1、定义2 设X为一个随机变量，对任意实数x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 基本性质：(1) F(x) 单调不降；(2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3) 右连续.,2.3 随机变量的分布函数与连续型的随机变量,F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .,其中 .,例2.3.1,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函数.,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.3.2,已知 X 的分布函数如下,求 X
2、的分布列.,定义3,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，,若存在非负可积函数 f(x) ，满足：,称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数.,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,分布函数与密度函数几何意义,注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0,其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连续r.v.取任一常数的概率为零,强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生),事实上
3、,对于连续型 r.v. X,连续型,密度函数 X p(x)( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,离散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 点点计较,5. F(x)为阶梯函数。,5. F(x)为连续函数。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,P56例16 已知连续型随机变量的概率密度为确定常数c; 求X的分布函数;计算,例2.3.3,设 X ,求 F(x).,解：,设X与Y同分布，X的密度为,已知事件 A = X a 和 B = Y a 独立，,解: 因
4、为 P(A) = P(B),P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a .,且由A、B 独立，得,= 2P(A) P(A)2 = 3/4,从中解得: P(A)=1/2,由此得 0a 2 ,因此 1/2 = P(A) = P( X a ),例2.3.4,设 X p(x)，且 p(x) = p(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1,练习1,练习2 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续r.v., 其 d.f.为,(1) 求常数 c,(
5、3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,例1,解,(1) 令,c = 1000,(2),(3),设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为 Y,(1) 均匀分布,若 X 的 d.f. 为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,均匀分布,X 的分布函数为,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,进行大量数
6、值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作服从 的 r.v. 随机变量,应用场合,例 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,解 X 等可能地取得区间,所以,上的任一值，则,(2) 指数分布,若 X 的d.f. 为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,指数分布,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种
7、“寿命”分布的近似,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,解 (1),例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 发生故障的次数 N( t ) (t), 求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下,再正常运行 10 小时的概率.,例4,即,(3) 正态分布,若X 的 d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布,亦称高斯 (Gauss)分布,N (-3 , 1.2 ),f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时,
8、f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( - x),性质,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,Showfn1,fn3,正态变量的条件,若 r.v. X, 受众多相互独立的随机因素
9、影响, 每一因素的影响都是微小的, 且这些正、负影响可以叠加,则称 X 为正态 r.v.,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,-x,x,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,求 P ( X 0 ).,解一,例6,解二 图解法,0.2,由图,例 3
10、原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,标准正态分布的上 分位数 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用 数据,例7 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9 ?,解,例7,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米,故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.,X , 求其密度函数 f (x).,A,B,C,h,.M,问 题,每周一题6,M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量,X , 求其密度函数 f (x).,问 题,每周一题7,问 题,上海某年有 9万名高中毕业生 参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分 以上有2025人 , 360分以下有13500 人. 试估计高校录取最低分.,M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量,附录,X , 如何求其密度函数 f (x)？,思考题,附录,
