1、第 3 讲 高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等
2、的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。例 1 1231999？分析与解：这串加数 1，2，3，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（11999）199921999000。
3、注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2 11121331？在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例 3 371199？分析与解：3，7，11，99 是公差为 4 的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米
4、？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为（13515）12（115）8212768（厘米 2）。2）火柴棍的数目为369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面积是 768 厘米 2，整个图形由 108 根火柴摆成。练习 31.计算下列各题：（1）246200； （2）17192139；（3）58111450； （4）3101724101。2.求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3.求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。
