1、第 8 讲 巧妙求和（一）一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第 n 项=首项+ （项数1）公差项数公式：项数=（末项首项）公差1二、精讲精练【例题 1】 有一个数列：4，10， 16，22.，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，末 项是 52.要求项数，可直接带入项数公式 进行计算。项数=（ 5
2、24 ）61=9 ，即这个数列共有 9 项。练习 1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.，101.这个等差数列共有多少 项？3.已知等差数列 11.16，21.26，1001.这个等差数列共有多少 项？【例题 2】有一等差数列：3.7，11.15， ，这个等差数列的第 100 项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是 3.公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根据“末项 =首项+公差 （项数1）” 进行计算。第 100 项=3+4（1001） =399.练习 2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=
3、10 ，它的末项是多少？2.求 1.4，7，10这个等差数列的第 30 项。3.求等差数列 2.6，10，14的第 100 项。【例题 3】有这样一个数列：1.2.3.4， 99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把 1.2.3.4，99，100 与列 100，99，3.2.1 相加，则得到（1+100 ）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101.一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的数列是
4、一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+ 末项 ）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。练习 3：计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60【例题 4】求等差数列 2，4，6，48，50 的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25首项=2. 末项=50， 项数=25等差数列的和=（2+50 ）252=650.练习 4：计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10
5、+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270【例题 5】计算（2+4+6+100）（1+3+5+99 ）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我 们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21 ）+（4 3）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50练习 5：用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999 ）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998 ）
