1、2018 届福建省宁德市高三第一次质量检查数学理试题理 科 数 学本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 5 页，满分 150第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 23Ax， 21xB，则 ABA 0,3B (0,C ,) D ,)2已知复数 1z对应复平面上的点 (，复数 2z满足 12，则 2|i|A B 2 C 10 D 03若1tan()43，则 cosA 5 B 5 C45D454执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 a的值为A 10 B
2、lg9 C 2 D lg10 5设 ,xy满足约束条件10,xym，若目标函数 2zxy的最小值大于 5，则 m的取值范围为A 1,3B 1,3 C 3,2 D , 6福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开组委会预备在会议期间将 ,ABCD,EF这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求 ,必须在同一组，且每组至少 2人，则不同的分配方法有 omA15 种 B18 种 C20 种 D22 种7一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A3472B5472C5D318已知 20.62log,l0.6,.abc，则开 始 1n0a?1lg()ana输 出结 束是 否正视图 侧视
3、图俯视图2123A abc B bca C cba D cab 9设抛物线 )0(2pxy的焦点为 F，过 点且倾斜角为 4的直线 l与抛物线相交于 A,B 两点，若以B为直径的圆过点,2，则该抛物线的方程为A xy2 B xy4 C xy82D xy16210我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算
4、起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A 58 B 59 C 60 D 6111函数 ()sincosfxabx( ,aR)，满足2()()3fxf，且对任意 xR，都有6，则以下结论正确的是A max()|f B ()fxf C 3ab D 312设函数1eln1f存在零点 0x，且 01，则实数 a的取值范围是A (,ln2) B (e2,) C (,eln2) D (eln2,) 2018 年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第 II 卷 注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每
5、个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知向量 a， b的夹角为 60， 2a， 27+b，则 b_14若双曲线 C的右焦点 F关于其中一条渐近线的对称点 P落在另一条渐近线上，则双曲线 C的离心率e=_15若正三棱台 AB的上、下底面边长分别为 3和 2，高为 1，则该正三棱台的外接球的表面积为_16设函数2()|1|fx，若 1ab， ()fab，则对任意的实数 c，22()()abc的最小值为_三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知数
6、列 na的前 和为 nS，若 0na， 21nnS（）求数列 的通项公式；（）若 3nb，求数列 nb的前 项和 nT18 （本小题满分 12 分）如图，矩形 ABCD中， 6， 23AD，点 F是 AC上的动点现将矩形 ABCD沿着对角线折成二面角 ，使得 0B（）求证：当 3F时， ； （）试求 的长，使得二面角 的大小为 419 （本小题满分 12 分）如图，岛 A、 C相距 107海里上午 9 点整有一客轮在岛 C的北偏西 04且距岛 C1海里的 D处，沿直线方向匀速开往岛 ，在岛 A停留 10分钟后前往 B市上午 9:3测得客轮位于岛 的北偏西07且距岛 3海里的 E处，此时小张从岛
7、 乘坐速度为 V海里/小时的小艇沿直线方向前往 A岛换乘客轮去 B市（）若 (,V，问小张能否乘上这班客轮？（）现测得 4cos5AC， 5sinACB已知速度为海里/小时( (0,3)的小艇每小时的总费用为( 215V)元，若小张由岛 直接乘小艇去 B市，则至少需要多少费用？ 20 （本小题满分 12 分）正北方向 ABCDEA BCDF A CBF已知椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点分别为 1F, 2过 3(0,)Pb且斜率为 k的直线 l与椭圆相交于点 M, N当 k时，四边形 12MN恰在以 为直径，面积为 2516的圆上（）求椭圆 的方程；（）若 37P，求直线 l的方程21
8、（本小题满分 12 分）已知函数2()ln(R)fxax有最大值12，2()()gxfx，且 ()g是 x 的导数（）求 的值；（）证明：当 12， 12()30gx时， 12()请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 1C的极坐标方程为 4sin， M为曲线 1C上异于极点的动点，点 P在射线 OM上，且 ,25POM成等比数列（）求点 P的轨迹 2的直角坐标方程；（）已知 (0,3)A, B是曲线 2
9、C上的一点且横坐标为 2，直线 AB与 1C交于 ,DE两点，试求DE的值23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知 2()()fxaR， (12gxx（）若 4 ，求不等式 )f的解集；（）若 0,3x时， ()fxg的解集为空集，求 a的取值范围 2018 年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，
10、但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分1B 2C 3B 4D 5C 6D7A 8C 9B 10C 11A 12D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分13 14 15 20 16 8 附部分试题解答：10小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8,6,5，三个女儿同
11、时回娘家的天数是 1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60112()()3fxf可知，函数 ()fx的对称中心为(,0)3. 对任意 xR，都有()6fx，知对称轴是 6，可知 0f，故 b=012 令1eln(1)xxa，得1ln()xaee，设()xh，条件转化为 yh与1的图象在 (,)上有交点，01()xxee ，得 ()x在 0,)上为增函数，1()ha，得 ln2.16依题意可知：2(1)ab，整理得2(1)4ab，1ab， 方程表示如图一段弧 AB，22()()c可表示弧上一点到直线 y=-x 的距离的平方，c的最小值是 8三、解答题：本大题共 6
12、 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分 12 分解法一：（） 21nnaS， 24(1)nSa1 分当 1n时， 14()S，得 12 分当 2时， 21na，14()()()nnS，3 分22114nnnaa，即 111()()2()nnnaaa，0,4 分数列 n是等差数列，且首项为 1，公差为 2，5 分12()1a6 分（）由（）可知， (2)3nnb，23153nT，7 分111()(2)3nn，8 分得 2313nT9 分2111()33nn，10 分化简
13、得 nnT12 分解法二：（）同解法一.（）由（）可知， 1(2)3nnb，设 11 1(2)(23)3nn n nbABBAB，,AB解得 ,.111(2)()()()3333nnnnnnb，9 分12Tb01121()()()3333nn1n.12 分18本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分解:（）连结 DF， B在矩形 AC中， 23,6C,043, 0A1 分在 DF中， , A BCDF22cos9DFADAFC， 2 分 93，C，即 3 分又在 B中，22
14、cos21B，4 分在 DF中， 23()FD ,5 分又 ACB, F平面 D6 分（）解：在矩形 D中，过 作 EAC于 O，并延长交 AB于 E. 沿着对角线 AC翻折后，由（）可知， ,OEC两两垂直，以 为原点， 的方向为 x轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz，则(0,)(1,0)(,3)(,20)DB,7 分EO平面 AF,(,)为平面 的一个法向量 8 分设平面 B的法向量为 (,)xyzn(0,)Ft， 3,2,(3,2,0)DBFt,由 ,Bn得 0()xyzt，取 3,y则 23,tz , (23,)ttn10 分|cos,4OEn即 22|()9tt,3t当 14CF时
15、，二面角 ADFB的大小是 4 12 分19本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识满分 12 分解：（）如图，根据题意得： 10CD， 3E， 107AC， 00743DE在 中，由余弦定理得， 2cosDA COEDBF22310(3)102, 2 分所以客轮的航行速度 1V（海里/小时） 3 分因为 CDE，所以 03CDE，所以 00835A在 中，由余弦定理得， 22cosACAEC，整理得： 24E，解得 10或 0（不合舍去） 5 分所以客轮从 处到岛 A所用的时间 102t小时，小张到岛 所用
16、的时间至少为 273t小时由于 216t，所以若小张 9 点半出发，则无法乘上这班客轮6 分（）在 ABC中， 4cos5A， 5sinACB,所以 为锐角， 3inB， 2co7 分所以 0sini18()ACicoscsinBBAC32548 分由正弦定理得， sinsiBCA,所以310752B,9 分所以小张由岛 C直接乘小艇去城市 B的总费用为2153150()(50)3()1632fVVV( 0,V),10 分当且仅当 ，即 时， min)f（元）11 分所以若小张由岛 C直接乘小艇去 B市，其费用至少需 1653元 12 分20本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知
17、识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分 12 分解：（）当 0k时，直线 /lx轴，又四边形 12MNF恰在以 1为直径，面积为 2516的圆上，四边形 为矩形，且 F1 分点 的坐标为2(,)bca2 分又23ba， 3 分设 2,3kb，则 ck在 12RtMF中， 2， 12Fk， 5k， 2,3ab，5 分椭圆 C的方程为214xy6 分（）将 :lyk与椭圆方程联立得 2(34)130kx，设 1(,)Mx， 2(,)Nx，得 122x， 124k7 分故 00Pkk2213+()=4kx9 分又22222111
18、1936()44kMNxkxx， 10 分2223+936474kk，即 221，解得 k，直线 l的方程为 132yx12 分21本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12分xyOPMN1B2B解：（） ()fx的定义域为 (0,)，1(2fxa1 分当 0a时， f，()fx在 ,上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；2 分当 0a时，令 ()0fx，得12xa，当1(,)2x时， ()f，函数 ()fx单调递增；当(,)a时， ()0fx，函数
19、 ()f单调递减，3 分max11()()ln22ff a,1ln2,4 分a5 分（）由（）可知，21()lngxx,1()2gx， ()0gx,()gx在 ,上单调递增 6 分又 12， 12()3xg且(1)2g,07 分2()1xgx,当 时， ()0g， ()x单调递增,要证 12(x，即 12()(g，只要证 12x，即 21x8 分， 1,所以只要证 21()(3()gxgx11()3gx（*）, 9 分设 ()(2)Gxgx2ln(2)x（其中 01x）,12(1)x30(),Gx在（0，1）上为增函数, 11 分()3，故（*）式成立，从而 12()gx12 分22选修 4；
20、坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解：（1）设 (,)P， 1(,)M，则由 ,25O成等比数列，可得 20OPM，1 分即 1=0， 12 分又 (,)M满足 4sin，即 204sin，3 分 sin5，4 分化为直角坐标方程为 5y5 分（）依题意可得 (2,)B，故 1ABk，即直线 AB倾斜角为 4，6 分直线 A的参数方程为,23,xty7 分代入圆的直角坐标方程 22()4x，得 230t，8 分故 12， 12t，9 分 ADE10 分23选修 45：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解：(1)当 4a时， ()fxg化为 2412xx，1 分当 1x，不等式化为 2+50，解得 6或 16，故 6；2 分当 2时，不等式化为 27x，解得 7x或 ，故 x； 3 分当 ，不等式化为 230，解得 1或 3故 3； 4 分所以 ()fx解集为 |16x或 x5 分(2) 由题意可知，即为 0,3时， ()fg恒成立 6 分当 02x时， 2a，得 2min1x；8 分当 3时， 1x，得 in+4a，综上， 4a10 分
