1、概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布,返回主目录,4 连续型随机变量及其概率密度,第二章 随机变量及其分布,一、连续型随机变量的概念与性质,1) 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,前两个条件是概率密
2、度的充分必要条件,返回主目录,即,若不计高阶无穷小，有,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,注 意,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,连续型随机变量的一个重要特点：,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,说 明, 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,此公式非常重要！,例 1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,4连续型随机变
3、量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 2,某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,返回主目录,解：设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 2（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数，,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,故所
4、求概率为,例3,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,的分布函数,综上所述，可得随机变量,X,二、一些常用的连续型随机变量,1) 均 匀 分 布,若随机变量 X 的密度函数为,记作 X U a , b,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量
5、及其分布,均匀分布的概率背景,X,X,a,b,x,l,l,0,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,均匀分布的分布函数,a,b,x,F (x),0,1,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 5,设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率 解：设该乘客于7时 X 分到达此站,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 5（续）,令：B= 候车时间不超过5分钟 ,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章
6、 随机变量及其分布,例 6,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 6（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,2)指 数 分 布,如果随机变量 X 的密度函数为,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,指数分布的分布函数,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 7,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 7（续）,令：B= 等待时间为1020分钟 ,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二
7、章 随机变量及其分布,小结： 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。特别是,2 均匀分布的定义及性质。 3 指数分布的定义。,3)正 态 分 布,x,f (x),0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,密度函数的验证,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布密度函数的图形性质,x,f (x),0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布密度函数的图形性质（续）,返回主目录,3连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,x,f (x),
8、0,正态分布密度函数的图形性质（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,x,f (x),0,正态分布密度函数的图形性质（续）,x,f (x),0,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不
9、具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布的计算：,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,标准正态分布的计算（续）,x,0,x,-x,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,一般正态分布的计算,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,一般正态分布的计算,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,一般正态分布的计算（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法,例 8,返回主目录,
10、4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例9,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 10,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,例 10（续）,返回主目录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,=1.645,=2. 575,= -1.645,= -2. 575,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,4 正态分布的密度函数及几何性质。 5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。 6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。,小结： 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。特别是,2 均匀分布的定义及性质。 3 指数分布的定义。,
