1、连续型随机变量及其分布,第二章,一、连续型随机变量的定义,二、常用的连续型随机变量,第四节,一、连续型随机变量的定义,定义1. 设 F(X) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负,，使对任意实数,则称 X为连续型随机变量，称,为 X 的概率密度函,数，简称概率密度或密度函数。,常记为,函数,规律就得到了全面描述.,若已知密度函数，该连续型随机变量的概率分布,1. 概率密度,连续型随机变量的例子,如果随机变量X具有分布函数：,连续型随机变量的例子,则可以取非负函数：,使得：,2. 概率密度的性质, 非负性, 归一性,由于,可由下图表示,面积为1,这两条性质是判定一个函,是否为某随机变量X,的概率
2、密度函数的充要条件。,数, 对于任意实数,，有,这是因为,这里事件,并非不可能事件，但,可见,由,，不一定能推出,由,，不一定能推出,称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件., 对于任意的数,有,连续型随机变量 X 落在某区间,上的概率,在该区间上的改变量,在该区间上的积分(与端点是否在内无关),图中阴影部分, 分布函数,上连续，且密度函,数,不唯一（在个别点的值可不同）。, 概率密度,在点,处连续，则有,即,如果把概率理解为质量，,故 X 的密度,上的概率与区间长度,之比的极限。,这里，,相当于线密度。,区间,在,这一点的值，恰好是 X 落在,这表示 X 落在小区间,上的概率近似地等于,
3、若不计高阶无穷小，有：,在连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的作用,相类似。,解,例1,求下列函数是否为概率密度函数,是显然的；,故 f(x) 可以作为密度函数。,解,例2,解,解 由,得,则,当,时，,当,时，,得,当,时，,所以,由于f(x)是分段表达的， 求F(x)时注意分段求.,例 5,设 连续型随机变量X的概率密度函数为,解：由密度函数的性质,概率密度函数图形,例 6,设随机变量X的概率密度函数为：,求随机变量X的分布函数。,解：根据连续型随机变量的分布函数的积分表示可得：,综上得分布函数为：,分布函数,离散型r.v的 分布函数,连续型r.v的 分布函数,分
4、布函数 的性质,概率分布律 与分布函数 的关系,概率密度与分 布函数的关系,二、几种常用的连续型随机变量,1. 均匀分布,定义 若随机变量X 的概率密度为：,则称 X 服从区间a, b上的均匀分布，记作,均匀分布的密度函数的验证,设,，其中,是其密度函数，则有,由此可知,确是密度函数。,因为,均匀分布的概率背景,可分析它的实际背景: 几何概型,均匀分布的分布函数,由于,由上可知均匀分布的分布函数为,图形如下,解,依题意， X U 0, 30 ,以7:00为起点0，以分为单位,随机变量，,例1 某公共汽车站从上午7时起，,每15分钟来一班车，,即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻
5、有汽车到达此站，,如果乘客到达此站时间X 是7:00 到 7:30 之间的均匀,试求他候车时间少于5分钟的概率.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3。,解,因为当,时，方程有实根，故所求,概率为,而X的概率密度为,从而, 指数分布,若随机变量X 的概率密度为：,指数分布。,为常数，则称随机变量X服从参数为,其中,的,概率密度的图形,指数分布的分布函数为,密度函数的验证,解,(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两,.电子元件的寿命X(年）服从3的指数分布,例3,(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。,年的概率为多少？,由已知得 X 的概率密度为,解,由题意知,，
6、其中,现在 X 的概率密度为,例4 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟),X 服从指数为,的指数分布。若等待时间超过10,分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。 以 Y,表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y,的分布律及至少有一次没有等到服务的概率,因此,所以 Y 的分布律为,于是,例 5,令：B= 等待时间为1020分钟 , 正态分布,例：在大量重复试验中，,得到一组数据，,这组数据,虽然有波动，,但总是以某个常数为中心。偏离中心越,近的数据越多；,偏离中心越远的数据越少。,取值呈“中间大、两头小”的格局，,即取值具有对称性。,此随机变量是一个服从正态分布的随机变
7、量。,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布在十九世纪前叶由高,德莫佛,首次露面。,高斯,德莫佛最早发现了二项分布概率的一个,近似公式，,这一公式被认为是正态分布的,斯加以推广，所以通常称为高斯分布。,. 正态分布的定义,定义1 设连续型随机变量的概率密度为,其中,为常数，则称 X 服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为,定义2 当,时，X 的概率密度为,则称 X 服从标准正态分布，记为,的图形如下图所示,以上钟形曲线叫做正态曲线，故满足以下特性。,. 正态分布概率密度的几何形态（性质）,证,计算,法一（利用函数）,有,故,所以,偶倍奇零,可以直接引用,计算,法二（利用
8、高数知识）,令,，则,设,，故,，故,代入得,可以直接引用, 曲线关于,对称，,，有（如下图）,这表明对于任意, 当,时，f (x) 取得最大值,x离越远，f (x) 的值就越小。, 曲线,在,处有拐点；,曲线,以,轴为渐近线，, 若 固定，而改变的值，,则 f (x) 的图形沿 x 轴平行移动，,但不改变其形状，因此,定。（如右图）,的图形的位置完全由参数所决,决定了图形中峰的陡峭程度，,正态分布由它的两个参数 和唯一确定，当和 不同时，是不同的正态分布。,称为形状参数。,. 正态分布的分布函数,设,，X 的分布函数是,而,，即 X 服从标准正态分布的分布,的分布函数为,当x 时,可直接查表
9、求,当x 时 ,如右图,可得,例1,解,设随机变量,，试求,.,.,.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X 的取值几乎全部集中在-3,3区间内，,当 XN(0,1) 时，,3准则,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。,. 正态分布标准化,一般地，若,，我们只要通过一个线性变,换就能将它化成标准正态分布。,定理1 若随机变量,，则,证,要求,的分布函数,标准正态分布的分布函数,所以,结论, 若,，则它的分布函数可以写成, 若,解,例2,设随机变量,，试求：,，,例2,设随机变量,，试求：,，,，,解,解,例3,查表得,查表得,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以
10、下来设计的.设男子身高XN (170,62),问车门高度应如何确定?,解 设车门高度为h cm,按设计要求,即,因为 XN( 170, 62 )，,0.99,故,查表得,例4,即 设计车门高度为184厘米时，,可使男子与车门碰头机会不超过0.01。,将3准则推广到一般的正态分布，,时，,可以认为，,Y 的取值几乎全部集中在,的区间内。,这在统计学上称为,准则”,当,例5 设,解 由图形可得,因为,由图可知,所以查表可得,故,随机变量的函数的分布,第二章,一、离散型随机变量的函数的分布,二、连续型随机变量的函数的分布,第五节,随机变量的函数,设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X), 则Y
11、,也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值为y=g(x),本节的任务：,已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布(分布律或分布密度),一、离散型随机变量的函数的分布,当X为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随,机变量，并且在X分布律已知的情况下，求Y的分布,律是很容易的。,例1. 已知X 的分布律为,求Y=2X1，Z=X21的分布律。,解 ,故Y的分布律为,故Z 的分布律为,注意, 设,互不相等时，则,由,可得, 当,，则把那些相等的值合并，,并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y 的分布律。,例2. 设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似,服从参数为,的正
12、态分布，奖金方法规,定，若在100天内完成，则得超产奖10000元；若在,若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完,成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成,这项工程时，奖金额Y的分布律。,解 依题意,可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。,则Y的分布律为,. 分布函数法（一般的函数都适用）, 先求,的分布函数, 再利用,的分布函数与概率密度之间,的关系求,的概率密度为,三、连续型随机变量的函数的分布,解 先求 Y =2X +8 的分布函数,得 Y =2X +8 的概率密度为,设X U(1,1)，求Y=X 2的分布函数与概率密度。,例4,解 由已知得,则Y的分布函
13、数,当y0时，,; 当y1时，,当0y1时，,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明: 设Y的分布函数是G(y),于是,对y1, G(y)=1;,对y0 , G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X) y),=P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见, Y 服从0，1上的均匀分布.,设X U(1,2)，求Y=X2的分布函数与概率密度。,例5,解 由已知得,则Y的分布函数,当y0时
14、，,; 当y4时，,当0y1时，,当1y4时，,所以Y 的分布函数为,上式对Y 求导，即得,的概率密度为,. 公式法（只适用于单调函数）,定理 设 随机变量X具有概率密度,处处可导,且是严格单调函数,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，与具体题中再定。,注： 只有当g( x)是x的严格单调可导函数时，才可用以上公式；, 注意定义域的选择。,例如 在例3中，用公式法,故g(x)严格单调增，其反函数为,例6. 设,证明Y=aX+b也服从正态分布(a0),解 Y=aX+b关于x严格单调，反函数为,故,而,故,由上式可知,特别地，取,得,注：当f (
15、x)在(a , b)外取值为 0 时，只要求y = g ( x )在,(a , b)上单调就可用公式。,单调增，,单调减，,解,反函数,当,时,故,分布函数法：注意到,而,求导得:,知识小结,一、研究对象：随机变量（随机试验结果数量化）,二、分布函数的性质,离散型,连续型,单调不减性,连续性,右连续性,三、分布律和概率密度函数的性质,离散型,连续型,四、几种重要的分布,四、几种重要的分布,离散型,连续型,(01)分布 二项 分布 泊松 分布 几何分布 超几何分布,均匀分布 指数 分布 正态 分布 标准正态分布,五、常见的题型,求解：分布律、概率密度、分布函数（相互求解）,随机变量函数的分布（离散、连续）,
