1、3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线的交点 1、5、6、11两点间的距离 2、3、9对称问题 7、10、13综合应用问题 4、8、12基础巩固1.直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点的坐标为 ( C )(A)(-4,-3) (B)(4,3) (C)(-4,3) (D)(3,4)解析:由方程组 得 即交点坐标是(-4,3),选 C.2.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为 ( C )(A)1 (B)-5 (C)1 或-5 (D)-1 或 5解析:因为|A
2、B|= =5,所以 a=-5 或 a=1,故选 C.3.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形解析:因为|AB|= = ,|BC|= = ,|AC|= = ,所以ABC 是等腰三角形,故选 B.4.已知 a,b 满足 a+2b=1,则直线 ax+3y+b=0 必过定点( D )(A) (B)(C) (D)解析:法一 因为 a+2b=1,所以 a=1-2b,代入直线方程得(1-2b)x+3y+b=0,即 b(1-2x)+x+3y=0,由 得故直线必过定点 ,选 D.法二 因为 a+2b=1,所
3、以 a+b- =0.所以 a +3 +b=0,所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ,选 D.5.当 00,所以交点在第二象限,故选 B.6.斜率为-2,且过两条直线 3x-y+4=0 和 x+y-4=0 交点的直线方程为 .解析:解方程组 得交点为(0,4),所以所求的直线方程为y=-2x+4.答案:y=-2x+47.(2015 潍坊四校联考)点 P(-3,4)关于直线 4x-y-1=0 的对称点的坐标是 . 解析:设对称点坐标为(a,b),则解得 即所求对称点的坐标是(5,2).答案:(5,2)8.(2015 珠海希望之星月考)设直线 l 经过 2x-3y+2=0 和 3x-4y-2=0的
4、交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线 l 的方程.解:设所求的直线方程为(2x-3y+2)+(3x-4y-2)=0,整理得(2+3)x-(4+3)y-2+2=0,由题意,得 =1,解得 =-1,或 =- .所以所求的直线方程为 x-y-4=0,或 x+y-24=0.能力提升9.设 A,B 是 x 轴上的不同两点,点 P 的横坐标为 2,|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A )(A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0(C)2y-x-4=0 (D)2x+y-7=0解析:设 P(2,y),由点 P 在直线 x-y+1=0 上得 P(2,
5、3),设 A(x0,0),由点 A 在直线 x-y+1=0 上得 A(-1,0),由|PA|=|PB|得 B 的坐标为(5,0),所以直线 PB 的方程为 x+y-5=0.故选 A.10.已知 A(3,1),B(-1,2),若ACB 的平分线方程为 y=x+1,则 AC 所在的直线方程为( C )(A)y=2x+4 (B)y= x-3(C)x-2y-1=0 (D)3x+y+1=0解析:设 B 关于直线 y=x+1 的对称点为 B(x,y),则解得 即 B(1,0).则 AC 的方程为 = ,即 x-2y-1=0.故选 C.11.三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0 不
6、能围成三角形,则 a 的取值集合是 . 解析:因为 x+y+1=0 与 2x-y+8=0 相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由 x+y+1=0 与 ax+3y-5=0 平行得 a=3,由 2x-y+8=0 与 ax+3y-5=0 平行得 a=-6,由三线共点得 a= ,故a 的取值集合是 .答案:12.已知平行四边形两边所在直线的方程为 x+y+2=0 和 3x-y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程.解:由 得一顶点为 .因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为 .设与 x+y+2=0 平行的对边所在直线方程为 x+y+m=0
7、,因为该直线过 ,所以 m=-16.设与 3x-y+3=0 平行的对边所在直线方程为3x-y+n=0,同理可知过点 ,得 n=-13.故所求直线的方程为 x+y-16=0 和 3x-y-13=0.探究创新13.在 x 轴上求一点 P,使得(1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图,(1)直线 BA 与 x 轴交于点 P,此时 P 为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|=5.因为直线 BA 的斜率kBA= =- ,所以直线 BA 的方程为 y=- x+4.令 y=0 得 x= ,即 P .故距离之差最大值为 5,此时 P 点的坐标为 ,(2)作 A 关于 x 轴的对称点 A,则 A(4,-1),连接 CA,则|CA|为所求最小值,直线 CA与 x 轴交点为所求点.又|CA|= = ,直线 CA的斜率 kCA = =-5,则直线 CA的方程为 y-4=-5(x-3).令 y=0 得 x= ,即 P .故距离之和最小值为 ,此时 P 点的坐标为 .
