1、12.4 等比数列(第 1 课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义: 通项公式:a n=a1+(n-1)d,(nN *).前 n 项和公式:S n=na1+d,(nN *).问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,;1,;-1,1,-1,1,思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?二、信息交
2、流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第 2 项起, ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q0). 2.数学表达式: . 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?结论:等比数列各项均不为零,公比 q0.3.通项公式:等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a2q2=a1q3,2以此类推,可以得到 an用 a1和 q 表示的数学表达式吗?归纳猜测得到: . 三、运用规律,解决问题【例 1】判断下列数列是
3、否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,-,.【例 2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?【例 3】(1)一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第2 项;(2)一个等比数列的第 9 项是,公比是-,求它的第 1 项.四、变式训练,深化提高变式训练 1:已知等比数列a n中 an+1an,且 a3+a7=3,a2a8=2,则等于( )A. B. C. D.2变式训练 2:已知等比数列a n的公比为正数,且 a3a9=2,a2=1,则
4、a1等于( )A. B. C. D.23变式训练 3:在等比数列a n中,a 5=-16,a8=8,则 a11等于( )A.-4 B.4 C.-2 D.2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2.=q(nN *)3.an=a1qn-1三、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)数列的首项为 1,公比为 1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是
5、等比数列;(3)数列的首项为 1,公比为-,所以是等比数列.【例 2】解:设这种物质最初的质量是 1,经过 n 年,剩留量是 an,那么:经过 1 年,剩留量为 a1=10.84=0.84,经过 2 年,剩留量为 a2=0.84a1=0.840.84=0.842,经过 3 年,剩留量为 a3=0.84a2=0.840.842=0.843,经过 n 年,剩留量为 an=0.84an-1.因此 an构成一个等比数列a n,其中 a1=0.84,q=0.84.设 an=0.5,则 0.84n=0.5 两边取对数,得 lg0.84n=lg0.5,于是 nlg0.84=lg0.5,n=用计算器算得 n4
6、.4答:这种物质的半衰期大约为 4 年.【例 3】解:(1)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么两式相比得 q=,代入其中一个方程,得 a1=,因此,a 2=a1q=8.(2)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么 a9=a1q8,即=a 1,解得 a1=2916.四、变式训练,深化提高变式训练 1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.由 a2a8=a3a7,得解得因此=2.选 D.答案:D变式训练 2:分析:设等比数列a n的公比为 q,由已知得 a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又因为等比数列a n的公比为正数,所以 q=,故 a1=,选 B.答案:B变式训练 3:分析:设等比数列a n的公比为 q,由已知得 a8=a5q3,即 8=(-16)q3,q3=-,所以 a11=a8q3=8=-4.选 A.答案:A五、反思小结,观点提炼略
