1、2.4 等比数列(一)课时目标1理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式并能简单应用3掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 2等比数列的通项公式：a na 1qn1 .3等比中项的定义如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 ，且 G .ab一、选择题1在等比数列a n中，a n0，且 a21a 1，a 49a 3，则 a4a 5 的值为( )A16 B27
2、C36 D81答案 B解析 由已知 a1a 21，a 3a 49，q 29.q3(q3 舍)，a 4a 5(a 3a 4)q27.2已知等比数列a n满足 a1a 23，a 2a 36，则 a7 等于 ( )A64 B81 C 128 D243答案 A解析 a n为等比数列， q2.a2 a3a1 a2又 a1a 23，a 11.故 a712 664.3已知等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2 成等差数列，则 等于( )12 a9 a10a7 a8A1 B12 2C32 D322 2答案 C解析 设等比数列a n的公比为 q，a 1， a3,2a2 成等差数列，12a 3a
3、 12a 2，a 1q2a 12a 1q，q 22q10，q1 .2a n0，q0，q1 .2 q 2(1 )232 .a9 a10a7 a8 2 24如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么( )Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac 9 Db3，ac9答案 B解析 b 2(1)( 9)9 且 b 与首项1 同号，b3，且 a，c 必同号acb 29.5一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.53 43 32 12答案 A解析 设这个数为 x，则(50 x) 2(20 x )(100x)，解得 x25，这三个数 45,75,125
4、，公比 q 为 .7545 536若正项等比数列a n的公比 q1，且 a3，a 5，a 6 成等差数列，则 等于( )a3 a5a4 a6A. B.5 12 5 12C. D不确定12答案 A解析 a 3a 62a 5，a 1q2a 1q52a 1q4，q 32q 210，(q1)( q2q1)0 (q1) ，q 2q10，q (q 1 的等比数列，若 a4，a 5 是方程 4x28x30 的两根，则a6a 7_.答案 18解析 由题意得 a4 ，a 5 ，q 3.12 32 a5a4a 6a 7(a 4a 5)q2( )3218.12 329首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48，第
5、2n3 项是 192，则 n_.答案 5解析 设公比为 q，则Error! Error!q 24，得 q2.由(2) n1 16，得 n5.10一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是_答案 5 12解析 设三边为 a，aq，aq 2 (q1)，则(aq 2)2(aq) 2a 2，q 2 .5 12较小锐角记为 ，则 sin .1q2 5 12三、解答题11已知a n为等比数列，a 32，a 2a 4 ，求a n的通项公式203解 设等比数列a n的公比为 q，则 q0.a2 ，a 4a 3q2q，a3q 2q 2q .2q 203解得 q1 ，q 23.13当 q 时，a 118
6、，13a n18 n1 23 3n .(13)当 q3 时，a 1 ，29a n 3n1 23 n3 .29综上，当 q 时，a n23 3n ；13当 q3 时，a n23 n3 .12已知数列a n的前 n 项和为 Sn，S n (an1) (nN *)13(1)求 a1，a 2；(2)求证：数列 an是等比数列(1)解 由 S1 (a11)，得 a1 (a11) ，13 13a 1 .又 S2 (a21)，12 13即 a1a 2 (a21)，得 a2 .13 14(2)证明 当 n2 时，a nS nS n1 (an1) (an1 1)，13 13得 ，又 ，anan 1 12 a2a
7、1 12所以a n是首项为 ，公比为 的等比数列12 12能力提升13设a n是公比为 q 的等比数列，|q|1 ，令 bna n1(n1,2，)，若数列 bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.答案 9解析 由题意知等比数列a n有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故24,36，54,81，符合题意，则 q ，6q9.3214已知数列a n满足 a11，a n1 2a n1，(1)求证：数列a n1是等比数列；(2)求 an的表达式(1)证明 a n1 2a n1，a n1 12(a n1)， 2.an 1 1an 1a n1是等比数列，公比为 2，首项为 2.(2)解 由(1)知a n1是等比数列公比为 2，首项 a112.a n1(a 11)2 n1 2 n.a n2 n1.1等比数列的判断或证明(1)利用定义： q (与 n 无关的常数)an 1an(2)利用等比中项：a a nan2 (nN *)2n 12等比数列 an的通项公式 an a1qn1 共涉及 an， a1， q， n 四个量已知其中三个量可求得第四个
