1、5 随机变量的函数的分布,离散型 连续型 定理及其应用,随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,一、离散型随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,X,，,P,，,，,，,，,，,n,y,y,y,2,1,第 一 种 情 形,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,第 二 种 情 形,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g (X)的分布律.,例 1,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,解：,的分布律为,设离散型随机变量,X,例
2、 1（续）,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,这些取值两两互不相同,由此得随机变量,设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律.,解: Y 有可能取的值为,且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1，,例 2,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,0，1，4.,所以, PY=0,=PX=1=0.1,同理, PY=1,PY=4,所以，Y=(X-1)2 的分布律为：,Y=(X-1)2,例 2（续）,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,= PX= -1= 0.2,例
3、 3,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,的分布律,试求随机变量,Y,例 3（续）解:,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,二、连续型随机变量函数的分布,解 题 思 路,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,设随机变量 X 具有概率密度：,试求 Y=2X+8 的概率密度.,解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：,例 4,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）得到,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,整理得 Y=2X+8 的概率密度为：,本例用到变限的定积分的求导公式,例 4（续）,5 随
4、机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,设随机变量 X 具有概率密度,求 Y = X 2 的概率密度.,解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：,例 5,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,例 5（续）,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,例如,设 XN(0,1),其概率密度为：,则 Y = X 2 的概率密度为：,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,定理 设随机变量 X 具有概率密度,则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 ，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即,5 随机变量的函数的分布,第二章
5、随机变量及其分布,定理（续）,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,例 6,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,例 6（续）,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,证: X 的概率密度为,例 7,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,由定理的结论得：,例 7(续),5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,小结： 1 一般情形下求随机变量函数的分布。 2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。,重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方 法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的 概率密度。,1 会用随机变量表示随机事件。2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。5 会求随机变量的简单函数的分布。,本章要求：,第二章 随机变量及其分布,
