1、 1 / 4空间向量及几何公式118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 xypaxby推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ，MPAB或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 .,xyOPAB119.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （xOyzC） ，则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当xyzk1时，若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四1点不共面四点共面 与 、 共面 CAB、 、 、 DDxy（ 平面 ABC）.()OxyOy120
2、.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 pxaybzc推论 设 O、A 、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 .PxyzC121.射影公式已知向量 =a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 Bll lA点在 上的射影 ，则l a，e= ae|cosAB122.向量的直角坐标运算设 a ，b 则123(,)123(,)(1)ab ；12,(2)ab ；,a(3) a (R)；3(,)(4)ab ；12b123.设 A ，B ，则,xyz
3、2(,xyz= .BO11,)124空间的线线平行或垂直设 ， ，则1(,)azr2(,bzr；bP012xyz.arr12120x125.夹角公式 设 a ，b ，则123(,)3(,)cos a，b= .12213ab2 / 4推论 ，此即三维柯西不等式.22221231313()()()abab126. 四面体的对棱所成的角四面体 中, 与 所成的角为 ,则ABCDB.22|()()|cosDA127异面直线所成角 |,|abr= 1212|xyzr（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）09ooab,rab,128.直线 与平面所成角AB( 为平面 的法向量)
4、.sin|marc129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面CABACB成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则12、 C.2 2sii(siin)s特别地,当 时,有90AB.221n130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面CABACB成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则2、 O.2221tat(sini)tan特别地,当 时,有90AOB.22sini131.二面角 的平面角l或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.co|mnarcos|mnar132.三余弦定理设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 A
5、B 所成的角为 ，AB1与 AC 所成的角为 ，AO 与 AC 所成的角为 则 .212coscos133. 三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面 12角的棱所成的角是 ，则有 ;22211sinsinisins(当且仅当 时等号成立).121|80) 90134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1(,)xyz2,xyz= .,Bd|A222111()()()xyz135.点 到直线 距离Ql3 / 4(点 在直线 上，直线 的方向向量 a= ，向量 b=221(|)|habPllPA).PQ136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，
6、其公垂向量为 ， 分别是 上任一点，|CDnd12,l nCD、 12,l为 间的距离).12,l137.点 到平面 的距离 B（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.|AndABA138.异面直线上两点距离公式 .22coshmn.,dEF（ ）.22sA(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， , , ).AFnd139.三个向量和的平方公式22() 2ccabca2|os,|os,2|cos,ab bca 140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分l 123l、 、别为 ,则有123
7、、 、.ll22213cscs12213sinisin（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理 .cosS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).S 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和l 斜 棱 柱 侧 V斜 棱 柱面积分别是 和 ,则1cS .l斜 棱 柱 侧 .1V斜 棱 柱143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距
8、离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式) 4 / 4(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).2VFE（1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 Fn与棱数 E 的关系： ；1nF（2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： .m12mV146.球的半径是 R，则其体积 ,34V其表面积 2S147.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .a612a64a148柱体、锥体的体积（ 是柱体的底面积、 是柱体的高）.13VSh柱 体 h（ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.锥 体
