列 ；求能力提高 1218. 1(1) .lim,. nnn dAr GSGASdr两 个 数 列 ： 首 项 为 ， 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 其 前 项 和 为 ； 首 项 为 ，公 比 为 的 等 比 数 列 ， 其 前 项 和 为 设 ， 已 知求 和 的 值 112122112()19.,(0), , .2()23, ,lim, .nn nnn nnnn aapS

6、aSbbbbSppp 已 知 数 列 有 并 满 足求 的 值 ；求 的 通 项 公 式 ；对 于 数 列 假 如 存 在 一 个 常 数 使 得 对 任 意 的 正 整 数 有 且 则 称为 的 “上 渐 进 值 ”， 令 求 数 列 的 “上 渐 进 值 ”224120.0, ().8(1)(1)(),lim.nnnnannnnnaSabttTbT 已 知 数 列 中 前 项 和 满 足求 证 ： 数 列 是 等 差 数 列 ；若 数 列 满 足 ， 为 数 列 的 前 项 和 求第 11 章 复数考点归纳重点在复数的计算；复数的几何意义以及以几何意义为核心而形成的数形结合的题目；复数方程

7、。11.1 复数的概念复习目标1. 掌握虚数单位 满足i 24142431,nnniiiiZ及2. 掌握什么是虚数、纯虚数及实部、虚部、共轭等3. 掌握两个复数相等的充要条件4. 掌握复数 可用复平面上的点 表示，它的模,zabiR,zab2概念梳理1. 虚数单位 2:1i2. 复数的代数形式与复数的分类1) 形如 的数叫做复数， 叫做复数 的实部，,zabiRa,biaR记做 Rez， 叫做复数的虚部，记做 Imz。2) 虚数 ；纯虚数 ；实数00ab且 03. 实数之间可以比较互相之间的大小，虚数则不可以。4. 复数相等的充要条件： , abcdRicdi若 则1) 这一充要条件是复数中的

8、重点，常在涉及到方程的题中运用；2) 复数在方程中一般会以“ ”的形式出现，这时要先设z，再将等式的实部与虚部分开，最后再利用这一条件,zabiR列出方程组。5. 共轭复数1) 将 称为 的共轭复数，并记,abizabizabi2) ，结果是一个实数22z zA3)6. 复数的模1) ，记 为复数 的模。,abR2zabzabi2) 121nnzN 3) 21212A基础训练1. 22 4,azaiabR是 复 数 为 纯 虚 数 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C充要条件 D.既非充分又非必要条件2.下面四个不等式中，其中正确的是 ( )A. B. 32i2314iiC. D. 4

9、i 03.符合条件 的复数 对应的点在 ( )102zizA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知 ，若 ，则 满足 ( )zC22|1MzzMA B C DR虚 数 RC5.虚数 其中 均为实数，当此虚数的模为 1 时， 的取值范围是( )2xyi,x yxA. B. 3,3,0,C. D. ,6.复数 是纯虚数的一个充要条件是 ( )zA. B. C. D. 0z1z0z7.设 ，则下列命题中是真命题的是 ( )zCA. B. C. D. 2,z若 则 2z2,2zz若 则8.如果复数 是实数，则实数 =_1miim9. ,已知复数 的取值范围是aR23azi所 对 应

10、 的 点 在 第 二 象 限 ， 则 a_.10.设 和 是共轭复数 ，则 =_ ，34xyi60xy,xyRx_11.已知 ，则 是 的_条件.12,zabizcdi,acbd12z12.设 ,且 ，则 的最大值是_C综合训练13.设复数 ，问当实数 取何值时，22736zmmim1) R2) 是纯虚数3) 对应的点在复平面的第四象限z14.已知复数 满足 :z134i1) 求复数 的共轭复数 z2) 若 ，求实数 的取值范围。,zai且 a15.已知 分别为(1)实数；(2)虚121,12xaiRazxi且 若数；(3)纯虚数；(4)对应的点在第二象限时，求 取值范围.a16.(1)设 ，

11、试讨论 之间的相等关系；zC22,z(2)已知 为虚数，求 的充要条件是 纯虚数；11z(3)设 且 ，求复数 ；4zR2z(4)已知 ，求 。1023iiz17.若复数 满足 ，求证： 必为纯虚数。z2210nnzNz能力提高18.设复数 满足 ，求 的值和 的z 423,sincoz Rz取值范围。19. (1)若 且 ，则zC31zi为 虚 数 单 位 _z(2)已知复数 ，求 的最大值和最小值12cos,sin12(3)已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，z125,zzaii，若 ，求 的取值范围。aR12a521 .2izizi20.证 明 ： 在 复 数 范 围 内 ,方 程 为

12、虚 数 单 位 无 解上海新东方优能个性化 数学教研组 1111.2 复数的运算复习目标1. 熟练复数的四则运算2. 熟练复数的乘方3. 掌握共轭复数的性质4. 掌握复数模的性质概念梳理1. 复数的四则运算、乘方运算1) 加减法 abicdiacbdi2) 乘法 3) 除法 22iicdcd(以上 )并且复数加法、乘法满足交换律和结合律；同时乘法,abR对加法的分配律也满足。4) 乘方 个复数 的乘积记做 ，当 时，规定：nznz001,.zz如果 ，则(1) (2) (3) *,0mNmnzAmn(4)1212zznz2.复数模与共轭复数的运算性质1) 复数模的运算性质a) ，z2zAb)

13、，1212 120zc) 1zz2) 共轭复数的运算性质a) zb) 1212z上海新东方优能个性化 数学教研组 12c) ， 1212zz120z3.复数的平方根如果复数 和 满足： ，称 是abicdi,abR2abicdiabi的一个平方根；cdi4.复数的立方根：如复数 满足 ，称 是 的立方根。12,z312z1z25.共轭虚根定理如果虚数 是实系数一元 次方程zn的根，那么 也是这110012,nn naxaxaR z个方程的根。一般地，一元次方程在复数范围内总有个复数根。6.复数的向量表示设复数 在复平面内对应的点为 ， 为坐标原点，那么向,zabiRZO量 表示复数 ，零向量表

14、示复数 0，复数集 与复平面以原OZ C点为起点的向量所构成的集合一一对应。相等的向量表示同一复数，即与 相等的向量 可以进行平移，使得OZAB对应的复数为 .ABz7.向量的模向量 的模也叫做复数 的模，记做 .OZ,abiR2OZab基础训练1. ,则 等于( )12,3,5fzizi12fzA. B. C. D. 34i44i2.已知 是方程 的根， 则下列哪个必是方程xuv20axbic,uvabcR的根 ( )A. B. C. D. iviii3.已知 ，则方程 的解是_zC31z4.设 ，则3612ii_上海新东方优能个性化 数学教研组 135.设 ，则10243iiz_z6.方程

15、 在复平面上确定的曲线可以是_2iaR7.已知 ，设 ，则 的取值范围为_1z1zi8.若复数 满足 ，则 =_是 虚 数 单 位 z9.若复数 同时满足 ，则 =_z2,zizi为 虚 数 单 位10.对于非零实数 ，以下四个命题都成立：,ab(1) ; (2) ;1022abab(3)若 ，则 ；(4)若 ，则 。ab那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题所有的序号是_,综合训练11.在复数范围内解方程 232iz为 虚 数 单 位12.已知复数 满足 ，其中 为虚数单位 ，若1z125,izizaiiaR，求 的取值范围。 12za13.已知 ，求 的最大值和最小值。12cos,sinzz

16、12z上海新东方优能个性化 数学教研组 1414.(1)计算：351122ii(2)已知 ，求12,zizi312z(3)设 ，当 时，求 的最大值和最小值。,xyRxy15.设向量 对应的复数22log3,logOZmmR z(1) 若 在虚轴上，求实数 的值及 OZ(2) 若 在第二象限内移动，求 的取值范围；(3) 若 的终点 在直线 上，求 的值。Z210xy16.(1)已知关于 的实系数方程 有一个模为 1 的虚根，求实x2230xk数 的值；k(2)复平面 两点分别对应 1 和 ，复数 在线段 上移动，求 对应的,ABizAB2z上海新东方优能个性化 数学教研组 15轨迹。能力提高

17、17.(1)已知 ，求证 ；12,zC2222111zzz(2)已知 ，求 。,3,0kzrnr 12nzz18.设关于 的方程 至少有一个根的模等于 1，求实数 的范x2230axa围。19.已知 ，且 ，求12,zC1212,5,4zz12z上海新东方优能个性化 数学教研组 1620.证明：在复数范围内，方程 无解。2251()izizi为 虚 数 单 位上海新东方优能个性化 数学教研组 17第 12 章 空间直线与平面考点归纳数学研究的对象是数量关系和空间形式，其中“空间形式”主要是由立体几何研究的，所以从某种意义上来说，立体几何在中学数学中占有“半壁江山” 。本章内容是立体几何的基础，

18、在上海近五年的高考中，立体几何作为重要考点，题型覆盖选择、填空和解答，通常属于中等难度题，其中空间角和空间距离的计算、空间直线与平面位置关系的判定被列为考查重点。12.1 平面的基本性质复习目标1.学会归纳平面基本性质，并利用性质证明相关推论2.掌握确定平面的方法3.掌握三条公理及其推论概念梳理1.平面的基本概念（1）平面的特点 无限延伸.（2）平面的表示方法 希腊字母写在代表平面的平行四边形的一个角上.2.平面的基本性质（1）公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过这个点的公共直线.（

19、3）公理 3 经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面.推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且仅有一个平面.推论 2 过两条相交直线，有且仅有一个平面.推论 3 过两条平行直线，有且仅有一个平面.基础训练上海新东方优能个性化 数学教研组 18平 面 图 形对 角 线 相 交 的 四 边 形 是 菱 形四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 四 边 形 是 平 行 四 边 形两 组 对 角 线 分 别 相 等 的 边 形 是 平 行 四 边 形两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 ）（确 的 是在 空 间 中 ， 下 列 命 题 正.1DCBA既 非 充 分 有 非 必 要 条 件充

20、 要 条 件 必 要 非 充 分 条 件充 分 非 必 要 条 件 ）（在 同 一 平 面 上 ”的 个 点同 一 直 线 上 ”是 “这 四“这 四 个 点 中 有 三 点 在若 空 间 中 有 四 个 点 ， 则 2DCBA1.31.3.41.3 DCBA或或或 ）（平 面 个 数 是 点 的线 ， 那 么 经 过 其 中 三 个其 中 任 意 三 个 点 都 不 共空 间 中 有 四 个 点 ， 如 果 ）（确 的 是的 中 点 ， 则 下 列 结 论 正、 分 别 是 棱、中 ， 在 正 方 体如 图 111C NMHGFEBA异 面和异 面 ，和直 线 异 面和相 交 ，和直 线 相

21、 交和平 行 ，和直 线相 交和平 行 ，和直 线 EFMNEFGHDB图 12-1-1 ._.5， 依 据 是 三 点 必 定、平 面 的 公 共 点 ， 则三 点 都 是 两 个 不 重 合 的、若 CBACBA ._6其 中 真 命 题 的 个 数 是也 共 面和则 共 面 ，和共 面 ，和如 果也 异 面 ； 和异 面 ， 则和异 面 ，和如 果 ；， 则，如 果； ， 则，如 果也 相 交 ； 和 相 交 ， 则和相 交 ，和如 果命 题 ： 是 空 间 三 条 直 线 ， 下 列、设 ca cbacacb a7 条们 的 交 线 条 数 是三 个 平 面 两 两 相 交 ， 它8

22、个确 定 平 面 的 个 数 是共 点 的 四 条 直 线 最 多 能 ._ _.9部 分平 面 将 空 间 分 成 部 分 ， 三 个分 成部 分 ， 两 个 平 面 将 空 间一 个 平 面 将 空 间 分 成A BCDA1 B1C1D1GHNE FM上海新东方优能个性化 数学教研组 19._.10 个 平 面线 可 以 确 定个 平 面 ， 共 点 的 三 条 直确 定 平 行 ， 但 不 共 面 ， 可个 平 面 ， 三 条 直 线 两 两不 共 面 的 四 点 可 以 确 定 一 定 是四 边 形 的 中 点 ， 则、的 边分 别 是 空 间 四 边 形、设 EFGHDACBACD.

23、_.12 2EHFbBDACaG， 则， 的 中 点 ， 若、分 别 是、中 ，在 空 间 四 边 形综合训练 .213. 1体 的 截 面画 出 经 过 这 三 点 的 正 方 分 别 是 棱 上 的 点 ， 试、， 已 知 正 方 形如 图 GFDCBAA BCDA1 B1C1D1EG图 12-1-2内 ， 试 分 别 画 出 ：在 平 面 上 ，、分 别 在 棱、中 ， 已 知， 在 四 面 体如 图 ABCS CDAPNMBCD31.4上海新东方优能个性化 数学教研组 20的 交 点和 平 面） 画 出 直 线（ 的 交 线与 平 面） 画 出 平 面（ 的 截 面的 平 面 截 四

24、面 体、） 过 点（ MNPSDSABCDA321ABCDMNPS图 12-1-3151 111共 线、点 ， 求 证 ： 点 交 于，点 ，交 于和 平 面中 ， 对 角 线正 方 体 MOCM BDAOBDCABA .413.6 在 同 一 直 线 上、， 求 证 ：交 于 点和上 的 点 ， 且 直 线 、的 边分 别 是 空 间 四 边 形、， 已 知如 图 PDBPGHEFCD CBADACAB CEFGHDP图 12-1-4上海新东方优能个性化 数学教研组 21. 90.17四 点 共 面、证 ： ， 求是 空 间 四 点 ， 且、已 知 DCBA DABCBA18 111三 线

25、共 点 、中 点 ， 求 证 ：是中 点 ，是中 ，正 方 体DA FDCEAFBEDCBA能力提高 19 在 同 一 平 面 内过 同 一 点 的 四 条 直 线 必求 证 ： 两 两 相 交 而 不 通上海新东方优能个性化 数学教研组 22. 21.20 11 11三 点 共 线、点 ， 则于 交 平 面） 若四 点 共 面 ； （、）， 求 证 ： （， 的 中 点 ，、分 别 为、中 ，已 知 正 方 体 RQPRDBFE CAEFBDCA BDBCCA 上海新东方优能个性化 数学教研组 2312.2 空间直线的位置关系复习目标1.理解空间直线的各种位置关系2.掌握异面直线的定义，会用

26、反证法证明两条直线的异面关系3.理解异面直线所成角及距离，掌握异面直线所成角求法概念梳理1.空间两条不重合直线的位置关系（1）位置关系 平行、相交、异面.（2）平行直线 同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线.公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行.等角定理 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等或互补.（3）异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线.2.空间角和空间距离（1）异面直线所成角 在空间任意取一点，分别作这两条异面直线的平行线所得到的两条相交直线所成

27、的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角(0,90 0.求解 选取某一特殊点，通过平移，求出异面直线所成角.（2）异面直线间距离 两条异面直线之间的公垂线段的长度.公垂线 和两条异面直线都垂直相交的直线.求解 公垂线法 找出两异面直线的公垂线，再计算公垂线长度.线面平行法 过其中一直线作和另一直线平行的平面，则异面直线的距离转化为线到面的距离.面面平行法 作出过两异面直线的两个平行平面，则异面直线的距离转化为两平上海新东方优能个性化 数学教研组 24行平面间距离.基础训练 异 面 或 平 行异 面平 行相 交 ）（的 位 置 关 系与， 那 么 的 公 垂 线 ， 如 果、是， 且， 已 知是 两

28、 两 异 面 的 三 条 直 线、设 .1DCBAdcac badbab ）（上 述 结 论 中 ， 正 确 的 是 成 立， 且， 能 使不 存 在 平 面平 面，平 面 ， 且平 面，平 面不 平 行 于， 且 是 指是 异 面 直 线， “2DCBA baba ba 197.5.19.7.60 463 或 ）（中 点 的 距 离 等 于， 则 这 四 边 形 两 组 对 边为 ， 它 们 所 成 的 角和的 长 分 别 为与的 两 条 对 角 线空 间 四 边 形 BA120,6.0,3.()90,3.90,3.64 0DCBA balba ）（的 取 值 范 围 是 ， 则所 成 的

29、角 都 是、与， 直 线所 成 的 角 为、已 知 两 条 异 面 直 线 ._5对异 面 直 线 体 的 十 二 条 棱 中 ， 共 有“一 对 ”， 那 么 在 正 方如 果 两 条 异 面 直 线 称 做 ._.6条又 相 交 的 直 线 有 垂 直条 ， 和 两 条 异 面 直 线 既的 直 线 有和 两 条 异 面 直 线 都 垂 直 ._60.7所 成 角 的 余 弦 值 是与线 的 二 面 角 ， 则 异 面 直所 在 平 面 成所 在 平 面 与 正 方 形正 方 形 BFADABEFC._ _.81 11所 成 的 角 为与 所 成 的 角 为与中 ， 异 面 直 线在 正

30、方 体 CD._2.9111所 成 的 角 是与棱 柱 的 侧 面 对 角 线 ， 则 这 个， 侧 棱 长 为的 底 面 边 长 为正 六 棱 柱 BCEFA._.10关 系 为 的 位 置与， 且，直 线，平 面，直 线已 知 点 baaba._.序 号 为 ， 其 中 正 确 命 题 的， 则，若， 则，若 ， 则，若， 则，若命 题 ： 出 下 列 四 个是 三 个 不 同 的 平 面 ， 给、是 两 条 不 同 的 直 线 ，、设 anmnm m上海新东方优能个性化 数学教研组 25._60.12 的 面 积 是， 则 四 边 形所 成 的 角 为与， 且 的 中 点 ， 若、分 别

31、 是、中 ，在 空 间 四 边 形 EFGHBDACaBAC DACBAGFE综合训练 .123.1异 面与， 求 证 ： 、，、，平 面， 已 知 平 面如 图l ll ACBD图 12-2-1所 成 角 的 大 小与） 求 异 面 直 线（ 为 垂 足 ， 求 证 ：，） 若（ 与 底 面 成，底 面， 且， 是 一 直 角 梯 形 ，中 ， 底 面， 在 四 面 体如 图 CDAEPDBEP PABCaAB A21 3029023.4 PAB CDE图 12-2-2间 的 距 离与）（ 间 的 距 离与）（ ， 求 ：中 ， 棱 长 为正 方 体，如 图 DBACaDCAB1 123.5

32、上海新东方优能个性化 数学教研组 26A BCDA1 B1C1D1O图 12-2-3.4213.6所 成 的 角和的 中 点 ， 求 直 线 、分 别 是、，的 侧 棱 与 底 面 边 长 相 等， 正 三 棱 锥如 图 SAEFAB SCFEBC图 12-2-4.21 ,253.7111 11间 的 距 离和）（ 所 成 的 角和）（ 的 中 点 ， 求 ：和分 别 是 、，中 ， 长 方 体如 图 CBDAEF FEaABCDBASBCAEF上海新东方优能个性化 数学教研组 27A BCDA1 B1C1D1EF图 12-2-5 .9021 2:3:63.8 ， 求 证 ：、所 成 的 角

33、分 别 为、与） 设（ ）（ ， 求 证 ：上 的 点 ， 且和 分 别 在、，中 ， 在 三 棱 锥如 图 BCPAEFFBPCFEPCBAP图 12-2-6能力提高 .7213.9 11长 的 最 大 值 是 多 少 ？上 的 动 点 ， 问为 的 中 点 ，为 棱，的 棱 长 为， 正 方 体如 图 PQBC QBAPaDCBAPBCAEF上海新东方优能个性化 数学教研组 28A BCDA1 B1C1D1PQ图 12-2-7所 成 角 的 余 弦 值和） 求 异 面 直 线（ ，） 求 证 ：（ ， 且 互 相 平 分共 点 于、） 求 证 ：（ 中 点为 ，中 ， 已 知， 长 方 体

34、如 图1111 1132. 283.0BDAEOCE ADBAA BCDA1 B1C1D1EO图 12-2-8上海新东方优能个性化 数学教研组 2912.3 直线与平面的位置关系复习目标1.理解直线与平面的各种位置关系2.掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理 3.掌握直线与平面所成角的定义以及求法概念梳理1.直线与平面的位置关系（1）位置关系 平行、相交、直线在面内.（2）平行 直线与平面没有公共点.判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）垂

35、直 一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的每一条直线都垂直.判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这个直线垂直于这个平面.性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线互相平行.2.空间角和空间距离（1）直线与平面所成角 直线与它在平面内的射影的夹角0,90 0.斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影也较长垂线段比任何一条斜线段都短三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理逆定理

36、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这个斜线在这个平面内的射影垂直.（2）直线到平行平面的距离 找到直线和它的平行平面的公垂面，过直线和公上海新东方优能个性化 数学教研组 30垂面的垂足，向平面引垂线段，垂线段长度即为所求.基础训练 成 等 角与、且 ， ）（件 是的 一 个 必 要 而 不 充 分 条， 那 么和 平 面、已 知 直 线 nmDnCBmA.1内的 直 线 在且 垂 直 于过 点 内的 直 线 在且 垂 直 于过 点 的 平 面 垂 直 于且 垂 直 于过 点 的 直 线 平 行 于且 垂 直 于过 点 ）（命 题 为 ， 则 下 列 命 题 中 的 假

37、， 且和若 有 平 面 lPDClBA lPl2 两 个 平 面一 个 平 面两 条 平 行 线一 条 直 线 ）（的 点 的 集 合 是等 于 的 距 离 都的 距 离 和 到 平 面， 则 到 直 线间 的 距 离 为与，平 面直 线 53 DCBAb lbl ）（围 是 的 取 值 范， 则、所 成 的 角 分 别 是、与， 如 果 直 线、且 两 点 ，、的 两 个 半 平 面 分 别 交 于与 直 二 面 角， 直 线如 图212114 Al BAl20.2.0. 11 22DCBA图 12-3-1 ._:3.5EBAEFGH nBDmACEFGHFGHC是 菱 形 时 ，当 ，平 面，平 面且 它 们 共 面 ， 且 分 别 是 四 边 上 的 点 ，、是 空 间 四 边 形 ，如 图AB CDEFGH图 12-3-2 图 12-3-3A BAB CED