1、教学内容：简单的数列问题（一）世界著名的数学家高斯（1777 年1855 年） ，幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案 5050。那些正忙着把这 100 个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？原来小高斯通过细心观察，发现 1100 这一串数中，110029939849525051101。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为 101 的数共有 100250 对。于是小高斯就把这道题巧算为：12399100（1100）10025
2、050像 1，2，3，99，100 这样的一串数我们称为“等差数列” ，下面介绍有关等差数列的概念。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首项为 5，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 4，末项为 804，公差为 8 的等差
3、数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。从高斯的故事我们知道，要想求出像 1，2，3，99，100 这一等差数列的和，只要用第一个数 1 与最后一个数 100 相加求和，再乘以这串数的个数 100，最后除以 2。由此，我们得到等差数列的求和公式为：数列和（首项末项）项数2例 1 计算 1231999分析与解 这串加数组成的数列 1，2，3，1999 是等差数列，公差是 1，首项是1，末项是 1999，项数是 1999。根据等差数列求和公式可解得：原式（11999）199921999000例 2 求首项是 5，公差是 3 的等差数列的前 1999 项的和。分析 等差数列中首项、末项、
4、公差的关系是：末项首项公差（项数1）解 末项53（19991）5999和（55999）199926000998例 3 计算 371199分析 这串加数组成的数列是等差数列，公差是 4，首项是 3，末项是 99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数（末项首项）公差1解 项数（993）4125原式（399）2521275例 4 计算（1）20003695154（2） （2469698100）（135959799）（3）199119981985198211852分析与解 （1）利用第一讲中的知识， “某数连续减去几个数
5、，等于减去这几个数的和” ，可将原式转化为：2000（3695154） ，所以，此题关键是求3695154 的和。3695154（354）（543） 31 2579513从而，原式20005131487。（2）同学们可能已经发现和式 2498100，1359799 中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：21，43，65，10099，它们的差都等于 1，然后计算等于 1 的差数有多少个。由于题中 1 至 100 的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大
6、减小） ，共得 50 个差数 1，从而，原式（21）（43）（9897）（10099）50（3）利用求解题（2）的经验，容易发现199119883，198519823，523这样，此题就归结为计算上述差的个数。可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是 3，由求项数公式可求得项数为：（19912）31664（个）这 664 个数两两配对做减法运算，共得到 6642332 个差数，因而 ”个“个 ) ()5(8(985()198( 3332996思考 还可以怎样计算出差的个数？（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。 ）例 5 2000199919991998199819971997
7、1996433221解原式1999（20001998）1997（19981996）3（42）21（1999199731）2（19991）（19991 ）21 22200010002000000小结 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。【能力训练】1计算：（1）123767778（2）135959799（3）261014202206210（4）47102922952982求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。4计算：（1）4000123767778
8、（2）560557554551500497（3）2041981921862418126*5计算：（1） （1351999）（2461998）（2）12345678910111225262728参考答案【能力训练】1 （1） （178）7823081（2） （199）5022500（提示：1 到 100 这一百个自然数中奇、偶数各一半）（3） （2210）（2102 ）41 25618（4） （4298）（2984 ）31 2149492 （593）（935） 41 211273末项13（301）5158和（13158）30225654 （1）4000（12378）4000（178）782400
9、03081919（2）31133（等差数列 560，557，554，551，500，497，共有（560497）3122 项）（3）617102（等差数列 204，198，192，12，6，共有（2046）6134 项）*5 （1）1（32）（54）（76）（19991998）199911000（2） （123425262728）2（482428）（128）2822（428）（284）412291416141314182教学内容：简单的数列问题（二）上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。例 1
10、 求所有被 2 除余数是 1 的三位数的和。分析 首先应分析一下被 2 除余数是 1 的三位数是哪些数。能被 2 整除的三位数中最小的是 100，所以被 2 除余数是 1 的三位数中最小的是 101。采用同样的办法可知，三位数中最大的被 2 除余 1 的数是 999，而且这样的三位数前后两数都差 2，因此它们构成一个等差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。解 所求的三位数的和是 101103105999项数（999101）2189821450和 （101999）4502247500答：所有被 2 除余数是 1 的三位数的和是 247500由例 1 可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确
11、地找出满足条件的数列，然后求和。例 2 1 至 100 内所有不能被 5 或 9 整除的数的和是多少？分析与解 如果要直接找出 1 至 100 内所有不能被 5 或 9 整除的数比较麻烦，因此我们采用间接的办法来解。可以先分别找出能被 5 或 9 整除的数，并求出它们的和，然后再从 123100 的和中减去它们的和，即为所求的解。1 至 100 内所有能被 5 整除的数是 5，10，15，100，这个等差数列的项数（1005）51955120，因此51015100（5100）20210520210501 至 100 内所有能被 9 整除的数是 9，18，27，99，这个等差数列的项数（999）
12、9111，因此，9182799（999）112108112594应该注意到，1 至 100 内 45，90 这两个数既能被 5 整除，又能被 9 整除，因此在上面两个数列的求和中都有 45、90 这两个数。所以，1 至 100 内所有不能被 5 或 9 整除的数的和是：（123100）（51015100）（9182799）（4590）505010505941353541由例 2 可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比较困难，那么可以采用间接的方法求解。另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。例 3 用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图
13、 41所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放 10 根火柴，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴？分析与解 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的 3 个三角形（向上的三角形 2 个；向下的三角形 1 个）看作第二层，那么这个图中一共有 10 层三角形。这 10 层三角形每层所需火柴根数，自上而下依次为：3，6，9，310。它们成等差数列，且首项为 3，公差为 3，项数为 10。求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和，即36930（330）102335165（根）所以，一共要放 165 根火柴。例 4 15 个连续奇数的和是 1995，其中最大
14、的奇数是多少？分析与解 我们先来看一个简单的五个连续奇数求和的情况。例如，35791135可以看出，用这五个连续奇数的中间一项 7 乘以项数 5 也可以得到和为 35。反过来，用和 35 除以项数 5 就可以得到它们的中间项 7。根据这一经验，对于例 4，已知 15 个连续奇数的和是 1995，可求得这个等差数列的中间一项是 199515133。现在如果把中间一项看作是第 1 项，那么原来的末项，即第 15 项就是现在的第 8 项。这一项，也就是最大的奇数为：133（81）213314147思考 仿照此例题的解法，求这 15 个连续奇数中最小的奇数。例 5 盒子里放有 1 只球，一位魔术师第一
15、次从盒子里将这 1 只球拿出，变成 4 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出 2 只球，将每只球各变成 4 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出 10 只球，将每只球各变成 4 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球？分析与解 一只球变成 4 只球，实际上多了 3 只球。第一次多了 31 只球，第二次多了 32 只球第十次多了 310 只球。因此拿了 10 次后，多了31323103（1210）355165（只）加上原有的 1 只球，盒子里共有球 1651166（只） 。例 6 有 10 个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么 10 个人共握手多少次？分析 设 10 个人
16、分别为 10321A个个 ，我们从 1开始按顺序分析：0321A个个这 9 个人的每个人握手 1 次，共握手 9 次；由于 已和 1握过手，所以 2只能和 1043个个 这 8 个人的每个人握手 1次，共握手 8 次；由于 3已和 2个握过手，所以 只能和 1065个 这 7 个人的每个人握手 1 次，共握手 7 次；以此类推9A只能和 10握手 1 次。将以上的握手次数求和即可。解 这 10 个人总共握手的次数为12389（19）9245（次）这题我们采用按顺序逐个分析，从中找出规律的思考方法，这是个重要的方法。小结 我们通过这一讲的学习知道，解与等差数列有关的问题关键是根据题意正确地找出满
17、足条件的数列，解题时分析思考要仔细，多算一项、少算一项都将造成结果的错误。【能力训练】1求所有的除以 4 后余 1 的两位数的和。2在 1100 这 100 个数中，所有不能被 9 整除的奇数的和是多少？3用相同的立方体摆成如图 42 的形式，如果共摆成 10 层，那么最下面一层有多少个立方体？4有一个六边形点阵如图 43，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点这个六边形点阵共 100 层，求这个点阵共有多少个点？524 个连续偶数的和是 1992，其中最大的一个偶数是几？6时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点也敲一下。求时钟一昼夜总共敲打多少次？7平面
18、上共有 10 个点，没有 3 个点在一条直线上，求过这些点最多可以画出多少条直线？8在北京与上海之间开行的火车，除起点站和终点站外，还要停靠 8 个火车站，问一共要准备多少种火车票？9小明计算从 1 开始若干个连续自然数的和，结果不小心把 1 当作 10 来计算，得出的错误结果恰好是 100，你知道小明算的是哪些自然数的和吗？正确的结果应该是多少？*10一次朋友聚会，大家见面时总共握手 28 次，如果参加聚会的每个人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？【能力训练】1131797（1397）（9713） 41 212102 （13599）（92745638199）（199）502（
19、999）62250032421763第 10 层有立方体 1231055 个4这个六边形点阵共有 100 层，由中心向外层上的点数依次为 1，6，12，18，除去第一项“1” ，这是个首项为 6，公差为 6，项数为 99 的等差数列。所以这个六边形点阵的点数为：1612186991（6699）9921610099213009929701（个）51992248383182 第 12 项是 82，当成第 1 项，则末项即第 13 项为 82（131）21066 （1212）224180（次）7要找出点数与直线数之间的对应关系。第一个点与其余 9 个点可画出 9 条直线，第2 个点与其余 8 个点可画出 8 条直线，依此类推，第 9 个点与第 10 个点可以画出 1 条直线，所以共有直线：9871（19）92458 （123456789）290（种）（提示：从甲站到乙站和从乙站到甲站的车票是不同的）912313（把 1 误看作 10，意味着加数增大了 9） ，正确结果为 91。*10设参加聚会的共有 n 个人，握手总次数为123（n1） ，据题意，有：123（n1）28因为 123456728所以 n17；n8一共有 8 个人参加宴会。
