1、1空间向量知识点空间向量的有关概念和公式空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间概念如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。坐标表示 ， , OA1(,)axyzOB2(,)bxyz2121(,)ABxyzB运算 则 ， ，1212(,)bxyz 1212(,)axyz， ，,)(aR1|cosbbxyz定比分点公式 设点 P 分有向线段 所成的比为 ，即 ， 1P2， ， （ ）12x12y2zR且中点公式： ， ，x1y12z三角形重心公式： ， ，123x3y123z模 ， ，则 =1(,)Axyz2(,)Bxyz2121(,)ABz|
2、AB112 )(= ； = ； = ; =a(,)xyz|a22xyz2|a|a平行 ，123/,()bbR（或 = = ）2xy2z垂直 （ ）130ab ,0ab夹角cos = =|12322xyz建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为 轴， 轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为 轴， 轴；xy xy3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为 轴， 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作x为 轴。y2nCBAn BAn2-11111n1-11111OP aF bEnnPO A空间向量的应用（1）方法分类 图形1、求平面 的
3、法向量若 ， ，),(1zyxAB),(2zyxAC，ABC是平面 的法向量，),n设 则 002211zyxA（取 ，得到其中的一组解：x ),(0zyxn而 常取简单整数）0,zy2、证明线面平行设 是平面 的法向量， ，则：nAB0|nAB3、证明面面垂直设 分别是平面 的法向量, 则：21,n021n4、求两条异面直线间的距离先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设 、 是异ab面直线， 是 、 的公共法向量，点 ，则nabFE,异面直线 、 之间的距离 nd5、求点到平面的距离设 为平面 外一点，点 为平面 内的任一点，平面PA的法向
4、量为 ，过点 作平面 的垂线 ，记nPPO，则点 到平面 的距离：OAnAd cos因此，点 到平面 的距离： PPd3ADBCnPO An2 n1n1 ACDB空间向量的应用（2）方法 图形6、求直线和直线所成的角若直线 所成的角是 ，CDAB,CDAB,cos7、求直线和平面所成的角已知 为平面 的一条斜线， 为平面 的一个法向PAn量，过 作平面 的垂线 ，连结 ，则 为POPAO斜线 和平面 所成的角，记为 ，易得PAnA,cos,cosin8、已知两平面的法向量, 求二面角的大小在二面角中 ， 和 分别为平面 和 的法l1n2向量，若二面角 的大小为 ，则：2121,cosnn(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定 是锐角或是钝角)8、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小在二面角 内， ，l CDlAB,设 为二面角 的大小，则：,CDlCAB,cos
