1、1球的体积和表面积学习目标 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一 球的体积公式与表面积公式1.球的体积公式 V R3(其中 R 为球的半径).432.球的表面积公式 S4R 2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答 球没有底面，球的表面不能展开成平面.知识点二 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 球的表面积和体积例 1 (1)已知球的表面积为 64，求它
2、的体积；(2)已知球的体积为 ，求它的表面积.5003解 (1)设球的半径为 R，则 4R264 ，解得 R4，所以球的体积 V R3 43 .43 43 25632(2)设球的半径为 R，则 R3 ，解得 R5，43 5003所以球的表面积 S4R 24 52100.跟踪训练 1 一个球的表面积是 16，则它的体积是( )A.64 B. C.32 D.643 323答案 D解析 设球的半径为 R，则由题意可知 4R216，故 R2.所以球的半径为 2，体积V R3 .43 323题型二 球的截面问题例 2 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积2
3、为( )A. B.4 C.4 D.6 6 3 6 3答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M 为截面圆上任一点，则 OO ，OM1.2OM . 22 1 3即球的半径为 .3V ( )34 .43 3 3跟踪训练 2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为 ， ， ，则它的外接球表面积为3 5 15_.3答案 9解析 如图，是过长方体的一条体对角线 AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x，y，z，则由已知，得Error! 解得Error!所以球的半径 R AB ，12 12x2 y2 z2 32所以 S 球 4R 29.题型三 球的组合体与三视图例 3 某个几何体的三视图如图
4、所示，求该几何体的表面积和体积.解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方体，上部是半径为 1 的半球，该几何体的表面积为S 412 622 1224.12该几何体的体积为V2 3 138 .12 43 23跟踪训练 3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解 设正方体的棱长为 a.4正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，则有 2r1a，即 r1 ，所以 S14r a 2.a2 21球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对
5、角面得截面，如图(2)所示，则 2r2 a，即 r2 a，222所以 S24r 2a 2.2正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，则有 2r3 a，即 r3 a，332所以 S34r 3a 2.23综上可得 S1S 2S 3123.5轴截面的应用例 4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.分析 分别表示出取出铁球前后水的体积由水的体积不变建立等式求出所求量.解 如图，O 是球的最大截面，它内切于 ABC ，球的半径为 r.设将球取出后，水平面
6、在 MN 处，MN 与 CD 交于点 E.则 DOr，AD r，ABACBC2 r，3 3CD3r .由图形知 V 圆锥 CEV 圆锥 CD CE 3CD 3.(13ME2CE) (13AD2CD)又V 圆锥 CD ( r)23r3 r3，3 3V 圆锥 CEV 圆锥 CDV 球 O3r 3 r3 r3，43 53 3r 3CE 3(3r) 3，CE r.5r33 315球从容器中取出后，水的深度为 r.3151.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( )A.36， 144 B.36，36C.144，36 D.144，14462.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A. B.1
7、C.2 D.3123.两个半径为 1 的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.4.若球的半径由 R 增加为 2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.一、选择题1.设正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是( )A. B. C.4 D.32 43 83 3 32.一个正方体的八个顶点都在半径为 1 的球面上，则正方体的表面积为( )A.8 B.8 C.8 D.42 3 23.两个球的半径之比为 13，那么两个球的表面积之比为( )A.19 B.127 C.13 D.114.设正方体的表面积为 24 cm2，一个球内切于该正
8、方体，那么这个球的体积是( )7A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm36323 83 435.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为 r，R，则球的表面积为( )A.4(rR) 2 B.4r2R2C.4Rr D.(Rr) 26.已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )2A. B.4 C.2 D. 323 437.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. cm35003 8663C.
9、cm3 D. cm31 3723 2 0483二、填空题8.一个几何体的三视图(单位： m)如图所示，则该几何体的体积为_ m 3.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 ，则正方体的棱长为_.9210.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积8是_.11.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球( 如图所示)，则球的半径是_cm.三、解答题12.如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中B
10、AC 30)13.一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972 的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.9当堂检测答案1.答案 B解析 球的半径为 3，表面积 S43 236，体积 V 3336.432.答案 D解析 设球的半径为 R，则 4R2 R3，所以 R3.433.答案 32解析 设大球的半径为 R，则有 R32 13，43 43R32，R .324.答案 8 4解析 球的半径为 R 时，球的体积为 V1 R3，表面积为 S14R 2，半径增加为 2R 后，43球的体积为 V2 (2R)3 R3，表面积为 S24(2R) 216R 2.43 3
11、23所以 8， 4，V2V1323R343R3 S2S1 16R24R2即体积变为原来的 8 倍，表面积变为原来的 4 倍.5.答案 3解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即 4 3.1210课时精练一、选择题1.答案 C解析 由题意可知，6a 224，a2.设正方体外接球的半径为 R，则a 2R，R ，V 球 R34 .3 343 32.答案 A解析 球的半径为 1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为 2.不妨设正方体的棱长为 a，则有 3a24，即 a2 .43正方体的表面积为 6a26 8.433.答
12、案 A解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为 R R 19.21 24.答案 D解析 由正方体的表面积为 24 cm2，得正方体的棱长为 2 cm，故这个球的直径为 2cm，故这个球的体积为 cm3.435.答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为 r1，则在 RtCDE 中，DE2r 1，CERr，DCRr.由勾股定理得 4r ( Rr) 2(Rr)212，解得 r1 .故球的表面积为 S 球 4r 4Rr.Rr 21方法二 如图，设球心为 O，球的半径为 r1，连接 OA， OB，则在RtAOB 中，OF 是斜边 AB 上的高.由相似三角形的性质得 OF2BF AFRr，即 r Rr，2
13、111故 r1 ，故球的表面积为 S 球 4Rr.Rr6.答案 D解析 正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 ，正四棱柱的体对角线的长为22.又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条1 1 22直径，球的半径 R1.故球的体积为 V R3 .43 437.答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则 MC862(cm)，BM AB 84(cm).12 12设球的半径为 R cm，则 R2OM 2MB 2(R2) 24 2， R5，V 球 53 (cm3).43 5003二、填空题8.答案 918解析 将三视图还原为实物图后求解.由三视图知，几何
14、体下面是两个球，球半径为 ；32上面是长方体，其长、宽、高分别为 6、3、1，所以 V 21369 18.43 2789.答案 3解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a，球半径为 R，则 R3 ，R ， a3，a .43 92 32 3 31210.答案 814解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为 R，球心为 O，正四棱锥底面中心为 E，则 OE|4R|，所以(4R) 2( )2R 2，解得 R .所以球的表294面积 S4R 2 .81411.答案 4解析 设球的半径为 r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 r26r6
15、r3，高度为8 cm 的水的体积为 8r2,3 个球的体积和为 3 r34 r3，由题意得436r38r 24r 3，解得 r4(cm).三、解答题12.解 如图所示，过 C 作 CO1 AB 于 O1.在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，AC R，BCR，CO 1 R，S 球 4R 2，332 R R R2，1AOS圆 锥 侧32 3 32 RR R2，1BO圆 锥 侧32 32S 几何体表 S 球 1AO圆 锥 侧 1BS圆 锥 侧13 R2 R2 R2.112 32 11 32故旋转所得几何体的表面积为 R2.11 3213.解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形 CAB 内接于O，O 1 内切于ABC .设O 的半径为 R，由题意，得 R3972，43所以 R3729，R9，所以 CE18.已知 CD16，所以 ED2.连接 AE，因为 CE 是直径，所以 CAAE，所以 CA2CECD1816 288，所以 CA12 ，2因为 ABCD，所以 AD2CD DE16232，所以 AD4 ，2S 圆锥侧 4 12 96.2 2(2)设内切球 O1 的半径为 r，因为ABC 的周长为 2(12 4 )32 ，2 2 2所以 SABC r32 8 16，解得 r4，12 2 12 2所以内切球 O1 的体积 V 球 r3 .43 2563
