1、混合 型 随机变量密度函数的求法 浪花一点点 求密度函数（或分布函数）、 矩估计和极大似然估计、计算期望值和方差是考研数学 常考 的三大题型， 而 求密度函数（或分布函数）是考查概率论知识的精髓， 可以说，几乎每年都考。 求密度函数也有重点啊。那重点考什么呢？研究 30 多年的考研数学试题， 求二维连续型 随机 变量的密度函数是重点（是综合题，不仅概率论知识，还涉及二重积分的计算） 。 在重点知识里，求混合型随机变量密度函数是近些年命题人的最爱。 混合型是指两种随机变量的分布类型不一样，既有离散性也有连续型（或两种不同类型的连续型随机 变量的分布）。 尤以离散和连续型混合在一起，是重点的重点（
2、会涉及全概率公式和条件概率知识） 。 上例题来说明吧！ 一、 离散和连续两种不同类型的随机变量混合在一起 1(20033)设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 7.03.0 21X 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 分析 ： 首先说明 20033 是指此题是 2003 数学三考研试题，若为 200313则指此题是 2003 数一和数三的考研试题。 此题 随机变量 X 是离散型的， Y 是连续型的随机变量，题目考察 两种 混合 型随机变量和的密度函数。 求密度函数首选的方法是分布函数法！ )()( uYXPuG =0.3P(1+Yu)
3、 + 0.7P(2+Y u) (因 X、 Y 相互独立 ， X 只取 1 和 2 两个值 ) =0.3 )1( uYP +0.7 )2( uYP =0.3 )1( uF +0.7 )2( uF 则 U 的概率密度为 g(u) = )(uG (概率密度的定义 ) = 0.3 )1( uF +0.7 )2( uF = 0.3 )2(7.0)1( ufuf 即 g(u) = 0.3 )2(7.0)1( ufuf 点评 ： 本题的关键点是 0.3P(1+Yu) + 0.7P(2+Y u)这一步 ，必须弄清楚其由来。 2 (200813)设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率密度为 PX=i=3
4、1 (i= 1 ,0,1)， Y 的概率密度为 其他0 101)( yyfY ，记 Z=X+Y (1) 求 P( 021 XZ ); (2)求 Z 的概率密度； 分析 ：因第二问与本主题有关，只讨论第二问。 本题也是离散型和连续型随机变量混合在一起的，与 2003 年的试题相比 (Y 的概率密度为 抽象的 f(y)，连续型随机变量 Y 的概率密度是具体的， 其实思路是一样的。 记住，求密度函数首选分布函数法！ )()( zYXPzF z = 31 )1( zYP + 31 )0( zYP + 31 )1( zYP （因 X、 Y 相互独立 ， X 取三个值 1 ,0,1） = 31 )1( z
5、YP + 31 )( zYP + 31 )1( zYP 到这儿， 千万不能两边直接求导了 ！ 此处要就 z 的范围讨论 。 (此处是本题的关键点，因为 Y 的密度函数非零区域是 0y1) (1)当 1z 时，此时 z+1Y) 当 1 z0，则 0y ； x0，则 0y ；那么， 22 YX 那么，当 z 2 时， )2( zYXP 是必然发生的事件，此时， 1)( zFz (1) 当 z0 时， xzxyz eedyedxzF )1(21)( 210 2 y -z x z/2 0 1 (2) 当 0 z2 时， 12201)( zzx yz dyedxzF= 21212 2 zez y 2x-y=z 0 z/2 1 x 因此， 2120212210)1(21)( 22zzezzeezF zzz于是所求的密度函数为 2020)1(210)1(21)( 22zzezeezf zzz
