1、福建省厦门市 2018 届高三下学期第一次质量检查（3 月）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ，故选 D.2. 已知为虚数单位， ，若 ，则 （ ）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】B【解析】故选 B.3. 甲乙两名同学分别从“象棋” 、 “文学” 、 “摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各
2、自等可能地从“象棋”、 “文学”、 “摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有 种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有 3 种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是 .故选 B.4. 已知双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，则该双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为可设双曲线的标准方程为 ，即焦距为当 时， ，即 ，则双曲线的标准方程为 ；当 时， ，即 ，则双曲线的标准方程为 .故选 C.点睛：（1）已知双曲线方程 求渐近线： ；（2）已知渐近线 ，设双曲线标准方程 .5. 设 满足约束条件 则 的最小值是（ ）A. B. 0 C.
3、1 D. 2【答案】C【解析】约束条件 对应的可行域如图所示：平移直线 ，由图易得，当经过点 时，目标函数 最小，最小值为 1.故选 C.6. 把函数 的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 的一个可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数函数把函数 的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为 .函数当 时，故选 D.7. 已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由图可得函数 的定义域是 ，当 时
4、， ，故排除 B，D 选项；由图象可得函数图象不关于原点对称，而选项 C 为奇函数，故排除 C.故选 A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 ；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图画出如图所示的直观图：该几何体是直三棱柱 ，其中 ， ， ，四边形 是正方
5、形，则将该直三棱柱补全成长方体，如图所示：该长方体的体对角线为 ，则外接球的半径为该几何体外接球的表面积是故选 A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解9. 已知 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故选 B.10. 公元 263 年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立
6、了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出 的值为 24，则判断框中填入的条件可以为（ ）(参考数据： )A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟执行程序可得： ， ，不满足条件， ， ，不满足条件， ， ，因为输出 的值为 24，则满足条件，退出循环，故判断框中填入的条件为 .故选 C.11. 矩形 中， ， 为 中点，将 沿 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：存在某个位置， ； 存在某个位置， ；存在某个位置， ； 存在某个位置， .其中正确的是（ ）A. B. C. D
7、. 【答案】C【解析】根据题意画出如图所示的矩形 ：翻折后如图： .对于，连接 ，交 于点 ，易证 ，设 ，则 ， ，所以 ，则 ，即 ， ，所以翻折后易得 平面 ，即可证 ，故正确；对于，若存在某个位置， ，则 平面 ，从而平面 平面 ，即 在底面 上的射影应位于线段 上，这是不可能的，故不正确；对于，若存在某个位置， ，则平面 ，平面 平面 ，则 就是二面角 的平面角，此角显然存在，即当 在底面上的射影位于 的中点时，直线 与直线 垂直，故正确；对于，若存在某个位置，因为 ，所以 平面 ，从而 ，这与已知矛盾，故不正确.故选 C.12. 的内角的对边分别为 ，若 ，则的最大值为（ ）A.
8、B. C. 3 D. 4【答案】A【解析】 ，即 .当 ，即 时， 取得最大值为故选 A.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ，若 ，则 _【答案】【解析】 ，且故答案为 .14. 已知 ，则 _【答案】【解析】 ，即故答案为 .15. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是_【答案】【解析】函数 在 上单调递增 在 上恒成立 在 上恒成立 ，当且仅当 ，即 时取等号故答案为 .16. 已知 是圆 上两点，点 在抛物线 上，当 取得最大值时，_【答案】【解析】依题意可得，当 是圆 的切线时 取得最大值， 即 是圆 的切点， 设
9、，.圆圆心 ，半径为 1令 ，则 .当 时， ，即函数 在 上为减函数；当 时， ，即函数 在 上为增函数. ，即 . ，即此时 最大. ，即 .故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的前 项和味 ， ， .（1）求数列 的通项公式；（2）记数列 求数 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得 ，从而解出 与 的值，即可求出数列 的通项公式；（2）由（1）得数列 的通项公式， 根据数列的特性采用分组求和法即可求得前 项和 .试题解析：（1）由条件可得： 消去 得：
10、 ，解得 或 （舍） ，所以所以 .（2）由（1）得：所以数列 的前 项和为：.18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50 人进行统计分析，把这 50 人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在 60 分钟以上（含 60 分钟）的同学称为“阅读达人” ，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表） ；（2）根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式，其中 .临界值表：【答案】 （1） ；
11、（2）没有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关.【解析】试题分析：（1）利用该组区间的中点值与频率，即可估计该校学生的每天平均阅读时间；（2）利用数据及等高条形图，可得 列联表，代入公式计算出 ，与临界值比较即可得到结论.试题解析：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：（分）.（2）由频数分布表得， “阅读达人”的人数是 人，根据等高条形图 列联表由于 ，故没有 的把握认为“阅读达人” 跟性别有关 .19. 如图，平面 平面 ，四边形 是菱形， , ,.（1）求四棱锥 的体积；（2）在 上有一点 ，使得 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由四边形 是菱形推出 ，在根
12、据平面 平面 证出 平面 ，结合 ，求出梯形 的面积，即可求得四棱锥 的体积；（2）在平面内作 ,且 ,连接 交 于 ，从而四边形 是平行四边形， 再由菱形 推出，通过 即可得出 的值.试题解析：（1）四边形 是菱形又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 平面在 中, ,设 ,计算得在梯形 中,梯形 的面积四棱锥 的体积为 .（2）在平面 内作 ,且 ,连接 交 于 ，则点 满足 ,证明如下： , ,且四边形 是平行四边形.又菱形 中, .四边形 是平行四边形 ,即 .又 .20. 设 为坐标原点，椭圆 的左焦点为 ，离心率为 .直线 与 交于 两点， 的中点为 ， .（1）求椭圆 的方程；（2
13、）设点 ，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】 （1） ；（2）直线过定点 .【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为 的中位线，推出 ，结合离心率为，即可求出椭圆 的方程；（2）设 ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出， ，即 ， ，再根据点 ，即可求出 的值， 从而求出定点的坐标.试题解析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为 的中位线.椭圆 的方程为:（2）设 ，.联立 ,消去 整理得： . ， ， ，整理得： 解得： 或 （舍去） 直线过定点 .点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方
14、法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查；（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知函数 ，其中为自然对数的底数.（1）当 时，证明： ；（2）讨论函数 极值点的个数.【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意， ，故原不等式可化为 ，记 ，对函数 求导，得出 的单调性，即可证明不等式成立 ；（2）对函数 求导，记 ，对函数记 再求导，然后对进行分类讨论，判断出函数的单调性 ，从而得出函数的极值点的个数 .试题解析：（1）依题意， ，故原不等式可化为 ，因为 ，只要证 .记 ，
15、则 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. ，即 ，原不等式成立.（2） .记（）当 时， ， 在 上单调递增， ， .存在唯一 ，且当 时， ；当 .若 ，即 时，对任意 ，此时 在 上单调递增，无极值点；若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 上单调递增；当时， ，即 在 上单调递减；此时 有一个极大值点 和一个极小值点 ；若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 上单调递增；当时， ，即 在 上单调递减：此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .（）当 时， ，所以 ，显然 在 单调递减；在 上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.（）当 时，由（1）可知，对任意 ，
16、从而 ，而对任意.对任意 .此时令 ，得 ；令 ，得 . 在 单调递减；在 上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.（）当 时，由（1）可知，对任意 ，当且仅当 时取等号.此时令 ，得 ；令 得 . 在 单调递减；在 上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.综上可得：当 或 时， 有两个极值点；当 时， 无极值点；当 时， 有一个极值点 .点睛：求函数 极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（ 2）求导数 ；（3）解方程 求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处
17、取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）若曲线 上一点 的极坐标为 ，且过点 ，求的普通方程和 的直角坐标方程；（2）设点 ，与 的交点为 ，求 的最大值.【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）把 代入曲线 ，再化为直角坐标，结合直线的参数方程得直线过点，得直线的普通方程，然后根据 即可得到曲线 的直角坐标方程；（2
18、）把直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 ，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得 的最大值.试题解析：（1）把 代入曲线 可得 化为直角坐标为 ，又过点 ，得直线的普通方程为 ；可化为 . 由 可得 ，即曲线 的直角坐标方程为 .（2）把直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得， ，化简得， 可得 ，故 与 同号. ， 时， 有最大值 .此时方程的 ，故 有最大值 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）设关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）当 时， 由零点分段法，求不等式 的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得 在 上恒成立， 然后分类讨论去绝对值 ，即可求得的取值范围.试题解析：（1）当 时， ， ，即 或或 .解得 或 或 ，所以 或 或 .原不等式的解集为 .（2） ，当 时，不等式 恒成立，即 在 上恒成立，当 时， ，即 ， 在 上恒成立， ，即 ；当 时， ，即 ，即 . 在 上恒成立， ，即 ；综上，的取值范围为 .
