1、 一次函数复习专题【基础知识回顾】一、 一次函数的定义:一般的：如果 y= （ ），那么 y 叫 x 的一次函数特别的：当 b= 时，一次函数就变为 y=kx(k0)，这时 y 叫 x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当 b=0 时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数 y=kx+b 的同象是经过点（0，b） （- ，0）的一条 bk，正比例函数 y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数 y= kx(k0)，当 k0 时，
2、其同象过 、 象限，此时时 y 随 x 的增大而 ；当 k0 b0 过 象限、k0 b0 过 象限、k0 过 象限4、若直线 l1：y= k1x+ b1 与 l2：y= k2x+ b2 平行，则 k1 k2，若 k1k2，则 l1 与 l2 【名师提醒：y 随 x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数 y= kx+ b 中的字母 与 的值步骤：1、设一次函数表达式2、将 x，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一
3、元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将 x= 或 y 代入 y= kx+ b中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b0 或 kx+ b0 即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的 x 的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五
4、、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式 3、确定自变量的取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例 1 （2015大庆）对于函数 y=-3x+1，下列结论正确的是（ ）A它的图象必经过点（-1，3）B它的图象经过第一、二、三象限C当 x1 时，y0Dy 的值随 x 值的增大而增大对应训练1 （2015徐州）下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（ ）Ay=2x+8 By=-2+4x Cy=-2x+8 D
5、y=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例 2 （2015莆田）如图，一次函数 y=（m-2）x-1 的图象经过二、三、四象限，则 m 的取值范围是（ ）Am0 Bm0 Cm2 Dm2例 3 （2015遵义）P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是正比例函数 y=- x 图象上的12两点，下列判断中，正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2C当 x1x 2时，y 1y 2 D当 x1x 2时，y 1y 2对应训练2 （2015眉山）若实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 abc，则函数 y=cx+a 的图象可能是（ ）A B CD3 （2015福州）A，B 两点在一次
6、函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为 A（x+a，y+b） ，B（x，y） ，下列结论正确的是（ ）Aa0 Ba0 Cb=0 Dab0考点三：一次函数解析式的确定例 4 （2015常州）已知一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k0）的图象经过点 A（0，-2）和点 B（1，0） ，则 k= ，b= 对应训练4 （2013重庆）已知正比例函数 y=kx（k0）的图象经过点（1，-2） ，则这个正比例函数的解析式为（ ）Ay=2x By=-2x Cy= x Dy=- x212考点四：一次函数与方程（组） 、不等式（组）的关系例 5 （2015黔西南州）如图，函数 y=2x 和 y=ax
7、+4 的图象相交于点 A（m，3） ，则不等式 2xax+4 的解集为（ ）Ax Bx3 Cx Dx332 32例 6 （2015荆州）体育课上，20 人一组进行足球比赛，每人射点球 5 次，已知某一组的进球总数为 49 个，进球情况记录如下表，其中进 2 个球的有 x 人，进 3 个球的有 y 人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）进球数 0 1 2 3 4 5人数 1 5 x y 3 2Ay=x+9 与 y= x+ By=-x+9 与 y= x+ 232Cy=-x+9 与 y=- x+ Dy=x+9 与 y=- x+ 3思路分析：根据一共 20 个人，进球
8、49 个列出关于 x、y 的方程即可得到答案解：根据进球总数为 49 个得：2x+3y=49-5-34-25=22，整理得：y=- x+ ，2320 人一组进行足球比赛，1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=-x+9故选 C点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式对应训练5 （2015武汉）直线 y=2x+b 经过点（3，5） ，求关于 x 的不等式 2x+b0 的解集6 （2015青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数 y=-x+1 的图象相交于点 P，则这个正比例函数的表达式是 考点五：一次函数综合题例 7 （2015绥化）如图，
9、直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过 A，C 两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x2-14x+48=0 的两个实数根（1）求 C 点坐标；（2）求直线 MN 的解析式；（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标（1）C（0，6） ；（2）直线 MN 的解析式为 y=- x+6；34（3）A（8，0） ，C（0，6） ，根据题意知 B（8，6） 点 P 在直线 MNy=- x+6 上，34设 P（a，- a+6）如图，当以点 P，B，C 三点为
10、顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3） ；当 PC=BC 时，a 2+（- a+6-6） 2=64，34解得，a= ，则 P2（- ， ） ，P 3（ ， ） ；5556当 PB=BC 时， （a-8） 2+（- a+6-6） 2=64，解得，a= ，则- a+6=- ，P 4（ ，- ） 6234综上所述，符合条件的点 P 有：P 1（4，3） ，P 2（- ， ） ，P 3（ ， ） ，354256P4（ ，- ） 5对应训练7 （2015齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线 l 分别交 x 轴
11、、y 轴于A、B 两点（OAOB）且 OA、OB 的长分别是一元二次方程 x2-（ +1）x+ 3=0 的两个根，点 C 在 x 轴负半轴上，且 AB：AC=1：23（1）求 A、C 两点的坐标；（2）若点 M 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动，连接 AM，设ABM 的面积为 S，点 M 的运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由7解：（1）x 2-（ +1）x+ =0，3（x-
12、 ） （x-1）=0，3解得 x1= ，x 2=1，OAOB，OA=1，OB= ，3A（1，0） ，B（0， ） ，AB=2，又AB：AC=1：2，AC=4，C（-3，0） ；（2）由题意得：CM=t，CB=2 3当点 M 在 CB 边上时，S=2 -t（0t2 ） ；3当点 M 在 CB 边的延长线上时，S=t-2 （t2 ） ；（3）存在，Q 1（-1，0） ，Q 2（1，-2） ，Q 3（1，2） ，Q 1（1， ） 23考点六：一次函数的应用例 8 （2015株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间 x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线
13、段，直线CD 平行 x 轴） （1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线 AC 的解析式，并求该植物最高长多少厘米？对应训练8 （2015湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游从家出发 1 小时后到达南亚所（景点） ，游玩一段时间后按原速前往湖光岩小明离家 1 小时50 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后 25 分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及 CD 所在直线的函数解析式【聚焦山东中考】1 （2015菏泽）一条直线 y=k
14、x+b，其中 k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（ ）A第二、四象限 B第一、二、三象限C第一、三象限 D第二、三、四象限2 （2015潍坊）设点 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2）是反比例函数 y= 图象上的kx两个点，当 x1x 20 时，y 1y 2，则一次函数 y=-2x+k 的图象不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （2015潍坊）一次函数 y=-2x+b 中，当 x=1 时，y1，当 x=-1 时，y0则 b 的取值范围是 4 （2015泰安）把直线 y=-x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限，则 m
15、 的取值范围是（ ）A1m7 B3m4 Cm1 Dm45 （2015威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距 20km 的 A，B 两地出发，相向而行图中 l1，l 2分别表示甲、乙两辆摩托车到 A 地的距离 s（km）与行驶时间t（h）的函数关系则下列说法错误的是（ ）A乙摩托车的速度较快B经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A，B 两地的中点C经过 0.25 小时两摩托车相遇D当乙摩托车到达 A 地时，甲摩托车距离 A 地 km5036 （2015临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元当该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数
16、关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x（单位：台） 10 20 30y（单位：万元台） 60 55 50（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元台）之间满足如图所示的函数关系该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润 （注：利润=售价-成本）6解：（1）y=- x+6512该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台，10x70；（2）由题意，得xy=2000，- x2+65x=2000，1-x2+
17、130x-4000=0，解得：x 1=50，x 2=8070（舍去） 答：该机器的生产数量为 50 台；（3）设每月销售量 z（台）与售价 a（万元台）之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得， 解得： ，517kb-190kbz=-a+90当 z=25 时，a=65当 x=50 时，y=40总利润为：25（65-40）=625 万元答：该厂第一个月销售这种机器的利润为 625 万元7 （2015滨州）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线 l1的函数表达式为 y=x，请直接写出过原点且与 l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角
18、为 30求直线 l3的函数表达式；把直线 l3绕原点 O 按逆时针方向旋转 90得到的直线 l4，求直线 l4的函数表达式（3）分别观察（1） （2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y=- x 垂直的直线 l5的函数表达式157解：（1）根据题意得：y=-x；（2）设直线 l3的函数表达式为 y=k1x（k 10） ，过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30，直线过一、三象限，k 1=tan30= ，直线 l3的函数表达式为 y= x；3l 3与 l4的夹角是为 90，l 4与
19、x 轴的夹角是为 60，设 l4的解析式为 y=k2x（k 20） ，直线 l4过二、四象限，k 2=-tan60=- ，3直线 l4的函数表达式为 y=- x；3（3）通过观察（1） （2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线 y=- x 垂直的直线 l5的函数表达式为 y=5x158 （2015济宁）如图，直线 y=- x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x2交于点 C在线段 OA 上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动，当点
20、 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC于点 E、F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？（2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？（3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值8解：（1）直线 y=- x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，12x=0 时，y=4，y=0 时，x=8， ，42BOA当 t 秒时，QO=FQ=t，则 EP=t，EPBO， ，12BOEPAAP=2t，动点 Q 以每秒 1 个单位
21、长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度；（2）如图 1，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8-t-2t=8-3t，8-3t=t，解得：t=2，如图 2，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=8-2t，QP=t-（8-2t）=3t-8，t=3t-8，解得：t=4；（3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8-t-2t=8-3t，S 矩形 PEFQ=QPQF=（8-3t）t=8t-3t 2，当 t=- 时， 842(3)S 矩形 PEFQ
22、的最大值为： ，24(3)0816如图 2，当 Q 在 P 点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t-（8-2t）=3t-8，S 矩形 PEFQ=QPQE=（3t-8）t=3t 2-8t，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，0t4，当 t=- 时，S 矩形 PEFQ的最小，842(3)t=4 时，S 矩形 PEFQ的最大值为：34 2-84=16，综上所述，当 t=4 时，S 矩形 PEFQ的最大值为：16【备考真题过关】一、选择题1 （2015湖州）若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2） ，则 k 的值为（ ）A- B-2 C D222 （2015陕西）如果一个正比
23、例函数的图象经过不同象限的两点 A（2，m） ，B（n，3） ，那么一定有（ ）Am0，n0 Bm0，n0 Cm0，n0 Dm0，n03 （2015荆门）若反比例函数 y= 的图象过点（-2，1） ，则一次函数 y=kx-kkx的图象过（ ）A第一、二、四象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、三象限4 （2015黔东南州）直线 y=-2x+m 与直线 y=2x-1 的交点在第四象限，则 m 的取值范围是（ ）Am-1 Bm1 C-1m1 D-1m15 （2015十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油若干升，加油前、后汽车都
24、以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系如图所示以下说法错误的是（ ）A加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系是 y=-8t+25B途中加油 21 升C汽车加油后还可行驶 4 小时D汽车到达乙地时油箱中还余油 6 升6 （2015天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行他们的路程差s（米）与小文出发时间 t（分）之间的函数关系如图所示下列说法：小亮先到达青少年宫；小亮的速度是小文速度的 2.5 倍；a=24；b=480其中正确的是（ ）A B
25、 C D二、填空题7 （2015资阳）在一次函数 y=（2-k）x+1 中，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为 8 （2015天津）若一次函数 y=kx+1（k 为常数，k0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 9 （2015鞍山）在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限10 （2015珠海）已知，函数 y=3x 的图象经过点 A（-1，y 1） ，点 B（-2，y 2） ，则 y1 y2（填“” “”或“=” ）11 （2015永州）已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A（1，-1） ，B（-1，3）两点，则 k 0（填“”
26、或“” ）12 （2015昆明）已知正比例函数 y=kx 的图象经过点 A（-1，2） ，则正比例函数的解析式为 13 （2015成都）已知点（3，5）在直线 y=ax+b（a，b 为常数，且 a0）上，则 的值为 ab14 （2015包头）如图，已知一条直线经过点 A（0，2） 、点 B（1，0） ，将这条直线向左平移与 x 轴、y 轴分别交与点 C、点 D若 DB=DC，则直线 CD 的函数解析式为 15 （2015温州）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的两个顶点 A，B 的坐标分别为（-2，0） ， （-1，0） ，BCx 轴，将ABC 以 y 轴为对称轴作轴对称变换，得到ABC（A
27、和 A，B 和 B，C 和 C分别是对应顶点） ，直线 y=x+b经过点 A，C，则点 C的坐标是 16 （2015孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的8 分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完17 （2015随州）甲乙两地相距 50 千米星期天上午 8：00 小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地2 小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程 y（千
28、米）与小聪行驶的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发 小时时，行进中的两车相距8 千米三、解答题18 （2015厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的 3 分内只进水不出水，在随后的 9 分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的关系如图所示当容器内的水量大于 5 升时，求时间 x 的取值范围18解：0x3 时，设 y=mx，则 3m=15，解得 m=5，所以，y=5x，3x12 时，设 y=kx+b，函数图象经过点（3，15） ， （12，0） ， ，解得 ，1520kb532kb所以，y=- x+20，3
29、当 y=5 时，由 5x=5 得，x=1，由- x+20=5 得，x=9，5所以，当容器内的水量大于 5 升时，时间 x 的取值范围是 1x919 （2015湘潭）莲城超市以 10 元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量 y（件）与该商品定价 x（元）是一次函数关系，如图所示（1）求销售量 y 与定价 x 之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为 13 元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润19解：（1）设 y=kx+b（k0） ，由图象可知， 解得 ，052kb23kb故销售量 y 与定价 x 之间的函数关系式是：y=-2x+32；（2）超市每
30、天销售这种商品所获得的利润是：W=（-2x+32） （13-10）=-6x+9620 （2015盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求 y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）20解：（1）设现在实际购进这种水果每千克 x
31、元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得80（x+2）=88x，解得 x=20故现在实际购进这种水果每千克 20 元；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，将（25，165） ， （35，55）代入，得 ，解得 ，5163kb140kb故 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-11x+440；设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，则 w=（x-20）y=（x-20） （-11x+440）=-11x 2+660x-8800=-11（x-30） 2+1100，所以当 x=30 时，w 有最大值 1100即将这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大
32、利润，最大利润是 1100元21 （2015河北）如图，A（0，1） ，M（3，2） ，N（4，4） 动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动，且过点 P 的直线 l：y=-x+b 也随之移动，设移动时间为 t 秒（1）当 t=3 时，求 l 的解析式；（2）若点 M，N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围；（3）直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上21解：（1）直线 y=-x+b 交 y 轴于点 P（0，b） ，由题意，得 b0，t0，b=1+t当 t=3 时，b=4，故 y=-x+4（2）当直线 y=-x+b 过点 M（3，2）时
33、，2=-3+b，解得：b=5，5=1+t，解得 t=4当直线 y=-x+b 过点 N（4，4）时，4=-4+b，解得：b=8，8=1+t，解得 t=7故若点 M，N 位于 l 的异侧，t 的取值范围是：4t7（3）如图，过点 M 作 MF直线 l，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 E，则点 E、F 为点 M 在坐标轴上的对称点过点 M 作 MDx 轴于点 D，则 OD=3，MD=2已知MED=OEF=45，则MDE 与OEF 均为等腰直角三角形，DE=MD=2，OE=OF=1，E（1，0） ，F（0，-1） M（3，2） ，F（0，-1） ，线段 MF 中点坐标为（ ， ） 321直线 y=-x+b 过点（ ， ） ，则 =- +b，解得：b=2，322=1+t，解得 t=1M（3，2） ，E（1，0） ，线段 ME 中点坐标为（2，1） 直线 y=-x+b 过点（2，1） ，则 1=-2+b，解得：b=3，3=1+t，解得 t=2故点 M 关于 l 的对称点，当 t=1 时，落在 y 轴上，当 t=2 时，落在 x 轴上
