1、2018 届广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学文试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数 的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的定义域应满足 故选 C.2. 如果复数 （其中为虚数单位， 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 等于( )A. -6 B. C. D. 2【答案】C【解析】 ，由题如果复数 （其中为虚数单位， 为实数）的实部和虚部互为相反数，即故选 C.3. 高考结束后，同学聚会上，某同学从爱你一万年 ， 非你莫属 ， 两只老虎 ， 单身情歌四首歌中选
2、出两首歌进行表演，则爱你一万年未选取的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， 爱你一万年未选取的概率为 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用4. 圆 关于直线 对称的圆的方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆 的圆心关于直线 对称的坐标为 ，从而所求圆的方程为.故选 D.5. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 的值是( )A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则 故选 D6. 已知 ，则 ( )A. B. C.
3、D. 【答案】C【解析】由已知 则 故选 C.7. 实数 满足 ，且 的最大值不小于 1，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 设 ， 的最大值不小于 1， 由 得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小，此时最大，当 时，由 ，解得 ，即 此时点 也在直线 x 上，此时 ，要使 的最大值不小于 1，则 .故选 A【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8. 函数 的导函数 在区间 上的图象大致是( )A. B. C. D. 【答
4、案】A【解析】 ，可排除又 在 处取最大值；故排除 B.故选 A【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中分析函数的性质，及不同性质在图象上的表现是解答本题的关键9. 三棱锥 中， 平面 且 是边长为 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据已知中底面 是边长为 的正三角形， ， 平面 ，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以 为高的正三棱柱的外接球 是边长为 的正三角形， 的外接圆半径 球心到 的外接圆圆心的距离 故球的半径 故三棱锥 外接球的表面积 故选：C10. 自主招生联盟成行于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括“北约
5、”联盟， “华约”联盟， “卓越”联盟和“京派”联盟，在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟斯不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A. 没有同时报考“华约”和 “卓越”联盟的学生 B. 报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C. 报考“北约”联盟的考生也报考了 “卓越”联盟 D. 报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟【答案】D【解析】设报考“北约”联盟， “华约”联盟， “京派”联盟和“卓
6、越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，则由题意，AB= ，BC，DC=，CD=B，AD，B=C，CD=B，选项 A，BD=，正确；选项 B，B=C，正确；选项 C，AD，正确，故选：D点睛：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用集合思想是关键11. 设 ，则 的大小关系为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意 ，所以 ，所以 ，故选 A.12. 已知双曲线 ，点 为 的左焦点，点 为 上位于第一象限内的点， 关于原点的对称点为 ，且满足 ，若 ，则 的离心率为 ( )A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】由题意可知，双曲线的右焦点 ， 关
7、于原点的对称点为 ，则 ，四边形 为平行四边形则 ，由 ，根据椭圆的定义， ，在 中， ， ，则 ，整理得则双曲线的离心率故选点睛：本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知，四边形 为平行四边形，利用双曲线的定义和性质，求得 ，在在 中，利用勾股定理即可求得 ，根据双曲线的离心率公式即可求得答案。.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若向量 满足 ，则向量与 的夹角等于_【答案】【解析】试题分析： ，又，所以 ，故选 D考点：1平面向量的数量积；2向量的夹角公式14. 执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为_【答案】30【解析】 时， ，继续，时， ，继
8、续，时， ，停止，输出 点睛:本题考查的是算法与流程图 .算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15. 已知函数 在点 处的切线方程为 ，则函数 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】由题意， 函数 在点 处的切线方程为，即 .故答案为 .16. 已知平面四边形 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧） ，且 ，则平面四边形 面积的最大值为_【答案】【解析】试题分析：设 ,在
9、中运用余弦定理可得 ；在 中运用余弦定理可得 .所以 .又四边形 的面积,即 .联立 和并两边平方相加可得 ,化简变形得,所以当 时, 最大,即 .故应填 .考点：三角变换的公式及正弦定理余弦定理的综合运用【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先两个具有公共对角线 的三角形中运用余弦定理构建方程 ,然后再运用三角形的面积公式构建四边形 的面积关系为 ,最后通过联立方程组并消去内角 的正弦和余弦,建立了目标函数 求出最大值为 .解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.三、解答题 （本大题共
10、 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 (1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）依题意，当 时， ， ，再检验 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列 的通项公式；（）由 可得 ，分组求和即可试题解析：(1)当 时， ， ，当 时，由 得 ，显然当 时上式也适合，(2) ，.18. 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 , 为 的中点， .(1)求证： 平面 ；(2)求四棱锥 的体积 .【答案】 （1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）欲证 平面 ，根
11、据线面平行的判定定理可知只需证 与平面 内一直线平行，连接 ，设 与 相交于点 O，连接 ，根据中位线定理可知 ， 平面 ，平面 ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面 平面 ，作 ，垂足为 E，则 平面 ，然后求出棱长，最后根据四棱锥 ，的体积 ,即可求四棱锥的体积.（1）证明:连接 ,设 与 相交于点 ,连接 , 四边形 是平行四边形,点 为 的中点. 为 的中点， 为 的中位线, . 平面 , 平面 , 平面 .(2) 平面 , 平面 , 平面 平面 ，且平面 平面 .作 ，垂足为 ，则 平面 ， ， ，在 Rt 中， ， ，四棱锥 的体积.四棱锥 的体积为 .考点：直
12、线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积19. 随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加短期培训（称为 类工人） ，另外 750 名工人参加过长期培训（称为 类工人） ，从该工厂的工人中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到 类工人生产能力的茎叶图（左图） ， 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.(1)问 类、 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的 ；(2)求 类工人生产能力的中位数，并估计 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；
13、(3)若规定生产能力在 内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的 列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表短期培训 长期培训 合计能力优秀能力不优秀合计参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中 .【答案】 （1）0.024；（2）可以在犯错误概率不超过 的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关【解析】试题分析：（1）由茎叶图知 A 类工人中抽查人数为 25 名，B 类工
14、人中应抽查 10025=75，由频率分布直方图求出 x；（2）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122，由（1）及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数；（3）求出 K2，与临界值比较，即可得出结论试题解析：解：（1）由茎叶图知 A 类工人中抽查人数为 25 名, B 类工人中应抽查 100-25=75（名）. 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)10=1，得 x=0.024. （2）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122 由（1）及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数为1150.00810+1250.02010+1350.048
15、10+1450.02410=133.8 （3）由（1）及所给数据得能力与培训的 22 列联表，短期培训 长期培训 合计能力优秀 8 54 62能力不优秀 17 21 38合计 25 75 100由上表得 10.828 因此,可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.点睛：独立性检验的方法及注意事项（1）解题步骤：)构造 22 列联表；计算 K2；查表确定有多大的把握判定两个变量有关联（2）注意事项：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值 ，再将该数值对应的 k 值与求得的 K2 相比较；另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可
16、能性 p，所以其有关联的可能性为 1p20. 已知动点 到定点 的距离比 到定直线 的距离小 1.(1)求点 的轨迹 的方程；(2)过点 任意作互相垂直的两条直线 和 ，分别交曲线 于点 和 .设线段 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数 ，进而求出；（）先依据（）的结论分别建立 的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线 经过定点；（）在（）前提条件下，先求出 ，然后建立 面积关于变量 的函数 ，再运用基本不等式求其最小值：解：（）由题意可知：动点
17、到定点 的距离等于 到定直线 的距离.根据抛物线的定义可知，点 的轨迹 是抛物线. ，抛物线方程为：（）设 两点坐标分别为 ，则点 的坐标为 .由题意可设直线 的方程为 .由 ，得 .因为直线 与曲线 于 两点，所以 .所以点 的坐标为 .由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 . 当 时，有 ，此时直线 的斜率 .所以，直线 的方程为 ，整理得 .于是，直线 恒过定点 ；当 时，直线 的方程为 ，也过点 .综上所述，直线 恒过定点 .（）可求得 .所以 面积 .当且仅当 时， “ ”成立，所以 面积的最小值为 4.点睛：圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，也是高考重点考查的考点与热点。
18、解答本土的的第一问时，先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数 ，进而求出 ；第二问是求解则是先依据（）的结论运用点斜式分别建立两 的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线 经过定点；求解第三问时，先在（ ）前提条件下，求出 ，然后建立 面积关于变量 的函数 ，再运用基本不等式求出了其最小值。21. 已知函数 （其中 ,且为常数） .(1)若对于任意的 ，都有 成立，求的取值范围；(2)在(1)的条件下，若方程 在 上有且只有一个实根，求的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或 或【解析】试题分析：（1）求导 f（x）=2（x1）+a（ 1
19、）=（x1）（2 ） ，且 f（1）=0+a（ln11+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；（2）化简 f（x）+a+1=（x1） 2+a（lnxx+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得试题解析：解（1） 当 时, 对于 恒成立, 在 上单调递增,此时命题成立；当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,当 时,有 .这与题设矛盾.故 的取值范围是 （2）依题意 ,设 ,原题即为若 在 上有且只有一个零点,求 的取值范围.显然函数 与 的单调性是一致的 . 当 时,因为函数 在区间 上递减, 上递增,所以 在 上的最小值为 ,由于 ,要使 在 上有且只有一个零点,需满足
20、 或 ,解得 或 ; 当 时,因为函数 在 上单调递增,且 ,所以此时 在 上有且只有一个零点; 当 时,因为函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,又因为 ,所以当 时,总有 ,所以 在 上必有零点 ,又因为 在 上单调递增 ,从而当 时, 在 上有且只有一个零点. 综上所述,当 或 或 时,方程 在 上有且只有一个实根.22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）.以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若 与 交于 两点，点 的极坐标为 ，求 的值.【答案】 （1） ， ；（
21、2）【解析】试题分析：（1）消去参数把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）把曲线把曲线 的参数方程 为参数） ，代入 得 ，设 是 对应的参数，进一步利用根和系数的关系求出结果试题解析：(1)曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为: .(2) 的参数方程的标准形式为 （为参数）代入 得，设 是 对应的参数 ,则 . .23. 设函数 ， .(1)当 时，求不等式 的解集；(2)若 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）不等式为 ，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式 恒成立，同样不等式为 ，转化为，令 ，因为 ,所以 ，只要求出最小值 ，然后解不等式 得所求范围.试题解析：（1）当 时， ，无解，3 分综上，不等式的解集为 . 5 分（2） ，转化为 ，令 ，因为 a0,所以 ， 8 分在 a0 下易得 ,令 得 10 分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.
