1、第三章 随机变量与概率分布,随机变量及其种类 概率分布 正态分布 二项分布,随机变量及其种类,随机变量（random variable） 在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量 分类 离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重,概率分布,概率函数(probability function) 随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量） 概率密度函数(probability density function) 随机变量取某一特
2、定值的密度函数（连续型随机变量） 概率分布函数(probability distribution function) 随机变量取值小于或等于某特定值的概率,离散型随机变量的概率分布,概率函数,X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值,概率分布函数,离散型随机变量的概率分布,例1：掷一次骰子所得点数的概率函数,概率分布列,离散型随机变量的概率分布,例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布,离散型随机变量的概率分布,概率分布图,离散型随机变量的概率分布,随机变量的期望(expectation) - 总体平均数,对于例1：,离散型随机变量的概率分布,期望的性质,(a是常量),1. 2. 3. 4.
3、,（当X和Y彼此独立）,离散型随机变量的概率分布,随机变量的函数的期望,设H(X)是随机变量X的某个函数,例：,对于例1：,离散型随机变量的概率分布,随机变量的方差(variance) - 总体方差,对于例1：,离散型随机变量的概率分布,方差的性质 1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立） 4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y ),/,连续型随机变量的概率分布,概率密度函数 满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变量X的概率密度函数:,(
4、x是X的任一可能取值),连续型随机变量的概率分布,概率分布函数,期望,方差,连续型随机变量的概率分布,正态分布（normal distribution） 具有如下概率密度函数的随机变量称为正态分布随机变量：, = 期望 2 = 方差,（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）,正态分布,正态分布概率密度函数的几何表示,正态曲线,f (x),x,曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率,正态分布,正态分布的特点 只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 决定曲线在x 轴上的位置
5、决定曲线的形状,正态分布,平均数的影响,标准差的影响,正态分布,标准正态分布(standard normal distribution),令,Z服从正态分布,标准正态分布,对于,标准化,正态分布,标准正态分布的概率密度函数,0,正态分布,标准正态分布的概率计算附表1 (p. 274),正态分布,(1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u 0),直接查表,正态分布,(2) P( Z -u) 或 P(Z u),查表,正态分布,(3) P( a Z b),或,例：设 Z N(0, 1)，求(1) P(Z 0.64)(2) P(Z 1.53)(3) P(-2.12 Z -0.53)(4) P(-
6、0.54 Z 0.84),正态分布,正态分布,P( -1 Z 1) = 68.26% P( -2 Z 2) = 95.45% P( -3 Z 3) = 99.73% P( -1.96 Z 1.96) = 95% P( -2.58 Z 2.58) = 99%,几个特殊的标准正态分布概率,正态分布,68.3%,95.5%,99.7%,正态分布,对于给定的两尾概率求标准正态分布在x轴上的分位点 附表2 （p. 276）,/2,/2,正态分布,用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位点u,对于给定的一尾概率求标准正态分布在x轴上的分位点,正态分布,一般正态分布的概率计算 转换为标准正态分布计算,例：
7、设 X N(30, 102)，求P(X 40),X N( , 2),正态分布,P( - X + ) = 68.26% P( - 2 X + 2 ) = 95.45% P( - 3 X + 3 ) = 99.73% P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95% P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99%,几个特殊的一般正态分布概率,正态分布,-3 -2 - + +2 +3,x,68.3%,95.5%,99.7%,偏度与峭度,偏度（skewness）度量一个分布的对称性的指标,峭度（kurtosis）度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标,（总体）,（样本）,（总体）,（样本）,离散型随机变量的概率分布,二项分布（binomial distribution） 假设：1. 在相同条件下进行了n次试验2. 每次试验只有两种可能结果（1或0）3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p4. 各次试验彼此间是独立的在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2，n）服从二项分布，表示为,离散型随机变量的概率分布,二项分布的概率函数,二项分布的期望,二项分布的方差,离散型随机变量的概率分布,例3：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其中有2头公猪和6头公猪的概率。,产公猪头数的期望值：,产公猪头数的方差：,习题,P.36 2，3，5，6，7,
