1、1二次根式1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。如：-2x4，不等式两边同除以-2 得 x-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如3、 分式有意义的条件：分母04、 绝对值：a=a （a0） ；a= - a （a0）一、 二次根式的概念一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号。a 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”， “ ”的根指数为 2，即“
2、 ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ”。如 可以写作 。2 25 5（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3） 式子 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a0， 0。其中 a0 是 有意义a a a的前提条件。（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 ，就意味着给出了 a0 这一隐含条件。a（5） 形如 b （a0）的式子也是二次根式，b 与 是相乘的关系。要注意当 b 是分a a数时不能写成带分数，例如 可写成 ，但不能写成 2 。83 2 23 2练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） ； （2） ； （3） ；6 -18 x2+1（4） ； （
3、5） ； （6）3 ； （7） （x- ）3 -8 x2+2x+1 x 1+2x12X-2X5的解集为-2x5。2二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？（1） ； （2）2-5x 4x2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意（a0）的a性质 0a（a0）一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性（ 0，a0）应用较多，如：a+ =0，则a+1 b-3a+1=0，b-3=0，即 a= -1，b=3；又如 + ，则 x 的取x-a a-x值范围是 x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非负性的性质：a 20；a0； 0a（a0） 。（
4、3）若 a2+b+ =0，则ca=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数分别等于 0。（a0）的最a小值为 0。（ ）a2（a0）的性质（ ） 2 = aa（a0）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。正用公式：（ ） 2 =5；（5） 2=m2+1；逆用公式：若m2+1a0，则 a=（ ） 2如：2=（ ）a 22， =（ ） 212逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（ ） 2 5=(a+ )(a- )5 5的性质a2 =a=a2a（a0）或=a= a2- a（a0）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。（1）正用公式：Error!=3-=3
5、- （2）逆用公式：3 = =3化简形如 的式a2子时，先转化为a形式，再根据 a 的符号去掉绝对值号。练习：计算（1） （ ） 2 (2) （4 ） 2 (3) Error! 3（4）- （6） + （1x3）x2-2x+1 x2-6x+9（ ） 2（a0）与 的区别与联系：a a2（ ） 2a a23表示的意义不同表示非负数 a 的算术平方根的平方表示 a2的算术平方根取值范围不同 a0 a 为任意实数读法不同 读作“根号 a 的平方”或“a的算术平方根的平方”读作“根号 a2”或“a 的平方的算术平方根”被开方数不同 被开方数是 a 被开方数是 a2运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开
6、方运算结果，运算依据不同（ ） 2 =a，依据平方与开平a方互为逆运算得到依据算术平方根的定义得到区 别作用不同 （ ） 2 = a（a0） ，正向运用a可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式=a，正向运用可以将根号a2内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联 系 含有两种相同的运算，都要进行平方与开方结果都是非负数；a0 时， （ ） 2=a a2三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y， （x0） ，-ab，（t0，x 3都是代数式3
7、xst注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（，=等）（1（ 将两个代数式用关系符号（，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如 2x+33x-5 是关系式。练习：下列式子：0； 22+x=4； 1；2a+3b； (x2)，x-23 2-x其中是代数式的有（ ） 列代数式的常用方法：4（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。（2） 公式法：根据公式列出代数式。（3） 探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。练习：列代数式（1）把 a 本书平均分给若干名学生，若每人分 5 本，还余 3 本，则学生人数为（ ）（2）若
8、圆 A 的半径 r 是圆 B 的半径的 5 倍，则这两个圆的周长之和为（ ）典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1） - ； （2） ； （3） +x+5 3-2x x-3 3+x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知 a2+ =4a-4，求 的值。b-2 ab题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数 x，y 满足x-4+ =0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长y-8是（ ）题型四：利用 =a并结合数轴化简求值a2已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示。试化简： + + + -a2 b2 （ a-b） 2 （ b-1） 2 （
9、 a-1） 2题型五： =a与三角形三边关系的综合应用a2在ABC 中，a，b，c 是三角形的三边长，化简 -2c-a-b（ a-b+c） 2题型六：逆用（ ） 2 = a（a0）在实数范围内分解因式a在实数范围内分解因式：（1）x 4-4； （2）x 4-4x2+45二次根式的乘除1、 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、 单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。一、 二次根式的乘法法则 = （a0，b0）即：二次根式相乘，把
10、被开方数相乘，根指数不变a b ab（1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数 a，b 均为非负数这一条件。（2） 推广 = （a0，b0，c0）a c =aca b c abc b d bd乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。练习：（1） ；（2） ；（3）4 (4)6 （-2 ）28 7 256 xy 27 3二、二次根式乘法法则的逆用= （a0，b0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积ab a b利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。注：（1）公
11、式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0，实际上，公式中的 a，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要 ab0 即可，如 。 （2）在本章中如果没有特别说明，所有的（ -4） （ -9） -4 -9字母都表示正数。推广： = （a0，b0，c0，d0）abcd a b c d练习：化简 （1） ； （2） ；300 （ -14） （ -112）（3） ； （4） ； （5）200a5b4c3 132-122 16x4+32x2三、二次根式的除法法则6= （a0，b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。
12、若 a，b 都是负数，虽然0， 有意义，但 ， 在实数范围内无意义；若 b=0，则 无意义。ab a b ab（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如 必须先化成 ，以免出现 = 这样的错误。4（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。推广：（m ）（n ）=（mn）（ ） ，其中 a0，b0，n0。a b a b练习：计算（1） ； （2）- （ ） ；48 6 27310（3） （- ； （4）a4b 4a3b四、二次根式除法法则的逆用= （a0，b0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：公式中的 a，b
13、可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0。公式中的a，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要 0 即可。例如计算 ，不能写为ab= ，而应写为 = = = 。利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。练习：化简（1） ； （2） ； （3）五、最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。7（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。对于最简二
14、次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1。化简二次根式的一般方法 方法 举例将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 = =2 ， = =xy28 42 2 x3y4 x2y4 x x若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 = = = 或 = = = =23 3 23 3化去根号下的分母 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 = = = 或 = = = =0.9310 10 0.9 310 10被开方数是多项式的要先进行因式分解= = =（x 2+y2X5+2x3y2+xy4 x（ x4+2x
15、2y2+y4） x（ x2+y2） 2） x练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。（1） ； （2） ； （3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ；（8）0.3 a3+6a2+9a 2（ x2-y2） 32n拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式） ，化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式
16、有： 与 ； 与 ；a a a+b a+b与 ； + 与 - ；a +c 与 a -c 等。a-b a-b a b a b b d b d练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1） ；（2） ；（3） ；（4）240 1.2575a2b典型例题剖析题型一：二次根式乘除法法则成立的条件8（1（ 若 = 成立，则（ ）x+3 x-3 （ x+3） （ x-3）A、x3 B、x-3 C、-3x3 D、x 为任意实数（2）如果 = 成立，那么（ ）A、x6 B、0x6 C、x0 D、x6题型二：二次根式的化简化简：（1） ； （2） ； （3）12ab 412-402 x4+x2题型三：二次根式的乘
17、法混合运算计算：（1） 3 （-5 ） ；（2）2 （ ）2845题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：（1）5 ；（2）-3 ；（3）-2a ；（4）-a ；（5）x （x0，y0）2题型五：二次根式的大小比较比较大小：（1）7 与 3 ； （2）-2 与-32 11 11 5二次根式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如 3ab 与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。3、整式的加减：一般地
18、，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：（a+b） （a-b）=a 2-b2完全平方公式（ab） 2=a22ab+b2 5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b） （m+n）=am+an+bm+bn9一、可以合并的二次根式将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 m +n =（m+n）a a a练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1） ；（2）- ；
19、（3） ；（4） （a0，b0） ；（5）b ；2715（6）2 ； （7） （a0，b0） ； （8）3 （a0，b0） ；243二、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简判断合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法系数 系数相乘除 系数相加减被开方数 被开方数相乘
20、除 被开方数不变化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。10练习：计算：（1） +6 - 2x ；（2） （ - +2 ）-（ - 23 9x 24 0.5）6二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 。在
21、二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。练习：计算（1） （ + ） ； （2） （4 -3 ）2 ； （3） （ +2） （3 6 8 3 6 3 6-3）6（4） （5+ ） （5- ） ； （5） （ +2） 2； （6） （2 - ） 2；7 7 5 3 2典型例题剖析题型一：二次根式的化简求值问题已知 a= ，b= ，求 a2+b2+2题型二：巧解二次根式的混合运算题计算：（1） （2 - ） （ +3 ） ；（2） （ -1） 2+（ +2） 2-2（ -1） （3 18 12 2 3 3 3+2）3（3） （ + - ） 2-（ - + ） 2；（4） - 2 3 5 2 3 5
