1、2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 【选题明细表】 知识点、方法 题号线面垂直性质的理解 1、10面面垂直性质的理解 3、4线面垂直性质的应用 2、5、6、7、8面面垂直性质的应用 9、11、12基础巩固1.ABC 所在的平面为 ,直线 lAB,lAC,直线 mBC,mAC,则直线 l,m 的位置关系是( C )(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)不确定解析:因为 lAB,lAC 且 ABAC=A,所以 l平面 ABC.同理可证 m平面 ABC,所以 lm,故选 C.2.(2015 临汾市曲沃二中高二期中)在空间中,a,b 是不重合的直线, 是不重合的平面,
2、则下列条件中可推出 ab 的是( C )(A)a,b, (B)a,b(C)a,b (D)a,b解析:对于选项 A,若 a,b,则 a 与 b 没有公共点,即 a与 b 平行或异面;对于选项 B,若 a,b,则 a 与 b 没有公共点 ,即 a 与 b 平行或异面;对于选项 C,若 a,b,由线面垂直的性质定理,可得 ab;对于选项 D,若 a,b,则由线面垂直的定义可得 ab.故选 C.3.已知平面 、 和直线 m、l,则下列命题中正确的是( D )(A)若 ,=m,lm,则 l(B)若 =m,l,lm,则 l(C)若 ,l,则 l(D)若 ,=m,l,lm,则 l解析:根据面面垂直的性质定理
3、逐一判断.选项 A 缺少了条件 l;选项 B 缺少了条件 ;选项 C 缺少了条件 =m,lm;选项D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件.故选 D.4.已知平面 、 和直线 m,若 ,m,则( D )(A)m (B)m(C)m (D)m 或 m解析:设 =l,当 m 与 l 相交时,由 m 可得 m;当 m 与 l不相交时,可得 m.故选 D.5.(2015 蚌埠市五河高中高二期中)如图,PA矩形 ABCD,下列结论中不正确的是( A )(A)PDBD (B)PDCD(C)PBBC (D)PABD解析:因为 PA矩形 ABCD,所以 PABD,若 PDBD,则 BD平面 PAD,又 BA平面
4、PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故 A 不正确;因为 PA矩形 ABCD,所以 PACD,ADCD,所以 CD平面 PAD,所以 PDCD,同理可证 PBBC,因为 PA矩形 ABCD,所以由直线与平面垂直的性质得 PABD.故选 A.6.(2015 北京市房山区高二期中)如图,在三棱锥 P ABC 中,PA底面ABC,BAC=90,F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点,且 EFBC,则 = .解析:在三棱锥 P ABC 中,因为 PA底面 ABC,BAC=90,所以 AB平面 APC.因为 EF平面 PAC,所以 EFAB,因为 EFBC,BCAB=B,所以 EF底
5、面 ABC,所以 PAEF,因为 F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点,所以 E 是 PC 的中点,所以 =1.答案:17.(2015 太原五中高二月考)如图,在四面体 ABCD 中,已知 DA平面ABC,BC平面 ABD,BC=BD=2,四面体的三个面 DAB、DBC、DCA 面积的平方和是 8,则ADB= . 解析:因为 DA平面 ABC,所以 DAAB,DAAC.因为 BC平面 ABD,所以 BCBD,BCAB.设 AD=a,AB=b,则 a2+b2=4,因为三个面 DAB、DBC、DCA 面积的平方和是 8,BC=BD=2,所以（ ab） 2+（ 22） 2+（ a ） 2=8,
6、所以 a=b= ,所以ADB=45.答案:458.如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PA=AB,G 为 PD 的中点.求证:AG平面 PCD.证明:因为 PA平面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 PACD.又因为 ADCD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.又因为 AG平面 PAD,所以 AGCD.因为 PA=AB=AD,G 为 PD 的中点,所以 AGPD.又 PDCD=D,所以 AG平面 PCD.能力提升9.(2015 运城市康杰中学高二期中)如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BDCD,将其沿对角
7、线 BD 折成四面体 A BCD,使平面 ABD平面 BCD,则下列说法中不正确的是( D )(A)平面 ACD平面 ABD (B)ABCD(C)平面 ABC平面 ACD (D)AB平面 ABC解析:因为 BDCD,平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD,因为 CD平面 ACD,所以平面 ACD平面 ABD,故 A 正确;因为平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,所以 ABAD,又 CD平面 ABD,所以 ABCD,故 B 正确;因为 AB平面 ACD,AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 ACD,故 C 正确;因为 AB平面 ABC,所以 AB平面 ABC 不
8、成立 ,故 D 错误.故选 D.10.(2015 宿州市高二期中)设 m,n 为空间的两条直线, 为空间的两个平面,给出下列命题:若 m,m,则 ;若 m,m,则 ;若 m,n,则 mn;若 m,n,则 mn.上述命题中,其中假命题的序号是 . 解析:若 m,m,则 与 相交或平行,故不正确;若 m,m,则 ,故正确;若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故不正确;若 m,n,由直线垂直于平面的性质定理知 mn,故正确.答案:11.如图,ABC 是边长为 2 的正三角形.若 AE=1,AE平面 ABC,平面BCD平面 ABC,BD=CD,且 BDCD.(1)求证:AE平面 BCD;(2
9、)求证:平面 BDE平面 CDE.证明:(1)取 BC 的中点 M,连接 DM,因为 BD=CD,且 BDCD,BC=2,所以 DM=1,DMBC.又因为平面 BCD平面 ABC,所以 DM平面 ABC,又 AE平面 ABC,所以 AEDM.又因为 AE平面 BCD,DM平面 BCD,所以 AE平面 BCD.(2)由(1)已证 AEDM,又 AE=1,DM=1,所以四边形 DMAE 是平行四边形,所以 DEAM.连接 AM,易证 AMBC,因为平面 BCD平面 ABC,所以 AM平面 BCD,所以 DE平面 BCD.又 CD平面 BCD,所以 DECD.因为 BDCD,BDDE=D,所以 CD
10、平面 BDE.因为 CD平面 CDE,所以平面 BDE平面 CDE.探究创新12.如图,在ABC 中,AC=BC= AB,四边形 ABED 是边长为 a 的正方形,平面 ABED平面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点.(1)求证:GF平面 ABC;(2)求证:平面 EBC平面 ACD;(3)求几何体 A DEBC 的体积 V.(1)证明:如图,取 BE 的中点 H,连接 HF,GH.因为 G,F 分别是 EC 和 BD的中点,所以 HGBC,HFDE.又因为四边形 ABED 为正方形,所以 DEAB,从而 HFAB.所以 HF平面 ABC,HG平面 ABC.又因为 GHHF=H,
11、所以平面 HGF平面 ABC.所以 GF平面 ABC.(2)证明:因为四边形 ABED 为正方形,所以 EBAB.又因为平面 ABED平面 ABC,所以 BE平面 ABC.所以 BEAC.又因为 CA2+CB2=AB2,所以 ACBC.又因为 BEBC=B,所以 AC平面 EBC.又因为 AC平面 ACD,从而平面 EBC平面 ACD.(3)解:取 AB 的中点 N,连接 CN,因为 AC=BC,所以 CNAB,且 CN= AB= a.又平面 ABED平面 ABC,所以 CN平面 ABED.因为 C ABED 是四棱锥,所以 = S 四边形 ABEDCN= a2 a= a3.即几何体 A DEBC 的体积 V= a3.
