随机变量的分布函数PPT课件

1、随机变量的分布函数,1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数F(x)=P(Xx), x为随机变量X的分布函数.,(1) 0F(x)1, x,(2) F(x)是x的单调不减函数;(3),(4) F(x)有至多可列个间断点, 且在间断点处右连续, 即:F(x+0)=F(x)(5) P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0),2. 分布函数的性质:,一、分布函数, 求X的分布函数.,解: (1) 当x0时,= 0,(2)当0x1时,= P(X=0) = 0.3,(3)当1x时,= P(X=0)+P(X=1) = 1,3. 离散型随机变量X的分布函数,离散型随机变量X的分布函数的性质(1)分布函数是分段函数, 分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间;(2)函数值。

2、第3节 连续型随机变量,二、常见随机变量的分布,一、连续型随机变量的分布函数,下页,2.3 连续型随机变量,定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积 函数f(x)，对任意实数x有,则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为 概率密度或密度函数或密度.,二、性质,下页,几何意义：f(x)下方x轴上方所围面积为1,一、定义,(4) 在f(x)的连续点处有,(5) 连续型随机变量取任何实数值 a 的概率等于0 .即PX=a=0,由性质(5)可得,下页,例1.设随机变量X的密度函数为,求 (1)常数a;,(2)分布函数F(x).,解: (1)由,解得 A=1/2.,下页,三、分。

3、2.1随机变量与分布函数,设随机变量x的分布函数为,随机变量的分布函数,设连续型随机变量x的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,二维随机变量分布函数,设随机变量(x,y)具有分布函数,随机变量x的分布函数,设离散型随机变量x的分布函数为,连续型随机变量的分布函数。

4、2.3 分布函数,为了对离散型的和连续型,的随机变量，以及更广泛类型,的随机变量,给出一种统一的描述方法，,引进了分布函数的概念.,一、分布函数的定义,设X是一个随机变量，,对任意的实数x,随机变量X的取值落入区间,内的概率为,称F(x)为X的分布函数.,对任意,分布函数的性质：,即F(x)右连续,该函数满足性质(1)-(4),某函数是某随机变量分布函数,例,设F1(x)与F2(x)分别为随机变量,X1与X2的分布函数,F(x)=aF1(x)+bF2(x)是某一,为使,随机变量的分布函数,求a、b,解：,F1(x)与F2(x)为分布函数，则,F(x)=aF1(x)+bF2(x)为分布函数,二.离散随机变量的。

5、4.5 随机向量函数的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2, ,一、 的分布,解 依题意,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度为。

6、2 4 随机变量函数的概率分布 1 随机变量函数的概念 设是已知连续函数 为随机变量 则函数也是一个随机变量 称之为随机变量的函数 2 离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量的分布律为 则在随机变量的取值 不同的情况下 其分布律为 但是 若 有相同的情况 则需要合并为一项 故Y的分布律为 有时我们只求Y g X 在某一点y处取值的概率 有 即把满足的 所对应的概率相加即可 3 连续型随机变量函。

7、1.6随机变量的函数,一、随机变量的函数,定义：设有一实函数 以及随机变量 ，定义一个新的随机变量 ，称随机变量 是随机变量 的函数。,问题：已知 的统计特性，求 的统计特性。,若g(x)为单调连续函数：,1.6随机变量的函数,二、一维随机变量函数的分布,雅可比(Jacobi),例、设随机变量X与随机变量Y的关系为 a,b is constant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,如果,正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。,若g(x)为非单调函数：,1.6随机变量的函数,其中,例2、设平方律检波器的输入输出关系为 求Y的概率密度。,1。

8、定义2 设X为一个随机变量，对任意实数x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 基本性质：(1) F(x) 单调不降；(2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3) 右连续.,2.3 随机变量的分布函数与连续型的随机变量,F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .,其中 .,例2.3.1,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函数.,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.3.2,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.,定义3,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，。

9、随机变量函数的分布,随机变量的函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题, 例:, 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。,的分布。, 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：,背景,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。,若X为离散型 随机变量, 其分布律为,则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为,如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加,离散随机变量的函数的分布。

10、08.随机变量的函数的分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的概率论与数理统计第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量的统计规律性出发研究因变量 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机XY变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较。

11、第五节 随机变量的函数的分布,问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 小结 布置作业,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解： 当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，,而且X 取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相。

12、二、随机变量的概念,一、随机变量的引入,三、小结,第一节 随机变量,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,1. 为什么引入随机变量?,一、随机变量的引入,实例1 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,2. 随机变量的引入,实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,S=红色、。

13、1.5 随机变量函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,例1 设随机变量X的概率分布为,求 Z=X2,若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得.,一 、离散型随机变量函数的分布,解 将X所有可能的取值一一代入函数,Z的概率分布为,例1 设随机变量X的概率分布为,求Z=X2的分布律,首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值,如果yi(i=1,2,)的值各不相等，则Y的概率分布为,如果 yi=g(xi)(i=1,2,)中出现m(2)个相同的函数值，即存在,则在Y的分布列中，取。

14、第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.4 随机变量函数的分布,2.1 随机变量及其分布函数,一、随机变量的引入 二、随机变量的概念 三、随机变量的分布函数 四、随机变量的分类,1. 为什么引入随机变量?,一、随机变量的概念引入,2. 随机变量的引入,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表。

15、3.4 随机变量函数的分布,求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若Xf(x), - x +,(1) 确定Y的取值范围R(Y)；,（2）求Y的分布函数, 任意y R(Y) ，FY (y) PYyP g(X) y,（3）对分布函数求导，,(4) 最后总结，,3.4.1一维随机变量函数的分布,此法也叫“分布函数法”.,例：设随机变量,求Y=3X+5的概率密度。,解 先求Y=3X+5的分布函数FY(y),Y的概率密度函数为,平方变换公式,定理 设随机变量X有密度函数fX(x)，,若Y=X2，则有,当y0时,当y 0时,证明：对于Y=X2有,例.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度 （补充直接使用公式）。,当y0时,当y 1时,当0y1时,。

16、一、分布函数的概念,二、分布函数的性质,三、例题讲解,第三节 随机变量的分布函数,对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率.,分布函数,一、分布函数的概念,例如,1.概念的引入,2.分布函数的定义,说明,(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,函数,解,解,分布函数的性质,事实上,有,且,注意,重要公式,例,解:(1),例,解:(2),用分布函数表示概率,计算,练习,解,例1,计算,练习,解,例1,一般,即,分布函,其跳跃值为,请同学们思考,不同的随机。

17、3.4 随机变量函数的分布,一、单个随机变量函数的分布,一般解法,而事件：,即：,即：,所以有,其中f(x)y是积分区域x：f(x)y的简写。,如果 是连续型分布，则利用d.f与p.d.f之间 的关系，可得：,【例1】,【解】,定义1,由此可知：本例中,，则,一般地，求连续型R.V函数的p.d.f有如下的定理：,定理,【例2】,【解】,【例3】,【解】,二多维R.V.函数的分布 1.预备知识【引理】R.V.相互独立对 一切一元波雷尔点集 有P = .【定理*】如果n个R.V. 相互独立,且 是一元波雷尔函数，那么 也相互独立.,2.多维随机变量的函数的分布设 = 是一个n维R.V.， 是n元。

18、5 随机变量的函数的分布,离散型 连续型 定理及其应用,随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,一、离散型随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,X,，,P,，,，,，,，,，,n,y,y,y,2,1,第 一 种 情 形,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,第 二 种 情 形,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g (X)的分布律.,例 1,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,解：,的分布律为,设。

19、一、定义：,如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率.,第三讲 随机变量的分布函数,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研。

20、1,二、常见连续型随机变量的分布,1. 均匀分布,2,由上式求得X的分布函数:,若XUa, b, c, c+la, b, 有:,P(cXc +l ),3,即 X 落在(a,b)内任何长为 l 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比.(均匀性),应用场合,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。,4,解,则有实根的概率为,例3,5,题 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,。