1、2018 届广东省六校第三次联考理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 的元素个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为 ，故直线和圆相切，即直线和圆有 1 个公共点，所以 的元素个数为 1选 B2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 ( )A. 63 B. 45 C. 36 D. 27【答案】A【解析】由题意 ， ， ， ， ， ，故选 A3. 若变量 满足约束条件 ，则
2、的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）由 得 ，平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y轴上的截距最大，此时 z 取得最大值，由题意得点 A 的坐标为（ 3,0）， 当直线经过可行域内的点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小 ，此时 z 取得最小值，由 ，解得 ，故点 B 的坐标为 ， 综上可得 ，故 的取值范围是 选 D4. 函数 的部分图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 为正且接近于 0 时， 为负且绝对值较在，则 ， ，只有 A符合，故选 A5. 设函数 ，其中常数 满
3、足 .若函数 （其中 是函数 的导数）是偶函数，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，函数 为偶函数， 又 ， 选 A6. 执行下面的程序框图，如果输入的 分别为 1，2，3，输出的 ,那么，判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】依次执行程序框图中的程序，可得： ，满足条件，继续运行； ，满足条件，继续运行； ，不满足条件，停止运行 ，输出 故判断框内应填 ，即 选 C7. 已知 为虚数单位） ，又数列 满足：当 时， ；当 ， 为 的虚部，若数列 的前 项和为 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，又 ， ，
4、 ，故选 C8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量 满足条件： 与 的夹角为 ，且 ， 与与的夹角为 45.若 ，则 的值为( )A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由 知 为锐角，且 ，故 ，点 B,C 的坐标为 ， 又 ， ， ，解得 ， 选 B9. 四面体 中，三组对棱的长分别相等，依次为 ，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】以四面的棱为一长方体的面对角线，构造一个长方体，设长方体的棱长分别为 ，则，所以 ，即 ， ， ，故选 C10. 从 2 个不同的红球、2 个不同的黄球、2 个不同的篮球共六个球中任取 2 个，
5、放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )A. 42 种 B. 36 种 C. 72 种 D. 46 种【答案】A【解析】分以下几种情况：取出的两球同色，有 3 种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有 种不同的方法，故不同的放法有 种综上可得不同的放法有 42 种选 A11. 已知点 为双曲线 的右焦点，直线 与 交于 两点，若 ,设,且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 D点睛：由双曲线的对称性知 M，N 关于原点对称，且 ，由于涉
6、及到 M，N 到焦点的距离，所以从双曲线的定义入手，利用 可建立一个关系式，其中 ，这样就把离心率与 之间的函数式表示出来，最后根据三角函数的性质可得其范围12. 已知 是函数 与 图象的两个不同的交点，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 得 ，设 ，则 ，当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，故 由题意得 （令 ）是函数 图象与直线 的两个交点的横坐标，即 ，结合图象可得 设 ，则 ， 在 上单调递增， ， ， ，故 ，且 在 上单调递减， ，即 由 ，得 ，故 在 上单调递增 设 ，可得函数 在 上单调递减， ，即 ，又 ， ， ，即 ， ， 综上可得 ，
7、即所求范围为 选 D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 _【答案】【解析】 14. 已知函数 ，若 ，则函数 恒过定点_【答案】15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 正方体的棱长为 2， , ，该几何体的表面积为 答案：16. 若函数 的图象上存在不同的两点 ，其中 使得 的最大值为 0，则称函数 是“柯西函数”.给出下列函数： ； ； ； .其中是“柯西函数”的为_（填上所有正确答案的序号） 【答案】【解
8、析】设 ，题意即为 的最大值为 0，因此 共线，即 三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，从图象上看只有满足，故答案为点睛：本题考查新定义问题，新定义“柯西函数” ，在我们引入点的坐标 后，题意转化为的最大值为 0，从而利用平面数量积的性质得 共线，即 三点共线，也即为过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，为从形上易得结论三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 .()求 的值；()求数列 的通项公式.【答案】() ， ， ；() .【解析】试题分析：()在
9、中，分别令 可得到 ，然后可得到 的值()先由 得到，再由 可得 ，故可得 ，因此得到数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公式试题解析：（） ， ， ； ， ； ， （） ， ，-得， ，又 也满足上式， ， ， -得 ， 又 ，数列 是首项为 3，公比为 的等比数列 ， 点睛：数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 在应用此结论解题时要注意：若当 n1 时， a1 若适合 ，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时， a1 若不适合 ，则用分段函数的形式表示18. 某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份 10 元的价格出售.如果当天卖不完
10、，剩下的食品还可以每份 1 元的价格退回食品厂处理.()若小店一天购进 16 份，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：份， ）的函数解析式；()小店记录了 100 天这种食品的日需求量（单位：份） ，整理得下表：日需求量 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进 16 份这种食品， 表示当天的利润（单位：元） ，求 的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品 16 份还是 17 份？【答案】() ；()(i)答案见解析；
11、(ii)17 份.【解析】试题分析：() 分 和 两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求()(i) 由题意知 的所有可能的取值为 62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进 17 份食品时，利润 的所有可能取值为 58，67,76,85，分别求得概率后可得 的分布列和期望，比较 的大小可得选择的结论试题解析：（）当日需求量 时，利润 ， 当日需求量 时，利润 ， 所以 关于 的函数解析式为 （）（i）由题意知 的所有可能的取值为 62，71，80， 并且 ， ， 的分布列为：X 62 71 80P 01 02 07 元 （ii）若小店一天购进 17 份食品， 表示当天的利润(单位：元)，那么 的分布列为
