1、1.1.2 余弦定理,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,点击进入 【情境导学】,1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们夹角的 的积的两倍.即 c2= ,b2= , a2= .,平方和,余弦,a2+b2-2abcos C,a2+c2-2accos B,b2+c2-2bccos A,2.余弦定理的变形 cos A= ,cos B= , cos C= .,3.运用余弦定理可以解决三类解三角形问题 (1)已知三边,求 . (2)已知 和它们的 ,求第三边和其他两个角. (3)已知两边及一边对角,求第三边. 【拓展延伸】 1.余弦定理及证明 (1)余弦
2、定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC中,有 a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.,三角,两边,夹角,特别提示 (1)余弦定理揭示了任意三角形中边角间的关系,是解三角形的重要工具,适用于任意三角形. (2)当C=90时,cos C=0,有c2=a2+b2,由此可知,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的一种特殊情况. (3)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.,(2)教材中利用几何法通过构造直角三角形,利用勾股定理证明了余弦定理
3、,对定理的证明还可以有以下方法:,解析法: 以A为原点,AC为x轴建立直角坐标系,如图,则可得点A、C坐标分别为A(0,0), C(b,0).,2.应用余弦定理解三角形 (1)余弦定理及其变形是解三角形的重要工具.利用余弦定理可以解决以下两类问题: 已知三边求三个角;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 这两种情况由三角形全等的判定定理知三角形是确定的,所以解也是唯一的. (2)在解三角形时,正弦定理和余弦定理是相通的.如:已知两边和其中一边的对角,解三角形时,用正弦定理可求解,但需判别解的情况;也可用余弦定理求解.若已知a、b和A,可先由余弦定理求出c,列式为a2=b2+c2-2bc
4、cos A,则关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数.,自我检测,(A)30 (B)45 (C)60 (D)75,A,A,3.ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则ABC是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)非钝角三角形,C,4.(2017江苏淮安高一期末)在ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,如果abc=234,那么cos C= .,类型一,已知三边,求解三角形,课堂探究素养提升,思路点拨:已知三角形三边的比,可设出三边的长,从而问题转化为已知三边求三角,可利用余弦定理求解.,方法技巧 根据已知条件,设出三边的长,然后用余弦定理求解是解题的关键
5、,在求出角A后,也可用正弦定理求角B,但要注意讨论解的情况.,变式训练1-1:在ABC中,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,求ABC的最大内角的正弦值.,类型二,已知两边及夹角,求解三角形,【例2】 在ABC中,已知a=2,b=2 ,C=15,求A、B和边c的值.,思路点拨:由于角C为边a、b的夹角,可直接用余弦定理求出边c,再求角A、B.,方法技巧 利用余弦定理求出c后,再利用正弦定理求角时,需讨论确定角的值,一般先求较小的角,这样可避免检验或错解.而求出c后,如果用余弦定理求角,可避免讨论.,变式训练2-1:在ABC中,已知b=6,c=6 ,A=30,求a、B、C及面积S.,类型
6、三,判断三角形的形状,【例3】 在ABC中,已知角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)= 3ab,且2cos Asin B=sin C,试判断ABC的形状.,思路点拨:已知条件中含边的关系式和角的三角函数形式.因此可将边的关系式变形后使用余弦定理,将角的三角函数式利用正弦定理转化为边,结合余弦定理化简.,法二 因为A+B+C=180, 所以C=180-(A+B), 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. 又2cos Asin B=sin C, 所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以
7、sin(A-B)=0. 又因为A,B(0,180),所以A-B=0, 即A=B,所以a=b; 因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab, 所以4a2-c2=3a2,a2=c2,所以a=c, 所以a=b=c,ABC是等边三角形.,方法技巧 三角形问题中,若已知条件中含边的平方式的和或差,常利用余弦定理及其变形式求解.,变式训练3-1:在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.,类型四,余弦定理的综合应用,方法技巧 三角形与向量联系时,特别注意向量的夹角与三角形的内角是否相同.,(1)求sinBAD;,(2)求BD,AC的长.,类型五,易错辨析,【例5】 (2017四川成都外国语学校高一期中)锐角ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围为( ),纠错:错解中忽视了已知条件中锐角三角形的条件,即由cos A0,只能推出A为锐角而不能推出角B,角C为锐角.,点击进入 课时作业,谢谢观赏！,
