1、绝对值随机变量密度函数的求法 浪花一点点 求连续型随机变量的密度函数是 概率论考试的主要内容，特别是考研数学一和三的重点。 2017 年数学一和三最后两大题都要求密度函数， 2016年也有一大题求密度函数，你说重不重要呢？ 有一类求密度函数的题型，一般辅导书单独总结和归纳的较少，那就是含有绝对值符号的连续型随机变量密度函数的求法。 研究过往的考研试题，此种类型的题型已经出现了 3次。 上例题来说明吧！ 1某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n次测量，该物体的质量 是已知的，设 n次测量结果 nxxx , 21 相互独立，且均服从正态分布 2,N 该工程师记录的是 n 次测量
2、的绝对误差 ii xz ( ni ,2,1 )，利用 nzzz , 21 估计 （ I）求 iz 的概率密度； （ II）利用一阶矩求 的矩估计量； （ III）求 的最大似然估计量 . 分析 ： 这是 2017 年数一和数三的考研试题，第一问与本专题有关，只谈第一问。 求密度函数首选分布函数法。 F( iz )=P( ii zx ) (1)很明显， ix 0，所以当 iz 2时， YX u是必然发生事件，故有 F(u)=1; (3)当 0u2时，（一定要画出图形，结合图形计算） y x-y=-u 3 x-y=u 1 0 1 3 x F(u)=P( YX u)=1 dydxuux31 1 41
3、 dydxuux 313 41 (此处用减法容易理解，也易于用二重积分计算 ) = 22 )2(81)2(811 uu = 241uu 综上所述， U的分布函数为 F(u)=212041002uuuuu因此， f(u)= 其他020211)( uuuF 3设随机变量 X与 Y是两个相互独立，且都服从 (0,1)上的均匀分布，求 Z= YX 的密度函数。 分析 ： 随机变量 X、 Y的密度函数分别为 其他0 101)( xxf 其他0 101)( yyf z的分布函数为 )()( zYXPzF (1)当 z0时，很明显 YX z是不可能事件，此时 )(zF 0； (2) 因 01,10 yx ，
4、所以 11 YX ，即 YX 1，因此，当 z 1时， YX z是必然发生的事件，此时 )(zF 1； x-y=-z x-y=z (3)当 0z1时 , )()( zYXPzF =1 10zzx dydx zzx dydx101 (此处用减法容易理解，也易于用二重积分计算 ) = 22 )1(21)1(211 zz = 22 zz 综上所述， Z的分布函数为 F(z)=11102002zzzzz因此， f(z)= 其他0 1022)( zzzF 4 (19981)设两随机变量 X、 Y相互独立，且都服从均值为 0、方差为1/2的正态分布，求随机变量 YX 的方差。 分析 ： 这是 1998年数
5、学一考研试题，尽管过去了近 20年，依然很经典！ 某君概率论课昏睡中隐约听到老师说：求密度函数首选分布函数法，于是 嘴角掠过一丝 得意 的 浅笑， 拿起笔 毫不犹豫地 就用分布函数法做起来了！ 结果 过程复杂得令他怀疑人生！ 换种思维吧！ 因随机变量 X、 Y相互独立，且都服从正态分布，所以 E( YX )=EX EY =0 D( YX )=DX+DY=0.5+0.5=1 令 Z= YX ， （把二维转化为一维来求） 则 22 )()()( ZEZDZE =1 由 D( YX )=D(Z )=E( 2Z ) 2)( ZE =1 2)( ZE E(Z )= 22221 20222 dzezdze
6、Zzz 故 D( YX )=1 2 5设 总体 ),( 2NX ， ),( 21 nXXX 为 来自 总体 的 一个 样本， 求常数 k， 使得 为ni iXXk1的 无偏 估计。 分析 ： 此题 与 上一题 思路 是 一样 的。 首先 求 XXi 分布 的 期望值 和 方差， 但 注意 XXi、 不相互 独立 。 E( XXi )=0， D( XXi )= 21nn （ 此处 过程 省略 ） 所以， XXi )1,0( 2nnN 令 Z= XXi ， 则 f(z)=2212121 nnzenn （把二维转化为一维来求） 那么， E(Z )= dzennznnz2212121 =2 dzennznnz22120 121 = nn 122 则 E( ni iXXk1)=k )(1ni iXXE = nn 122kn 根据 无偏性 的 定义， 由 E( ni iXXk1)= nn 122kn = 解得， k=)1(2 nn 点评 ： 以上 两题 是 能 很好 地 训练 思维 的 题目。 尽管 这 2题 不是 求 密度函数 的 题目， 但 却与 求 密度 函数 相关， 只不过 不是 直接 求， 而是 间接求 期望值 和 方差 后 得出 密度 函数 的。
